HAL Id: hal-00086453
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00086453
Submitted on 18 Jul 2006
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Robust optimal stabilization of the Brockett integrator via a hybrid feedback
Christophe Prieur, Emmanuel Trélat
To cite this version:
Christophe Prieur, Emmanuel Trélat. Robust optimal stabilization of the Brockett integrator via a hybrid feedback. Proceedings of the Sixteenth International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS 2004), 2004, Leuven, Belgium. 6 p. �hal-00086453�
<$=$2;>!*,
?A@3B6CEDGFIHKJ3@3LNMB6COLQP3BIR
?TSUVXW0Y-SV[ZL\?T]_^`@.]Ka
b ]KcdHeBI]fFIHeCEB6L>Vgh+iY
jkel ]nmoZ3PpMZFrqsCOtED6Hea
uKvwKxey ?T]_^`@.]Ka ldz BI]Ka^{L
|}~__})3KK2~_ _2KK3_T }
Y"]KaP3L{thB)LQt]_F
YP3CEJ2L>Zga.]_tE)D6LSP3L{BGCOP3LL<FYM
a3CmeL{BGD6CFLNM]KBGCODWVP3Z
N ]_F6CO"L{aF vwe¡
uknvy¡£¢ BGDI]np?AL{Z3L¥¤ l2z B6]Ka3^{L
f¦¦_3§ ¨)}§K_¦.eT ©3K|2ª«A }
¬r3®¯G°`±²¥¯
³´µ¶·©¸Q¹º»µ¼¸¥½)¾©µ¼T¿ÁÀOÂQºÁ¸Q¹fÃ¥º_·©¸Q¹Äf¾ÆÅ=¾ÆŨå¹f¿Áº»¿ÁÇ6Ã`Ũ¿Á¸QÈ+¸¥½Å¨´µÉ=·¨¸ªÊÌË<µÅ©Åd¿»ÈQŨµÂQ·¨Ã¥Å©¸<·ÍÃ¥ºÎ¾©¸0ÊÃ<ºÁº»µGÏе¿Î¾©µÈªÀ
¹Kµ·¨Â¾©Ñª¾ÒŨµ¼rÓ¿»È\¼A¿»È¿»¼+Ã¥º3Å©¿»¼TµT¿»¾!Ã<ÏfϪ·©µ6¾©¾©µGÏNÃ¥ÈfϾƸQºÁÔQµGÏ>¹nѼTµGÃ<Èf¾¸¥½2ônÑn¹·©¿ÎϽյGµGϪ¹_Ã<ÊÌ˺ÎÃIÖ×ØÅ¿»¾
¾©´¸`ÖÈÅ©´fÃ¥ÅÅ©´µA¾Æ¸QºÁÄÅ©¿»¸<Èf¾¸<½3Å©´µAʺ»¸Q¾©µGÏnÀºÁ¸n¸Q¶¾©Ñª¾ÒŨµ¼Ùʸ<ÈnÔQµ·¨Â<µÅ©¸+Ũ´µ¸Q·©¿»Â<¿»È:¿ÁȼT¿»È¿Á¼+Ã<º)Ũ¿Á¼TµÍÕ½Õ¸<·Ã
Â<¿»Ô<µGÈ+¹_¸QÄÈfÏ+¸QÈ+Å©´fµÊ¸<È{Å©·¨¸<ºÚÓ3Ö¿ÁÅ©´Ã-·©¸Q¹Äf¾Æũȵ6¾©¾d¶·©¸Q¶_µG·ÆÅÒÑAÖ¿ÁÅ©´·¨µG¾©¶KµGÊÅdÅ©¸0¾©¼+Ã¥º»º_¼Tµ6Ã<¾©Ä·©µG¼TµÈ{ÅdȸQ¿»¾©µ<Û
µÜnŨµ·¨ÈfÃ¥ºÏª¿Î¾ÆÅ©Ä·¨¹fÃ¥È_ʵåÈfÏÃ<ÊÅ©Äfåũ¸Q·=Èf¸<¿Î¾ÆµQ×
Ý"Þ_ß.àáâQã=äªåæçèKéêªë`ììíîfìë`ïªçðnìèªç<ñfèªòìíÕóNðªôéIèîfìçèôõñ_ö_÷_ø)çíÕùúEë`ë¥ùø)ðªéêñfçèªøûüìüìðnø)íôÕíÚý¥ðnìíÚèî.ñó>ë¥ðªüûçëIþ
ó>ë¥îfìë`ççèªçü`ñðªéIìûðnìèªçTîèíÕüëªñëIÿKìë`çî)ðªôdùíÕüìûçø)ðªîéIë¥ü
dë`ì ø3ëTð3þÆùíÕóë¥îüíÚèîðªô3ó>ðªîíÚúOèôÕùoëéIèî)üíÕùë`çèî ð>éIèî_ìçèôü÷Küìë¥ó èªú2ìöërúEèªçGó
! #"%$ &
'(
)+*,
(
! ".-
(
!! #"#"0/ .12"
3
öë`çë
- * /5454542/6-
&
ðnçë üóèKèªìö87ªë¥éIìèªç:9ë¥ôÕùü>èî; ñðªîù
3
öë`çë ìöë éIèîfìçèô
,
=<>"?$@
, *
=<>"0/545454A/
, &
=<>"#"
üðnìíÕü#9ë¥üìöëéIèîüìçðªíîfì
&
'(
)+* , (
! #"=BDCE1F4 HGI"
dë`ì
KJ
ø3ë+ð:òèíîfìèªú2ìöëTóNðªîíÚúOèôÕù?L%MöëTü÷Küìë¥ó
.12"
ñ)ìèªïªë`ìöë`ç
3
íÕìöìöëréIèîüìçðªíÕî_ì
HGI"
ñíÕüüðªíùìèNøë
ïôÕèªø)ðªôÕôÚ÷£ðªü÷eóòìèªìíÕé`ðªôôÚ÷£üìðnø)íÕôÕíÕý¥ðnø)ôÚë+ðnì0ìöëò3èíÕî_ì
KJ
ñíÕú©ñúEèªç0ë¥ðªéö ò3èíÕîfì
èªúN ñ)ìöë`çëëIÿíÕüìü0ðNéIèî_ìçèô
üðnìíÕüúO÷KíÕîïìöëAéIèîüìçðªíÕî_ì
HGI"
üû)éöìöðnììöëAüèôûìíÚèî>èªú
.12"
ðªüüèKé`íÕðnìë¥ù\ìèìöíÕüéIèîfìçèô3ðªîù\üìðnçìíîïúOçèó
ìë¥îùüìè
KJ
ðªü ìë¥îùüìèPORQ;
MöíÕüðªü÷eóòìèªìíÕéTüìðnø)íôÕíÚý¥ðnìíÚèîNòçèªø)ôÚë¥ó öðªü!ð:ôÚèîï:öíÕüìèªç÷>ðªîùöðªüøë`ë¥î
3
íùë¥ôÚ÷íÕîS7ªë¥üìíÚïðnìë¥ùNT0èªìë
ìö)ðnì!ðªü!üèKèîðªüVUXWY"ìöëTæçèeéêªë`ìì5Zü-éIèî)ùíÚìíÚèî\[
15]
ñ^Möë`èªçë¥ó
1 ñ íÕíÕí
"`_
íÕüîèªìüðnìíü#9ë¥ùø_÷
.12"
ñðªî)ùNìöKûü
ìöë`çërùèKë¥üîèªì!ëIÿeíÕüì!ð:éIèî_ìíÕîKûèûüüìðnø)íôÕíÚý¥íÕîïúEë`ë¥ùø)ðªéêôÕð
3
úOèªç
.12"
ba0è
3
ë57ªë`ç0üë57ªë`çGðªô.éIèîfìçèôdôÕð
3
üö)ð7ªë
ø3ë`ë¥î ùë`çíc7ªë¥ù£úOèªç-üûéGö ðùçíÕúEìôÚë¥üüéIèîfìçèôdü÷Küìë¥ó>ü`ñ)üë`ëëdï^[
1e
ñ
1f
ñ
fA_
ðªîù£çë`úOë`çë¥îéIë¥üìöë`çë¥íÕî
Möëçèªøûüìðªü÷eóòìèªìíéüìðnø)íÕôíÚý¥ðnìíÚèîíÕüûîùë`çðªéIìûðªôðªîùg7ªë`ç÷>ðªéIìíc7ªë-çë¥üë¥ðnçéö%M-öë`çëëIÿíÕüìüðôÕðnçïªë
7nðnçíÚë`ì©÷èªú=éIèîfìçèôôÕð
3
üìö)ðnìüèôc7ªëTìöë+çèªø)û)üìðªü÷Kóò)ìèªìíÕéTüìðnø)íÕôÕíÕý¥ðnìíÚèî\òçèªø)ôÚë¥ó ñKüû)éöðªüùíÕüéIèîfìíÕîKûèûü
üðªóò)ôÕíÕîïúEë`ë¥ùø)ðªéê:[
1d1
ñ
GdeA_
ñªìíÕóëIþh7nðnç÷KíîïAéIèî_ìçèôeôÕð
3
üi[
1G
ñ
1j
ñ
GF]
ñ
Gk1l_
ñªò)ðnìéGöf÷úEë`ë¥ùø)ðªéêeü
ðªüíÕîP[nm
_!"
ñSokpo
q.r0sutHvxwzyn{h|D}~+~5 + dv0suvAtHdA`r6.
Gdj_
íî£ìöë¥üë+ò)ðnò3ë`çü
Möë-é`ôðªüüèªú.úOë`ë¥ùø)ðªéêNôÕð
3
üûî)ùë`çéIèîüíùë`çðnìíÚèîíÕîìöíÕüò)ðnò3ë`çéIèîüíüìüèªú.úOë`ë¥ùø)ðªéêKüó>íÎÿíÕîïrù)íÕüéIçë`ìë
ðªî)ù éIèîfìíî_ûèû)üéIèóò3èîë¥î_ìü5¨ìïíc7ªë¥üçíÕüëAìèð>é`ôÚèüë¥ùeþÆôÕè_èªò ü÷eüìë¥ó
3
íÚìöð>ö_÷_øçGíÕù\ìë`çó&üìûù)íÚë¥ù\ëdï^íÕî
[nm
1 ñ jF_
Möëûüëèªúüûéö:ðAé`ôÕðªüü=èªú)úOë`ë¥ùø)ðªéêKüúOèªçìöëüìðnø)íÕôíÚý¥ðnìíÚèîrèªúîèîôÕíîë¥ðnç2ü÷eüìë¥ó>ü
3
íÚìöèûì
ù)íÕüéIçë`ìë!üìðnìë
"
ðnòò3ë¥ðnçë¥ù 9çüìíÕîP[
G m _
©ìðªôÕôÚè
3
ü=ìèAùë¥üíÚïîðTü
3
íÚìéöíîï-üìçðnìë`ïª÷ø3ë`ì
3
ë`ë¥îùí3ë`çë¥î_ì2üóèKèªìö
éIèî_ìçèôôÕð
3
üùë59îë¥ùèîNðò)ðnçìíÚìíÕèîèªú.ìöë0üìðnìëAüòðªéIëd%MöíÕüíÕùë¥ð+èªúùë59)îíîï+ìöë-éIèî_ìçèôüóèKèªìöôÚ÷:ò)ðnçì
øK÷Xò)ðnçìrðªîù ü 3
íÚìéGöoø3ë`ì
3
ë`ë¥î ìöë>ù)íë`çë¥îfìréIèóò3èîë¥î_ìüíüD7ªë`ç÷oûüûðªôíîoîèîôÕíÕîë¥ðnçTéIèî_ìçèôìöë`èªç÷oüë`ë
ë`ï [nm
]
ñ
_
¨î£ìö)íÕüò)ðnò3ë`ç
3
ëéIèó>ò)ûìëðªîèªòìíÕóNðªôéIèîfìçèôdìöðnìAíÕü-üóè_èªìö"èîðNò)ðnçìèªúìöëüìðnìë:üò)ðªéIë
ðªî)ùpðªîèªìöë`ç:éIèî_ìçèô!ôÕð
3
ùë59îë¥ù[èîpìöëéIèóò)ôÚë¥óë¥î_ìèªú-ìöíÕüròðnçì5oëûüë\ðö_÷_ø)çíÕùoìë`çóìèXùë59)îë
ìöëü
3
íÚìéöíîïNüìçðnìë`ïª÷ø3ë`ì
3
ë`ë¥îø3èªìö éIèîfìçèô=ôð
3
ü`ñ
3
öíéö ë¥î)üûçë¥ü-çèªø)ûüìîë¥üü
3
íÚìö çë¥üòë¥éIì0ìè
üó>ðªôÕô
"
ó>ë¥ðªüûçë¥óë¥î_ì-îèíüëªñðªéIìûçðnìèªçAë`ççèªçü-ðªîùëIÿKìë`çGîðªôdùíüìûçø)ðªî)éIë¥ü5
èªçëòçë¥é`íÕüë¥ôÚ÷+ìöëV9çüì=üìë`ò:èªúèûç2òçèKéIë¥ùûçëéIèîüíÕüìüíÕîüèôc7eíÕîïìöë!ìíÕó>ëIþÒèªòìíÕó>ðªôKéIèîfìçèô_ò)çèªø)ôÚë¥ó£ñ
úOèªçAìöëü÷eüìë¥ó
.12"
üûø)ó>íÚììë¥ù£ìèìöëéIèî)üìçðªíÕî_ì
HGI"
ñèªúüìë`ë`çíÕîïNð>ò3èíÕî_ì
ìèNìöëòèíîfì
J
TúéIèûçüëªñ
èîìöëèîëöðªî)ù£ìöíÕüò)çèªø)ôÚë¥ó&íü-íÕî£ïªë¥îë`çðªô 7ªë`ç÷ ùíNé`ûôÕììèüèôc7ªëªñðªîù èî"ìöëèªìöë`çAöðªî)ù ùûërìè\ìöë
æçèeéêªë`ìì>éIèî)ùíÚìíÚèîpüûéö éIèî_ìçèôÕü:ðnçëîèªìüó>è_èªìöpúOû)îéIìíÚèîüèªú
3
öë¥îë57ªë`ç U W MöíÕüçðªíÕüë¥üìöë
ò)çèªø)ôÚë¥ó èªú!ìöëçë`ïû)ôÕðnçíÚì©÷èªú!èªòìíÕóNðªôéIèîfìçèôüíÕîoð é`ôÕèüë¥ùeþÆôÚèKèªò[úOèªçó?Möë>ôíÚìë`çðnìûçë:èî ìöíÕü+üûøÌë¥éIì
íüíÕóNóë¥îüëd Möëòçèªø)ôÚë¥ó èªú-ùë`ìë`çóNíÕîíÕîï"ìöë\ðªî)ðªôÚ÷_ìíéNçë`ïû)ôÕðnçíÚì©÷oèªúìöëP7{ðªôÕûëNúûîéIìíÚèîpúEèªçðïíc7ªë¥î
ðªî)ðªôÚ÷_ìíé
"
èªò)ìíÕó>ðªôéIèîfìçèô3ò)çèªø)ôÚë¥ó£ñKöðªüø3ë`ë¥î.ñðªóèîïèªìöë`çü`ñíÕîS7ªë¥üìíÚïðnìë¥ùøK÷\[nm
]F_
èªçü÷Küìë¥ó>üèªúdìöë
úOèªçó
.12"
ñìöëìíóëIþÒèªòìíÕó>ðªôòçèªø)ôÚë¥óûîùë`çìöë£éIèîüìçðªíîfì
HGI"
íÕüë_û)íc7{ðªôÕë¥îfììèXìöë£üûøþ`p0íÚë¥ó>ðªîîíðªî
ò)çèªø)ôÚë¥ó ðªüüèKé`íÕðnìë¥ù5ìèoìöë 7ªë¥éIìèªçP9ë¥ôÕùü
- * /5454542/6-
&
¨î(ìö)íÕü:úEçGðªóë
3
èªçêñìöë ìíÕóëIþÆóNíÕîíÕó>ðªôúûîéIìíÚèî
ìè
J
íÕüë_ûðªôìè ìöëüûøþ`p0íÚë¥ó>ðªîîíðªîoùíÕüìðªîéIë\ìè
KJ
ñüë`ë\úEèªçíÕîüìðªîéIë\[
_
\Möë\ðªîðªôÚ÷KìíÕéNçë`ïûôÕðnçíÚì©÷
èªú-ìöë\üûøþ`p-íÕë¥ó>ðªîîíÕðªîoù)íÕüìðªîéIë\íÕüçë¥ôÕðnìë¥ù ìèXìöëëIÿeíüìë¥îéIë\èªú-üíÕîïû)ôÕðnçó>íÕî)íÕó>íÚý¥íÕîï\ìçGðÌë¥éIìèªçíÕë¥ü`ñüë`ë
[1 ñ G ñm
G_
èªçë:òçë¥é`íÕüë¥ôÚ÷ªñíÚúìöë 7ªë¥éIìèªçD9ë¥ôÕùü
- * /545454/6-
&
ðnçëðªî)ðªôÚ÷_ìíéðªîù íÚúìöë`çëùèKë¥üAîèªì0ëIÿíÕüìTðªî_÷
îèîfìçí7KíÕðªô2üíÕîïû)ôÕðnçó>íÕîíó>íÚý¥íÕîï:ìçðë¥éIìèªç÷"üìðnçìíÕîïúEçèó
KJ
ñìöë¥îìöëüûøþ`p-íÚë¥óNðªîîíÕðªî£ùíüìðªîéIëìè
KJ
íüüûø)ðªî)ðªôÚ÷_ìíé0èûìüíÕùë
J
üë`ë [1 mñ
1 _
úEèªç-ð:ïªë¥îë`çðªôdùë59îíÚìíÚèî\èªúüûø)ðªîðªôÕ÷_ìíÕéTüë`ìü
"
¨îìöëròçë¥üë¥î_ìðnçìíÕé`ôÕë
3
ërúOèeé`ûüèî£ìöëüènþÆé`ðªôÕôÚë¥ù æçèeéêªë`ììTü÷eüìë¥ó&íÕî! "
! " $ , *
! ".-
*
!! "
O , B
! ".-
B
!! "#"0/ m "
3
öë`çëªñ)ùë¥îèªìíÕîï
?$ !
*
/#
B
/#
" " ñ
- * $ #
# * O B #
# " / - B $ #
# B%$
* #
# " / "
ðªî)ù£ìöëéIèî_ìçèôdüðnìíÕü#9ë¥ü!ìöëéIèîüìçðªíÕî_ì
, *
! "=B O , B
! #"=BDCE1F4 HfI"
TûçðªíÕó íÕüì
3
èªúEèôù.ñðªîù éIèî)üíÕüìüíÕî ðªéGöíÚë57eíÕîï ð çèªø)û)üìüìðnøíÕôÕíÚý¥ðnìíÚèî[òçèeéIë¥üüúOèªçìöëü÷eüìë¥ó
m "
û)îùë`çdìöëéIèîüìçGðªíÕîfì
HfI"
M2è0ùè-ìöíÕü
3
ëb9çüì2üèôc7ªëìöëéIèªççë¥üòèî)ùíÕîï!ìíÕóëIþÒèªò)ìíÕó>ðªôféIèî_ìçèô_òçèªø)ôÕë¥ó/ðªîù
ìöë¥îùë59îërðNö_÷_ø)çíÕù£úOë`ë¥ùø)ðªéê ôÕð
3
ûüíÕîï>ðüûíÚìðnøôÚërü
3
íÚìéGöíÕîïüìçðnìë`ïª÷
óèªçëòçë¥é`íÕüë¥ôÚ÷£ðªî"ö_÷Küìë`çë¥üíÕü
"
ø3ë`ì
3
ë`ë¥îìö)íÕüìíÕóëIþÒèªòìíó>ðªôeéIèîfìçèô)ðªîù:ðªîèªìöë`çéIèî_ìçèôùë59îë¥ùèîð+îë¥íÚïö_øèªçGöè_èeùrèªúìöëùíÕüéIèîfìíÕîKûíÚì©÷
üë`ìèªúìöë+èªòìíÕó>ðªôdéIèîfìçèôh
¨îìöë+òçë¥üë¥î_ì!òçèeéIë`ë¥ùíÕîïü!ò)ðnò3ë`ç¥ñ
3
ërùè>îèªìïíc7ªë+ìöë+òçèKèªúOü`ñøûì
3
ë+ëIÿeò)ôÕíÕé`íÕìèûçö_÷KøçíÕù\úOë`ë¥ùø)ðªéê
ôð
3
ðªîù"íÚìü0éIèîüìçû)éIìíÚèîíÚçüìèªúðªôôõñ
3
ëçë¥é`ðªôÕô2ðNîèªìíÕèî èªúüèôÕûìíÕèî"ðªùðnòìë¥ù"ìè\ö_÷KøçíÕù£éIèî_ìçèôÕü`ñðªîù
óNðnêªë"òçë¥é`íüë£ìöë"îèªìíÕèî(èªú+üìðnø)íÕôÕíÕý¥ðnìíÚèî 7Kíðoð[öf÷KøçíùpúOë`ë¥ùø)ðªéê ôÕð
3
íÕî(ó>íÕîíó>ðªôìíÕóë"íÕî oeë¥éIìíÚèî
G
oë\ìöë¥î üìðnìëNìöëó>ðªíÕî çë¥üûôÕì`ñ2îðªóë¥ôÕ÷ ìö)ðnììöë`çëëIÿeíüìüðöf÷KøçíÕù[ìíÕóëIþÆó>íÕî)íÕó>ðªôéIèîfìçèôüìðnøíÕôÕíÚý¥íÕîï
üë¥ó>íÎþÒïôÚèªø)ðªôôÚ÷[ìöë£èªçíÕïíÕî èªú
m " ñ HfI":
üë`ë\oKë¥éIìíÚèî8m
"
YMöë\çë¥üì:èªú0ìöëò)ðnò3ë`ç>íÕüìöë¥î(ùë57ªèªìë¥ù ìèoìöë
éIèî_ìçûéIìíÕèîoèªúìöëö_÷_ø)çíÕùúEë`ë¥éIø)ðªéêK oë>ùë59)îëèûç!&ôÕèKé`ðªô('ó>íîíÕó>ðªôÎþÒìíóëéIèî_ìçèôôÕð
3
íÕî oKë¥éIìíÚèî)^
1 ñ
ìöë*&ÌïôÚèªøðªô('nèîëíî oKë¥éIìíÚèî+^
G
ðªî)ù ìöë\öf÷KøçíùXúEë`ë¥ùøðªéê ôÕð
3
øK÷oó>ðnêeíÕîï"ìöëö_÷Küìë`çë¥üíÕürø3ë`ì
3
ë`ë¥î ìöë
ø3èªìö éIèó>òèîë¥îfìü
üë`ë oKë¥éIìíÚèî
fI"
,èªçAðéIèóò)ôÚë`ìërò)çè_èªú=èªú=ìöërçèªø)û)üìèªòìíÕó>ðªô.üìðnø)íÕôÕíÚý¥ðnìíÕèî£üë`ë [G _
ÌîXìöíÕüTüë¥éIìíÕèî
3
ë>íÕî_ìçèeùûéIëìöë>îèªìíÚèî)ü0èªú!éIèî_ìçèôÕôÚë`çrðªîù èªú!üèôÕûìíÕèîü-èªú!ùí3ë`çë¥î_ìíÕðªô2ë_ûðnìíÕèîüTìöðnì
3
íÕôÕôø3ërûüë¥ùìöçèûïöèûììöëròðnòë`ç2
Möë+éIèî_ìçèôÕôÚë`çü-ûîùë`çéIèîüíÕùë`çðnìíÚèî"ðªùó>íÚì!ìöërúOèôÕôÚè
3
íÕîïùë¥üéIçíÚòìíÚèî
üë`ëP[nm
1 ñ jA_!"
, $ ,
! /A"0/ $ ! /
"0/ I"
3
öë`çë
ë57ªèôc7ªë¥üíÕîXìöëg9)îíÚìëüë`ì
1F/6G ñ
å ! #"$
1F/6G&%
B
íü+éIèîfìíÕîKûèûü+íî
úOèªçrë¥ðªéö 9ÿKë¥ù
'
ñ
å "(
1F/6G)%
1F/6G
íÕü-ð:úOûî)éIìíÚèî.ñðªîù
íÕüùë59)îë¥ù.ñðnììöíÕüüìðnïªërèîôÚ÷\úEèªçGó>ðªôÕôÚ÷ªñðªü
! " $ ôÕíÕó
*,+.-
IF"04 "
M-öëüë`ì/
1F/6G
íÕü2ë¥îùè
3
ë¥ù
3
íÚìörìöëùíüéIçë`ìëìèªò3èôÚèªïª÷ªñ
02130
ë57ªë`ç÷üë`ìíÕü2ðªîèªò3ë¥îüë`ì5 Möëðnø3è27ªë!éIèîfìçèôÕôÚë`ç
íüöf÷Køçíù\ù)ûëTìè>ìöëròçë¥üë¥îéIë+èªúìöërùíÕüéIçë`ìërù÷eîðªó>íÕé`ü!èªú
©ìïí7ªë¥üçíÕüë+ìèðîèîeþÆé`ôÕðªüüíÕé`ðªô.èªçùíîðnç÷
ù)íë`çë¥îfìíÕðªô3ëKûðnìíÚèî"ùë¥üéIçíÚøíÕîï:ìöërù÷eîðªó>íÕé`ü!èªúìöëré`ôÕèüë¥ùeþÆôÚèKèªò"ü÷eüìë¥ó?
4Aë¥îèªìíÕîï
- å " & %
ìöë0úûîéIìíÕèîùë59îíÕîïrìöëAçGíÚïöfì!öðªîùþÆüíÕùëèªúdìöëAù)íë`çë¥îfìíÕðªôëKûðnìíÚèî
m " ñ 3
ëé`ðªî çë
3
çGíÚìë
m "
ðªü
:$ - !+/
,
"04 HjI"
¨î"ìöíÕü0ò)ðnò3ë`ç
3
ëðnçëíÕî_ìë`çë¥üìë¥ùXíÕîðîèªìíÚèî"èªúçèªø)ûüìîë¥üüìèüó>ðªôÕô2îèíÕüëd)5èîüíùë`çì
3
èúOû)îéIìíÚèîü
6
ðªîù87üðnìíÕüúO÷eíÕîïìöë+úOèôÕôÚè
3
íÕîï
,1:9<;>=@?2A CBBD;>E F?HG.B
å
6 =<c/5<>"0/
7
=<c/5<>"JI&K/L
MONQP
" [ ]k/
ORQ
"SR "0/
6 =<c/# "0/
7
=<c/# "IUT
J / "0/WV /I
[
]k/
ORQ
"04
HeI"
oëoíÕî_ìçèeùûéIë ìöë¥üë"úûîéIìíÚèî)üNðªü\ðpóë¥ðªüûçë¥óë¥î_ìîèíüë
6
ðªîù ðªî5ëIÿeìë`çîðªôAîèíÕüëX7ñ-ðªî)ù5ùë59)îë"ìöë
ò3ë`çìûçø3ë¥ù\ü÷Küìë¥ó * 3 íÚìö
,
ïíc7ªë¥î£øK÷
I"
ñ
202130
! " $ - !! #"0/
,
!! "
O
6S!! "0/# #"0/S! "#"#"
OY7
!! "0/# #"0/
'I! " $ !! "
O
6S!! "0/# #"0/
! "#"04
.15] "
M-öëîèªìíÚèî èªúüèôÕûìíÚèî£èªúüû)éö"ö_÷KøçíÕù\ò3ë`çìûçø3ë¥ù£ü÷eüìë¥ó>ü0öðªüø3ë`ë¥î
3
ë¥ôÕôÎþÆüìû)ùíÚë¥ù£íÕî£ìöëôÕíÚìë`çðnìûçëªñüë`ë
1'0Z90
[j ñ e ñ 1 eñ m 1 ñ
Gdf
ñ
G<_
bMdè>ø3ë+üë¥ôÚúEþÆéIèî_ìðªíÕîë¥ù.ñ)ôÕë`ìûüçë¥é`ðªôÕôìöërùë59)îíÕìíÚèî\èªúðüèôÕûìíÚèîèªú
.15] "
[£Þ\!]_^a`^Oá]bc2decgf
@hH1iGkjml ]onx!KJF/AJ5"pI
! q"(
1F/6G<nHGr kG <G.st1iE u?2AgBi1i?_vxwyBD?2z'?2=ZA&z <Ge? @Gu1,r!@G
"g
1F/6G<n|{/1JB HAx?@} <?b@~/SFA" aB
üèôÕûìíÚèî
nBD? D?@G9 HE !KJF/AJ2"nQ S HG
[
]k/QjD" ?@}>1! H=@=H{ aGo9
z HGr2?HGB} H=r
0?@}>1E X~ aB DB H=Z;?1i=ZA&z HG?aG.; H;oB <G
[
]k/QjD"
0?@}>1 t1} <=rCBSn <=ZE CB? <=a= @G
[
]k/Qj "n
~ ! " $ -g@~ ! #"0/@~ ! #"
O 6 @~ ! #"0/# "0/SFk! #"#"#"
OY7
@~ ! #"0/# "SR
0/ H=@= WI
[
]k/Qj "BS;.z}&?@} <?i@~ ! #"0/SF! #"#" aBaGvxwn|?@}>1E aG9kF aB 9<}?2sQz HGe?@G.; H;oB <?+
0/ H=@= WI ]k/Qj "BS;.z}8?@} ?/
! "1, aBD?@BSn,HGu1} HB
FS! #" $ @~ ! "
O 6 @~ ! "0/# "0/S
! "#"SR .1d12"
0?@}>1 t1} <=r~ ] " $ J HGurI] "N$ !KJ
O
6S!KJF/] "0/AJA"04
w #r6Dr0sutHvi.v0tHyOAr6Dr0 {hFr6{hv6 vyutHtH.ti> ¢¡t£AH¤S¥¦¨§
HjI" 3
ìíóë
3
íÚìöðçèªø)û)üìîë¥üü0òçèªò3ë`çì©÷
3
íÚìöçë¥üò3ë¥éIì0ìè£óë¥ðªüûçë¥óë¥î_ìAîèíÕüëðªî)ùëIÿeìë`çîðªôùíüìûçø)ðªî)éIëd Möë
û)üûðªôû)é`ôÕíÕùë¥ðªîîèªçGó íÕî íÕü£ùë¥îèªìë¥ùø_÷
<
!ðªîù
3
ë[çë¥é`ðªôô+ìöðnì"ð(úûîéIìíÕèîèªúé`ôÕðªüü
L
íÕü£ð
úûîéIìíÕèîfå [
]k/
ORQ
"8%
[
]k/
OQ
" 3
öíÕéö íÕüNéIèî_ìíÕîKûèûü`ñüìçíÕéIìôÚ÷(íÕîéIçë¥ðªüíÕîïñüðnìíÕüúE÷eíÕîï
] " $ ] ðªîù
ôíÕó
L
"b$
ORQ;
[£Þ\!]_^a`^Oá]bcbc
13?
å % S1 gz HGe?@G.; H;oB|D;oGuz3?HG B <?aBaDAaG9
!"Wl8]k/VK$ ]k4 .1GI"
1B HA?@} <??@}>1
éIèóò)ôÕë`ìë¥îë¥üüðªüüûóòìíÚèî:úOèªç
} H=rCB Sn H=@=K6d/
7
"pB <?aBaDAaG9x?@}>1 t19<;>= 2?2A CBBD;oE s
? HGBgDn HGrkB k?@} <?@n
üûò
J
L
6S! /5<>"
C !"0/
ë¥üüüûò
J
L 7
! /5<>"
C !"0/VKUI / .1
m "
H=@= !KJF/AJ"WI
")
1F/6G<n!?@}>1 t11, ¨B?@BE 3 @E H=B H=Z;? HG HG
[
]k/
OQ
" t S)B?D?@G9/ HE !KJ/AJ2"0
[£Þ\!]_^a`^Oá] bFc! c"
1kB HA?@} <??@}1
ûî)íÚúEèªçGóX9)îíÕìëìíÕó>ë\éIèîS7ªë`çïªë¥îéIë ò)çèªò3ë`çìÆ÷
} H=rCB ?@}>1 ,1 1, aBD?@B
z HGe?@G.; H;oB D;>Gz3?HG#
å % B <?aBaDAaGo9
'n BS;.z}X?@} <?p?@}>1z HE = 1i?1GF1DBB CBSBS;>E u?<G $} H=rCBn
<Gr g?@}1 ,1U1 aBD?@B!S;>Gz'?HG oå [
]k/
ORQ
"%
[
]k/
ORQ
" Q&zi=CBB L
BD;.z}Y?@} <?@n <=a=&% l ]on?@}1 ,1
1 aBD?@B' $('z%"l ]$BD;.z}$?@} <?@n H=@=eD;oGuz3?HGB6I/
7 B <?¨B@SA@G9?@}1 t19<;>= 2?2A+CBSBS;>E u?<GB()D)<Gr
@Gu1+*i; H=@?:1DB
?@} aB D;oGuz3?HG,.n,H=@=KJ)I n J
C-%n,HGr H=@=AJI
1F/6G<n ?@}>1E 3 aE H=_B <=Z;?HG
!+/'" Qk S BD??aGo9J HE !KJF/AJ2"JB ?¨B/. 1DB
! #"
C
%"0/VK 108]k/ .1
"
<Gr
! #"N$;]k/V 20-'k4 .1fI"
oëðnçëîè
3
ðnø)ôÕë+ìèNùë59)îë+ìöëó>ðªíÕî£éIèîéIë`ò)ìèªúìöë+ò)ðnò3ë`ç
[£Þ\!]_^a`^Oá]mbFc43c65
}1 9 @G aBB rX? (1
üë¥ó>íÎþÒïôÚèªø)ðªôó>íîíÕó>ðªô2ìíÕóë:çèªø)û)üì+üìðnø)ôÚë:ëKûíÕôÕíÚø)çíÕûó
?@}1 BSACBD?1iE 87i Sn_ H=@=9Xl ] HGr)H=@=/z <E z3?JBD;.Bi13?;:=<
!
n?@}>1 t1X1, aBD?@B X}A ri1S1,r z?>8=H{
, /F"
å "q
1F/6G)%
&
"(
1F/6G&B ?¨B@SA@G9?@}>1z <GBD?@Ge?
@ ,
! /A"
@ C 1F/ .13I"
{}1 ,1
@ < @
BD? HGrHB| ?@}>1A;z3=r HG G DE @G
&
n!BS;.zi}&?@} <?:
B?@}>1;>G SEC. G 2?1?aE 1z HGehH1 91iGzS1 1 ?2Ag} H=rCB
B?@}>1 t11, ¨B?@B xz HGe?@G.; H;oBD;>Gz3? HGD E å % B <?aBaDAaGo9X
W 1g$F E nBS;.zi}k?@} <?@n. H=a=
D;oGuz3? HGB6d/
7 B <?¨B@SA@G9 ?@}>1 t19<;>= 2?2A HBBS;>E u? HGBU)D HGr @Gu1G*3; H=2?:1DB8
$ En H=a=
KJI6:#n?@}>1JE 3 @E H=B H=;?HG Q SB? D?@G9p HE KJ t1 z}>1BJ?@}>1 9 @G&{ 2?@} aG8?@E 1/j ! J5"
O
<n
{}>1 t1pj ! J2"r1iG <?1DB?@}>1E%@G aE H=_?aE 1? B?11 ?@}>1BSACBD?1iE 87pHELKJ ? ?@}>1 9 @Gn ;>Gr1 ?@}1
z <GBD?@Ge?
@ , @ C 10
H I 0 .
JLK Þ_áâQÞNM d.cD5
}>1 t11, ¨B?@B}A 2ri1S1,r z?>=H{ , /"n
, å " "&
1F/6G%
B
HGur
å " "8
1F/6G)%
1F/6G<nBD;zi} ?@} <??@}>1 9 @G!¨B B31E%as9<= H=eE%@G aE H=sQ?aE 1 ;oB?B?=11+*i; a=: a;>E J?@}>1BSACBD?1iE
'n
;>Gr1 ?@}>1z HGB? @Ge?)
H0
1E > 0@ f 3 3 , /F"
1E > 0 oëé`ðªîXüìðnìë>ðù)ûðªôçë¥üûôÚì-úOèªçTìöë:üìðnø)íÕôÕíÕý¥ðnìíÚèî ìè\ìöëèªçíÚïíÕîèªúìöë:æçèKéêªë`ììríÕî_ìë`ïªçðnìèªç
3
íÚìö ó>íÕî)íÕó>ðªôë¥îë`çïª÷
3
öë¥î:9ÿíÕîï:ìöë9)îðªô3ìíÕóëd
¨î_ìûíÚìí7ªë¥ôÚ÷ªñ3ìöë>üìçðnìë`ïª÷oíÕüTðªü+úOèôÕôÚè
3
ü5 èªç
I
! =ñdôÚë`ì
j !"
ùë¥îèªìëìöëó>íÕîíó>ðªôdìíóëîë`ë¥ùë¥ùXìè
üìë`ë`çìöëTü÷Küìë¥ó
m "
úEçèó
ìèìöëAèªçíÚïíî.ñKû)îùë`çìöë+éIèîüìçðªíÕî_ì
HfI"
NMöëTéIèªççë¥üòèî)ùíÕîïóNíÕîíÕó>ðªô)ìíÕóë
úOë`ë¥ùø)ðªéê>ôÕð
3
ñ_é`ðªôÕôÚë¥ù
=3z H= z HG? H=@=1
ñeö)ðnòò3ë¥îüìèø3ë-éIèî_ìíÕîKûèûü
ë57ªë¥î\ðªîðªôÚ÷KìíÕé
"
èî !
*
$;
B $ ]o
¨ìíÕü!ìöë`çë`úEèªçërîë¥éIë¥üüðnç÷\ìè>ûüërðªîèªìöë`ç-éIèîfìçèôÕôÚë`ç¥ñé`ðªôÕôÚë¥ù
9= H=z HGe?H=@=1
ñíÕîðîë¥íÚïªø3èªçöèKèeù èªú=ìöë
ôíÕîë8
* $ B $ ]o
"èªçëòçë¥é`íüë¥ôÚ÷ªñ
3
íÕôÕôø3ë\éIèîüìçûéIìë¥ù üèXðªü:ìè øëéI÷eôÕíÕîùçGíÕéðnçèûîù ìöíÕüôÕíÕîëªñ
ðªî)ù éIèî)íÕéîë¥ðnçTìöëèªçíÚïíî
üë`ë íÚï^Dm>úûçìöë`ç
"
Ìî"ìöíü0îë¥íÕïöfø3èªçöèKèeù
3
ëöð27ªë:ìè\ùë59îëðªîXðªùëKûðnìë
ü 3
íÚìéö)íÕîïüìçðnìë`ïª÷d T0èªìíÕéIë:ìöðnìÙíÕüAðnçø)íÚìçGðnçíÕôÚ÷ìöíÕîñðªîù ìöKûüAìöë:ìíÕóë
îë`ë¥ùë¥ù úOèªç+ìöë:ìçð7ªë`çGüíÕîï
èªúíÕüðnçø)íÚìçðnçíôÚ÷>üó>ðªôÕôÒñKûî)íÚúEèªçGó>ôÚ÷
3
íÚìöçë¥üò3ë¥éIììèNìöëríÕîíÚìíðªôéIèîù)íÚìíÚèî Möë`çë`úEèªçëªñüìðnçìíÕîïúOçèó8ðªî
íîíÚìíÕðªôò3èíÕî_ì
ñìöërìíóërîë`ë¥ùë¥ù£ìèÌèíÕîìöërèªçíÚïíÕîñeû)üíÕîï:ìöíÕüö_÷KøçíÕùüìçðnìë`ïª÷ªñíÕüëKûðªô.ìè
j!"
O
Möëçë¥üìèªú3ìöë-òðnòë`çíÕüèªçïðªî)íÚý`ë¥ùNðªüúEèôôÚè
3
ü+oëTùë59)îëìöë0ôÚèeé`ðªôéIèî_ìçèôÕôÚë`çíÕî oKë¥éIìíÚèî ^
1
ðªî)ù>ìöë
ïôÕèªø)ðªôdèîëíÕî oKë¥éIìíÚèî ^
G
Möëü
3
íÕìéöíÕîïNüìçðnìë`ïª÷ ø3ë`ì
3
ë`ë¥î ìöë¥üëúOë`ë¥ùø)ðªéêeüAø_÷ ó>ë¥ðªîü-èªúðNö_÷Küìë`çë¥üíÕü
íüëIÿKòôÕðªíÕîë¥ùíÕîoKë¥éIìíÕèî
f
èªçAð>éIèóò)ôÕë`ìëròçèKèªúdèªúèûç-óNðªíÕîçë¥üûôÕì!üë`ë [G _
NF F% ,
"!#$"&%('*)+&,-.)
Ìî ìöíÕü üë¥éIìíÚèî
3 ë ùë59)îë ðªîù éIèóò)ûìëpìöë
=3z H=z HGe?H=@=1 ðªîù
3 ë ïíc7ªë üèóë òçèªò3ë`çìíÚë¥ü"èªú>ìöë
5ðnçðnìö0/ë`èKùèªç÷ üèôÕûìíÕèîü!èªú
HjI" 3
íÚìö£üû)éö ðéIèî_ìçèôdôð
3
5èîüíùë`çìöëæçèeéêªë`ìì+ü÷eüìë¥ó
m "
¨ì0íÕü0ðNüìðªîù)ðnçù úðªéIì-ìöðnìAìöëó>íÕîíÕóûó ìíÕó>ëròçèªø)ôÕë¥ó8úEèªçAìöë
ü÷Küìë¥ó
m " ñ 3
íÕìö ìöë£éIèîüìçðªíÕî_ì
, B* O , BB C 1
ñíÕü:ëKûíc7nðªôÚë¥î_ììèoìöë
BS;es 1iE <G.G HG i=1iE
íÕî* "
ðªüüèKé`íðnìë¥ù"ìè\ìöëR7ªë¥éIìèªçD9ë¥ôùü
- * ðªîù
- B
üë`ëúOèªç0íîüìðªîéIë [
_!"
ñðªîùóèªçë`èA7ªë`çAìöëó>íÕî)íÕó>ðªôìíÕóë
j !"
îë`ë¥ùë¥ù ìèoüìë`ë`ç:ìöëèªçíÚïíÕî ìè ðò3èíÕî_ì
I
" íÕüëKûðªôìè ìöëüûøþ`p-íÚë¥ó>ðªî)îíÕðªî[ùíüìðªîéIëNèªú
ìè ìöë
èªçGíÚïíÕî1AüíÕîïìöíÕüúðªéIì`ñìöëAúOû)îéIìíÚèî
j
ó>ð<÷>ø3ë0éIèóòûìë¥ù\ëIÿKò)ôíÕé`íÚìôÚ÷ªñfðªî)ù
3
ëTçë¥é`ðªôÕôìöë0úOèôÕôÚè
3
íÕîïçë¥üûôÚì
èªú [
_b
üë`ëðªôÕüè[
G _
úEèªç0ð>éIèóò)ûìðnìíÕèî
"
2âQá43á)ä'^a`^Oáu] 3 cdec
13?;oBpz HGB2r1 ?@}>1pE%aG @E;>E ?@Ex1 =1Ey p?@}>1pBSACBD?1iE
;>Gr1 p?@}>1z HG.BD?aG?
, B* O , BB $ 10
5
}>1E%@G @E <=|?aE 1)j !"Gu11r1,rU? 8BD?11 x?@}>1 9 aG ? % @Ge?b $ !
*
/#
B
/#
"
")I
"
aB
9 ah<1GA
j!
*
/#
B
/#
" " $ 5
6 5 O üíî
B 5 $ üíÕî
5
éIèü
5 7 B* O BB O G " / .1
"
{}1 ,1
5 $ 5
!
*
/#
B
/#
" " ¨B?@}1;oG *3;.1)B <=Z;? HG aG
[
]k/98
[
Q
5 $ üíî
5
éIèü
5
üíÕî
B 5
! B* O BB
"%$ G " 4 .1jI"
:
,1 Hh<1 ?@}1/S;>Gz'?HGgj ¨Bz HGe?@G.; H;oB HG
"
n,HGr aB HG H=A<?2z H;?@B r1?@}>1=aGu1
*
$;
B $ ].0
;
ôÕë57ªë¥ôüë`ì
!
*
/#
B
/#
" " j !
*
/#
B
/#
"
"$=<
ñ 3 öë`çë
<Xl ]
ñ=íÕüTùçð
3
îXèî íÚï^
1
%¨îXìöë>ôðªîïûðnïªë
èªúüûøþ`p-íÕë¥ó>ðªîîíÕðªî ïªë`èóë`ìç÷ íÚìrçë`ò)çë¥üë¥î_ìürìöë\üûøþ`p0íÚë¥ó>ðªîîíðªî üò)öë`çëNéIë¥î_ìë`çë¥ù ðnììöëèªçíÚïíÕîñ
3
íÚìö
çGðªùíÕûü
<
ñíÕîìöë a-ë¥íÕüë¥îfø3ë`çï>é`ðªüëd Aø)üë`ç7ªëìöðnì-íÚìíÕüð{ÿíÕðªôü÷Kó>ó>ë`ìçíÕénñ
3
íÚìö£çë¥üò3ë¥éIììè>ìöëð{ÿíÕü
]F
" "
Tî+íÚï^
G
ðnçëùçð
3 î íÕî_ìë`çüë¥éIìíÕèîüèªúù)íë`çë¥îfìôÚë57ªë¥ôüë`ìüèªú j 3
íÚìöpð ò)ôÕðªîëNéIèîfìðªíîíÕîïìöëð{ÿíÕü
]F
" "
oë0é`ðªîïíc7ªë0ðªîëIÿeò)ôÕíÕé`íÚìëIÿeòçë¥üüíÚèîèªú.ìöë0èªòìíÕó>ðªôéIèîfìçèôÕôÚë`ç
ôÕèKé`ðªôéIèîfìçèôôÚë`ç
"
ñeðªüúOèôÕôÚè
3 ü üë`ë[
G _!"
1 !
*
/#
B
/#
" " j !
*
/#
B
/#
"
"N$ <o
–1 –0.5 0 0.5 1
–2 –1 1 2
íÚïûçë
G
åÌî_ìë`çüë¥éIìíÚèî"èªúù)íë`çë¥îfìôÚë57ªë¥ô2üë`ìü
3
íÚìö£ð7ªë`çìíÕé`ðªôòôÕðªîëd
2âQá43á)ä'^a`^Oáu] 3 c¨bFc#5
}>1?aE 1is E%@G aE H=z HG? H=@=1 , M $ , M* / , MB
"BD?1S1 aGo9 aG??$ !
*
/#
B
/#
"
"WI
"
BD;.z}8?@} <?
B* O BB
$ ] ?k?@}1% 9 @G({ 2?1DB
, M*
!"%$
$ 1
G *
6 B* O BB éIèü
* G "
B* O B
B
O B 9<G !
"
"S
B
üíî
* G "
B* O B
B
/
, MB
!"%$
$ 1
G B
6 B* O BB éIèü
* G "
B* O B
B
$ B 9<G !
"
"S
*
üíî
* G "
B* O B
B
/
.1eI"
{}1 ,1?@}>1/D;oGuz3?HG
n r1. Gu1,r8iA
5
"%$ 5 $ üíÕî
5
éIèü
5
üíÕî
B 5 / 5
I_]k/98 [/
] "N$ ]k/
aB kE HG <?HGF1%@Gz ,1 CBaGo9&r1 HE e} aBSE Q
[
]k/98
[
<Ge? 0
T-è
3
ìöíÕüôÕèKé`ðªôéIèîfìçèôôÚë`çö)ðªüø3ë`ë¥îùë59)îë¥ù.ñ
3
ëTíÕîS7ªë¥üìíÚïðnìëAìöëAçèªø)ûüìîë¥üüòçèªòë`çìíÚë¥üèªú.ìöëTü÷eüìë¥ó
íî é`ôÚèüë¥ùeþÆôÕè_èªò
3
íÕìöìöíÕüéIèî_ìçèôÕôÚë`ç2
íc7ªë¥î
6d/
7[å Y"8[
]k/
ORQ
"%
=ñ=ìöë>ò3ë`çìûçø3ë¥ùoé`ôÚèüë¥ùeþÆôÚèKèªò ü÷eüìë¥ó û)îùë`çréIèîüíùë`çðnìíÚèî[íîoìöíÕü
üë¥éIìíÚèî"íÕü!èªúìöë+úOèªçó