Interrogation du Mardi 3 Octobre
Interrogation 6
Exercice 1
1. ´Ecrire enScilabune fonctionfacto qui, ´etant donn´e un entier natureln, retourne n!.
2. ´Ecrire en Scilabune fonction coefbin qui, ´etant donn´es deux entiers 0≤ k ≤n, retourne la valeur du coefficient binomial
n k
. Cette fonction fera appel `a la fonctionfacto.
3. ´Ecrire enScilabune fonction sommequi, ´etant donn´e un entier naturel n, retourne la valeur de la somme
n
X
k=0
n k
. Cette fonction fera appel `a la fonctioncoefbin.
4. A la suite des fonctions pr´ec´edentes, on ajoute les instructions Scilabsuivantes :
1 M=zeros(1,10)
2 for k=1:10 do
3 M(k)=somme(k)
4 end
5 disp(M)
Lorsqu’on ex´ecute le programme, on obtient alors le r´esultat suivant dans la console : column 1 to 6
2. 4. 8. 16. 32. 64.
column 7 to 10
128. 256. 512. 1024.
Que contient la variable M? Les r´esultats obtenues ´etaient-ils pr´evisibles ? Pourquoi ?
Exercice 2
On consid`ere la s´erie harmonique altern´ee X
n≥1
(−1)n−1
n . On note Sn la n-i`eme somme partielle de cette s´erie.
1. ´Ecrire une commande Scilabd´efinissant un vecteur ligneutel que pour tout 1≤i≤50, u(i) soit ´egal `a (−1)i−1
i .
2. ´Ecrire une commande Scilabd´efinissant un vecteur lignevtel que pour tout 1≤i≤50, v(i) soit ´egal `a
i
X
k=1
(−1)k−1
k .
3. En ex´ecutant la commandeplot2d([1:50],v,-1), on obtient le graphe suivant :
Que peut-on dire des suites extraites (S2n) et (S2n+1) ? de la s´erie harmonique altern´ee ?
4. On admet que
+∞
X
n=1
(−1)n−1
n = ln(2). ´Ecrire un script Scilab demandant une valeur ε > 0 `a l’utilisateur, et qui renvoie le plus petit entier natureln pour lequel|Sn−ln(2)| ≤ε.
Exercice 3
1. On consid`ere la fonction f(t) = 1
1 +t3. Donner les commandesScilabpermettant de tracer la courbe repr´esentative de f sur [0,1].
2. Montrer que, pour tout n∈N∗ etk∈[[0, n−1]] : 1 nf
k+ 1 n
≤
Z (k+1)/n k/n
f(t)dt≤ 1 nf
k n
.
3. En d´eduire que, pour toutn∈N∗ : 1 n
n
X
k=1
f k
n
≤ Z 1
0
f(t)dt≤ 1 n
n−1
X
k=0
f k
n
.
4. En d´eduire que, pour toutn∈N∗ : 0≤ Z 1
0
f(t)dt− 1 n
n
X
k=1
f k
n
≤ 1 2n.
5. ´Ecrire un script Scilab demandant une valeur ε > 0 `a l’utilisateur, et qui renvoie une valeur approch´ee de
Z 1 0
f(t)dt `aεpr`es.
Exercice 4
L’indice de masse corporelle (IMC) d’une personne est d´efinie par I = P
T2 o`u P est le poids en kilogramme et T la taille en m`etre de cette personne.
1. La commande grand(q,r,’nor’,µ,σ) permet de simuler une matrice de taille q×r dont les coefficients suivent la loi normaleN (µ, σ).
On consid`ere que la taille d’une personne (en m`etres) et son poids (en kg) sont deux variables al´eatoires ind´ependantes (ce qui est quand mˆeme tr`es discutable, mais admettons...), suivant respectivement des lois normales N(1.78,0.04) etN(72,6).
Donner les instructions Scilab pour cr´eer des vecteurs P et T contenant respectivement les simulations des poids et de la taille de 1000 personnes.
2. En d´eduire, en une ligne de commande Scilab, un vecteur I contenant l’IMC de ces 1000 personnes.
3. Donner les instructionsScilabpour calculer la m´ediane, la moyenne, la variance et l’´ecart type de l’IMC de ces 1000 personnes.
4. Une personne est consid´er´ee en surpoids lorsque son IMC d´epasse 25. Donner une instruction Scilabpermettant de d´eterminer la proportion de personnes en sur-poids.
5. A votre avis, quel est le plus pertinant : trier notre s´erie statistique par modalit´es ou par classes ? Justifier.
6. On consid`ere le scriptScilabsuivant, ainsi que le graphique qu’il g´en`ere :
1 m=min(I); M=max(I)
2
3 c=linspace(m,M,5)
4 [a,b]=dsearch(I,c)
5
6 pie(b,['1','2','3','4'])
Expliquer ce programme. En particulier, `a quoi correspondent les variables cetb?
D´eterminer graphiquement la classe modale de la s´erie statistique, c’est-`a-dire celle ayant l’effectif le plus grand.
