1. On peut proposer le script suivant :

(1)

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Correction du devoir surveillé

DS4

Exercice 1

1. On peut proposer le script suivant :

1

function u = suite(n)

2

u = 0

3

for k = 1:n

4

u = cos(u)

5

end

6

endfunction

2. Il nous faut déjà créer un vecteur y contenant tous les termes de la suite (u

_n

) pour n = 0, . . . , 20. Il restera alors à tracer les points de coordonnées (k, u

_k

) pour k = 0, . . . , 20, ce qu’on peut faire à l’aide de la commande plot2d . On peut utiliser le script suivant.

1

y = zeros(1,21)

2

for k=1:20

3

y(k) = suite(k)

4

end

5

x = 0:20

6

plot2d(x,y,-1)

Le terme −1 permet de ne pas relier les points.

On pouvait aussi utiliser la commande suivante, plus simple, qui donnait le même résul- tat.

1

x = 0:20

2

fplot2d(x,suite,-1)

3. On passe à la limite dans l’expression u

_n+1

= cos(u

_n

). Comme tout converge et que cos est une fonction continue, on obtient ` = cos(`). Ainsi, ` est un point fixe de cos.

Déjà Vu ?

Il s’agit d’une suite récurrente d’ordre 1, du type u

_n+1

= f(u

_n

) avec f = cos. Nous avons déjà rencontré de telles suites à de nombreuses reprises (voir par exemple le TD0). Les méthodes d’études de telles suites sont détaillées dans le Complément 0. Méthodes d’étude d’une suite récurrente d’ordre 1.

4. La fonction cos étant déjà rentrée dans Scilab , on peut directement proposer le script suivant :

1

x = linspace(0,1,100)

2

fplot2d(x,cos,5) //pour tracer le cosinus

3

plot2d(x,x,2) //pour tracer la fonction g

` est l’abscisse du point d’intersection des courbes de x 7→ x et de x 7→ cos(x) sur l’intervalle [0, 1] (qui est un intervalle stable par cos, et qui contient donc tous les termes de la suite u). Par lecture graphique, on obtient donc ` ≈ 0, 74.

1

(2)

5. (a) On peut utiliser le script suivant :

1

function n = premier_entier(p)

2

u = 0

3

v = 1

4

n = 0

5

while abs(u-v)>10^(-p)

6

u = v

7

v = cos(v)

8

n = n+1

9

end

10

endfunction

u et v contiennent respectivement les termes u

_n

et u

_n+1

, et on augmente n tant que

|u

_n

− u

_n+1

| > 10

^−p

.

(b) En utilisant les fonctions définies plus haut, ainsi que l’inégalité :

|u

_n

− `| ≤ |u

_n

− u

_n+1

| ≤ 10

^−p

, le script suivant fait l’affaire :

1

function l = approx(p)

2

n = premier_entier(p)

3

l = suite(n)

4

endfunction

Exercice 2

1. Rappelons que la variable A contient la matrice 1 4 2 3 2 8

!

. Scilab renvoie un vecteur de taille le nombre de colonne, contenant le minimum sur chacune des colonnes de A.

Remarque. ’r’ signifie ici row, car le minimum est pris par colonne, suivant les lignes.

On a la commande analogue min(A,’c’) pour le minimum suivant les colonnes cette fois, et l’équivalent pour max ou sum .

2. (a) X contient une matrice à 7 lignes et 10000 colonnes dont chaque coefficient est une réalisation d’une variable suivant une loi E (1).

D’après la question précédente, I est donc un vecteur de taille 10000 tel que pour tout 1 ≤ i ≤ 10000, Y(i) contient le minimum de la i-ème colonne, c’est à dire de 7 réalisations indépendantes de variables qui suivent une loi E (1). Il s’agit donc d’une réalisation de I

_n

.

On dispose donc de 10000 réalisations de I

_n

, on trace alors l’histogramme des fréquences associé à ces données statistiques, réparties en 100 classes de mêmes amplitudes.

On trace ensuite sur le même diagramme la densité de la loi E (7) sur [−0.1, 1].

(b) On remarque que l’aire de chaque rectangle de l’histogramme correspond à l’air sous la densité. Ainsi par comparaison entre l’histogramme des fréquences et la densité de E (7), on peut conjecturer que I

_n

suit une loi E (7).

2

(3)

Exercice 3 (Extrait Problème Ecricome 2016)

1. On a une probabilité de

_x+y^x

de tirer une boule rouge. Donc le programme doit retourner 0 avec une probabilité

_x+y^x

. Il faut donc que la condition soit satisfaite avec cette probabilité.

On va pour cela prendre comme condition r ≤ x

x + y qui est satisfaite avec une probabilité de P (R ≤

_x+y^x

) =

x x+y∈[0,1]

x

x+y

où R , → U ([0, 1]).

1

function res = tirage(x,y)

2

r = rand()

3

if r <= x/(x+y) then

4

res = 0

5

else

6

res = 1

7

end

8

endfunction

2. Si r = 0 alors on ajoute une rouge sinon on ajoute une blanche, d’où x = x+1 ou y = y+1

; le nombre de rouges ajoutées est donc la différence entre le nombre de boules rouges x au final et le nombre de boules rouges a au départ, soit Xn = x-a . Ainsi on a :

1

function Xn = experience(a,b,n)

2

x = a

3

y = b

4

for k=1:n

5

r = tirage(x,y) // r = 0 si rouge au tirage k, r = 1 si blanche

6

if r == 0 then

7

x = x+1

8

else

9

y = y+1

10

end

11

end

12

Xn = x-a

13

endfunction

3. Attention, la numérotation des éléments du tableau doit aller de 1 à n + 1 alors que les valeurs prises par X

n

vont de 0 à n.

1

function loi = simulation(a,b,n,m)

2

loi = zeros(1,n+1) // pour stocker les fréquences

3

for k=1:m

4

r = experience(a,b,n) // valeur de Xn à la k-eme réalisation

5

loi(r+1) = loi(r+1)+1 // on augmente l'effectif de Xn = r de 1

6

end

7

loi = loi/m // on divise par l'effectif total pour obtenir la

3

(4)

fréquence

8

endfunction

4. La distribution des fréquences semble équiprobable, donc on peut conjecturer que X

_n

, → U ( J 0, n K ).

Remarque. Ce résultat était ensuite démontré dans la suite du sujet d’Ecricome.

4