Dynamique nonlin´ eaire et chaos
Mahdi Ben Jelloul
Laboratoire de Physique des Oc´eans Universit´e de Bretagne Occidentale
L3 – Ann´ee universitaire 2004–2005
Organisation du cours
Pr´esence indispensable au cours et au TD (pr´evenir en avance par courrier ´electronique en cas d’absence).
Distribution des exercices de TD au moins une semaine `a l’avance. Ils devront ˆetre cherch´es.
Devoir de mi-semestre.
Eventuellement s´´ eance de TD num´erique.
Examen avec documents.
Plan
1 Introduction-D´efinitions
2 Notions g´en´erales sur la stabilit´e
3 Syst`eme dynamique unidimensionnel
4 Syst`eme dynamique bidimensionnel
5 Syst`eme `a plus de deux dimensions – Chaos
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Des trajectoires aux ´ etats de bases
La notion de trajectoire individuelle est limit´ee dans la pratique : il faut une pr´ecision math´ematique infinie sur l’´etat initial pour la caract´eriser,
le comportement aux temps longs, le r´egime permanent, apr`es extinction du r´egime transitoire est plus important,
effacement au moins partiel de la m´emoire de ces conditions initiales par la pr´esence d’une “dissipation”.
Les r´egimes permanents les plus simples seront des solutions particuli`eres appel´es´etats de base:
Pour qu’ils soient observ´es, il faudra qu’ils soient stables.
Il faudra ´egalement qu’ils soient atteints, d’o`u l’importance de la notion de bassin d’attraction.
Solutions de base et perturbations
Unpoint fixe xe est une solution de base ind´ependante du temps v´erifiant donc :
F(xe) = 0.
On verra que l’on peut g´en´eraliser cela `a des solutions de base p´eriodique.
Toute solution peut s’´ecrirex=xe+x0 o`u x0 est alors appel´e perturbationet ´evolue selon :
dx0
dt = d(x−xe)
dt =F(x0+xe)−F(xe) =˜Fxe(x0)
Solutions de base et perturbations
Unpoint fixe xe est une solution de base ind´ependante du temps v´erifiant donc :
F(xe) = 0.
On verra que l’on peut g´en´eraliser cela `a des solutions de base p´eriodique.
Toute solution peut s’´ecrirex=xe+x0 o`u x0 est alors appel´e perturbationet ´evolue selon :
dx0
dt = d(x−xe)
dt =F(x0+xe)−F(xe) =˜Fxe(x0)
Solutions de base et perturbations
Unpoint fixe xe est une solution de base ind´ependante du temps v´erifiant donc :
F(xe) = 0.
On verra que l’on peut g´en´eraliser cela `a des solutions de base p´eriodique.
Toute solution peut s’´ecrirex=xe+x0 o`u x0 est alors appel´e perturbationet ´evolue selon :
dx0
dt = d(x−xe)
dt =F(x0+xe)−F(xe) =˜Fxe(x0)
Stabilit´ e
On dira qu’un ´etat de base est uniform´ement stable s’il reste sous contrˆole :
xe est uniform´ement stable si∀ >0,∀T >0 il existe δ >0 tel que||x0(t = 0)||< δ =⇒ ||x0(t)|| pourt >T.
On dira qu’un ´etat de base est asymptotiquement stable si la perturbation d´ecroˆıt ind´efiniment au fur `a mesure que le temps s’´ecoule :
xe est asymptotiquement stablesi il est uniform´ement stable et, de plus, ||x0(t)|| →0 pourt→+∞.
La premi`ere d´efinition est celle qu’il faut utiliser pour les syst`emes conservatifs o`u la seconde risque de ne pas ˆetre tr`es utile.
Stabilit´ e
On dira qu’un ´etat de base est uniform´ement stable s’il reste sous contrˆole :
xe est uniform´ement stable si∀ >0,∀T >0 il existe δ >0 tel que||x0(t = 0)||< δ =⇒ ||x0(t)|| pourt >T.
On dira qu’un ´etat de base est asymptotiquement stable si la perturbation d´ecroˆıt ind´efiniment au fur `a mesure que le temps s’´ecoule :
xe est asymptotiquement stablesi il est uniform´ement stable et, de plus, ||x0(t)|| →0 pourt→+∞.
La premi`ere d´efinition est celle qu’il faut utiliser pour les syst`emes conservatifs o`u la seconde risque de ne pas ˆetre tr`es utile.
Stabilit´ e
On dira qu’un ´etat de base est uniform´ement stable s’il reste sous contrˆole :
xe est uniform´ement stable si∀ >0,∀T >0 il existe δ >0 tel que||x0(t = 0)||< δ =⇒ ||x0(t)|| pourt >T.
On dira qu’un ´etat de base est asymptotiquement stable si la perturbation d´ecroˆıt ind´efiniment au fur `a mesure que le temps s’´ecoule :
xe est asymptotiquement stablesi il est uniform´ement stable et, de plus, ||x0(t)|| →0 pourt→+∞.
La premi`ere d´efinition est celle qu’il faut utiliser pour les syst`emes conservatifs o`u la seconde risque de ne pas ˆetre tr`es utile.
Param` etres de contrˆ ole et bifurcations
G´en´eralement les syst`emes consid´er´es d´ependent de
param`etres de contrˆole. Nous les noteront g´en´eriquement r.
Ce qui nous int´eresse est le changementqualitatif de la dynamique lorsque le param`etre de contrˆole varie :
Apparition et/ou disparition de solutions de base Modification de la stabilit´e des solutions de base
Param` etres de contrˆ ole et bifurcations
G´en´eralement les syst`emes consid´er´es d´ependent de
param`etres de contrˆole. Nous les noteront g´en´eriquement r.
Ce qui nous int´eresse est le changementqualitatif de la dynamique lorsque le param`etre de contrˆole varie :
Apparition et/ou disparition de solutions de base Modification de la stabilit´e des solutions de base
Fonctions de Lyapunov
D´efinition Unefonction de Lyapunov est une fonctionG(x0) d´efinie sur l’espace des phases, fonction de la perturbation, continue et `a d´eriv´ees partielles du premier ordre continues qui :
est d´efinie positive :G(x0= 0) = 0 et G(x0 6= 0)>0.
d´ecroˆıt, `a travers x0, au cours du temps.
Th´eor`eme de Lyapunov Si une telle fonction de Lyapunov existe alors xe est uniform´ement stable. Si de plus dGdt vue comme fonction dex est d´efinie n´egative alorsxe est asymptotiquement stable.
Fonctions de Lyapunov
D´efinition Unefonction de Lyapunov est une fonctionG(x0) d´efinie sur l’espace des phases, fonction de la perturbation, continue et `a d´eriv´ees partielles du premier ordre continues qui :
est d´efinie positive :G(x0= 0) = 0 et G(x0 6= 0)>0.
d´ecroˆıt, `a travers x0, au cours du temps.
Th´eor`eme de Lyapunov Si une telle fonction de Lyapunov existe alors xe est uniform´ement stable. Si de plus dGdt vue comme fonction dex est d´efinie n´egative alorsxe est asymptotiquement stable.
Fonctions de Lyapunov
D´efinition Unefonction de Lyapunov est une fonctionG(x0) d´efinie sur l’espace des phases, fonction de la perturbation, continue et `a d´eriv´ees partielles du premier ordre continues qui :
est d´efinie positive :G(x0= 0) = 0 et G(x0 6= 0)>0.
d´ecroˆıt, `a travers x0, au cours du temps.
Th´eor`eme de Lyapunov Si une telle fonction de Lyapunov existe alors xe est uniform´ement stable. Si de plus dGdt vue comme fonction dex est d´efinie n´egative alorsxe est asymptotiquement stable.
M´ ethode de l’´ energie
Apr`es translation, le point fixe est ramen´e en x= 0. On note : dx
dt = L(x)
|{z}
lin´eaire
+ N(x)
| {z }
reste nonlin´eaire
Le but est de construire une fonction quadratique d´efinie positive :
G(x) =
d
X
j,k=1
αj kxjxk
qui soit une fonction de Lyapunov. Elle doit donc v´erifier dGdt <0 :
dG dt =
d
X
j,k=1
αjk d xj
dt xk+xjd xk dt
=
d
X
j,k=1
αjk(Fjxk+xjFk)
'
d
X αjk xk d
XLjixi +xj d
XLkixi
!
=
d
X αjkLkixixj =
d
Xβijxixj
Crit` ere de stabilit´ e d´ ecoulant de l’existence d’une fonction de Lyapunov
Le choix des αij permet de rendre la forme quadratique d´efinie n´egative. En pratique on prendra lesαij de fa¸con `a construire une ´energie quadratique.
On est alors sur d’avoir une stabilit´e asymptotique suffisamment pr`es du point fixe.
On peut aussi s’int´eresser aux propri´et´es loin de l’origine et d´eterminer un borneG = infx{G(x)} tel qu’il existe des conditions initiales qui d´estabilisent l’´etat de base. La
connaissance de cette borne nous permet de d´efinir un crit`ere de stabilit´e conditionnelle.
Les crit`eres suffisant de stabilit´e sont souvent peu optimaux
Crit` ere de stabilit´ e d´ ecoulant de l’existence d’une fonction de Lyapunov
Le choix des αij permet de rendre la forme quadratique d´efinie n´egative. En pratique on prendra lesαij de fa¸con `a construire une ´energie quadratique.
On est alors sur d’avoir une stabilit´e asymptotique suffisamment pr`es du point fixe.
On peut aussi s’int´eresser aux propri´et´es loin de l’origine et d´eterminer un borneG = infx{G(x)} tel qu’il existe des conditions initiales qui d´estabilisent l’´etat de base. La
connaissance de cette borne nous permet de d´efinir un crit`ere de stabilit´e conditionnelle.
Les crit`eres suffisant de stabilit´e sont souvent peu optimaux
Crit` ere de stabilit´ e d´ ecoulant de l’existence d’une fonction de Lyapunov
Le choix des αij permet de rendre la forme quadratique d´efinie n´egative. En pratique on prendra lesαij de fa¸con `a construire une ´energie quadratique.
On est alors sur d’avoir une stabilit´e asymptotique suffisamment pr`es du point fixe.
On peut aussi s’int´eresser aux propri´et´es loin de l’origine et d´eterminer un borneG = infx{G(x)} tel qu’il existe des conditions initiales qui d´estabilisent l’´etat de base. La
connaissance de cette borne nous permet de d´efinir un crit`ere de stabilit´e conditionnelle.
Les crit`eres suffisant de stabilit´e sont souvent peu optimaux
Crit` ere de stabilit´ e d´ ecoulant de l’existence d’une fonction de Lyapunov
Le choix des αij permet de rendre la forme quadratique d´efinie n´egative. En pratique on prendra lesαij de fa¸con `a construire une ´energie quadratique.
On est alors sur d’avoir une stabilit´e asymptotique suffisamment pr`es du point fixe.
On peut aussi s’int´eresser aux propri´et´es loin de l’origine et d´eterminer un borneG = infx{G(x)} tel qu’il existe des conditions initiales qui d´estabilisent l’´etat de base. La
connaissance de cette borne nous permet de d´efinir un crit`ere de stabilit´e conditionnelle.
Les crit`eres suffisant de stabilit´e sont souvent peu optimaux
Lin´ earisation, espace tangent
Lin´eariser autour d’une solution de base revient `a ins´erer
x=xe+x0
dans l’´equation d’´evolution :
dx0
dt =L(x0) +2N2(x0,x0) +. . .
et `a prendre la limite→0.
On appelleLop´erateur lin´eaire tangentau point fixe. Il agit sur l’espace lin´eaire tangent.
Lin´ earisation, espace tangent
Lin´eariser autour d’une solution de base revient `a ins´erer
x=xe+x0
dans l’´equation d’´evolution :
dx0
dt =L(x0) +2N2(x0,x0) +. . .
et `a prendre la limite→0.
On appelleLop´erateur lin´eaire tangentau point fixe. Il agit sur l’espace lin´eaire tangent.
Modes propres
Les modes propres {ˆxm}m∈N sont les vecteurs propres de l’op´erateur lin´eaire tangent Lau point fixe.
Les valeurs propres {λm}m∈Nassoci´ees forment lespectre de l’op´erateur lin´eaire tangent. Elles sont, dans le cas le plus g´en´eral, des nombres complexes λm=σm+iωm.
Si la partie r´eelle est positive, le mode estinstable.
Si la partie r´eelle est n´egative, le mode eststable.
Si la partie r´eelle est nulle, le mode estneutreoumarginal.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est oscillant.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est stationnaire.
Modes propres
Les modes propres {ˆxm}m∈N sont les vecteurs propres de l’op´erateur lin´eaire tangent Lau point fixe.
Les valeurs propres {λm}m∈Nassoci´ees forment lespectre de l’op´erateur lin´eaire tangent. Elles sont, dans le cas le plus g´en´eral, des nombres complexes λm=σm+iωm.
Si la partie r´eelle est positive, le mode estinstable.
Si la partie r´eelle est n´egative, le mode eststable.
Si la partie r´eelle est nulle, le mode estneutreoumarginal.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est oscillant.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est stationnaire.
Modes propres
Les modes propres {ˆxm}m∈N sont les vecteurs propres de l’op´erateur lin´eaire tangent Lau point fixe.
Les valeurs propres {λm}m∈Nassoci´ees forment lespectre de l’op´erateur lin´eaire tangent. Elles sont, dans le cas le plus g´en´eral, des nombres complexes λm=σm+iωm.
Si la partie r´eelle est positive, le mode estinstable.
Si la partie r´eelle est n´egative, le mode eststable.
Si la partie r´eelle est nulle, le mode estneutreoumarginal.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est oscillant.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est stationnaire.
Modes propres
Les modes propres {ˆxm}m∈N sont les vecteurs propres de l’op´erateur lin´eaire tangent Lau point fixe.
Les valeurs propres {λm}m∈Nassoci´ees forment lespectre de l’op´erateur lin´eaire tangent. Elles sont, dans le cas le plus g´en´eral, des nombres complexes λm=σm+iωm.
Si la partie r´eelle est positive, le mode estinstable.
Si la partie r´eelle est n´egative, le mode eststable.
Si la partie r´eelle est nulle, le mode estneutreoumarginal.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est oscillant.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est stationnaire.
Modes propres
Les modes propres {ˆxm}m∈N sont les vecteurs propres de l’op´erateur lin´eaire tangent Lau point fixe.
Les valeurs propres {λm}m∈Nassoci´ees forment lespectre de l’op´erateur lin´eaire tangent. Elles sont, dans le cas le plus g´en´eral, des nombres complexes λm=σm+iωm.
Si la partie r´eelle est positive, le mode estinstable.
Si la partie r´eelle est n´egative, le mode eststable.
Si la partie r´eelle est nulle, le mode estneutreoumarginal.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est oscillant.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est stationnaire.
Modes propres
Les modes propres {ˆxm}m∈N sont les vecteurs propres de l’op´erateur lin´eaire tangent Lau point fixe.
Les valeurs propres {λm}m∈Nassoci´ees forment lespectre de l’op´erateur lin´eaire tangent. Elles sont, dans le cas le plus g´en´eral, des nombres complexes λm=σm+iωm.
Si la partie r´eelle est positive, le mode estinstable.
Si la partie r´eelle est n´egative, le mode eststable.
Si la partie r´eelle est nulle, le mode estneutreoumarginal.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est oscillant.
Si la partie imaginaire est non nulle, le mode est stationnaire.
Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.
Lˆxm =λmˆxm, Lˆx∗m=λ∗mˆx∗m
Projetons la condition initiale sur les modes.
x(0) =
d
X
i=1
Am(0)ˆxm, x(t) =
d
X
i=1
Am(t)ˆxm
L’´evolution de l ’amplitude de chaque mode se fait selon A(t) =A(0) exp(λmt) =A(0) exp(σmt)(cosωmt+isinωmt)
Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.
Lˆxm =λmˆxm, Lˆx∗m=λ∗mˆx∗m
Projetons la condition initiale sur les modes.
x(0) =
d
X
i=1
Am(0)ˆxm, x(t) =
d
X
i=1
Am(t)ˆxm
L’´evolution de l ’amplitude de chaque mode se fait selon A(t) =A(0) exp(λmt) =A(0) exp(σmt)(cosωmt+isinωmt)
Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.
Lˆxm =λmˆxm, Lˆx∗m=λ∗mˆx∗m
Projetons la condition initiale sur les modes.
x(0) =
d
X
i=1
Am(0)ˆxm, x(t) =
d
X
i=1
Am(t)ˆxm
L’´evolution de l ’amplitude de chaque mode se fait selon A(t) =A(0) exp(λmt) =A(0) exp(σmt)(cosωmt+isinωmt)
