Biologie Mathématique et Modélisation
UCBL - L3 MIV - Examen CM Mardi 26 avril 2016 - Durée : 2h
Ceci est une épreuve individuelle. Seules la calculatrice et une feuille A4 recto-verso manuscrite originale sont autorisées pendant l’épreuve.
Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanctionnée par la répartition des points de la plus mauvaise copie entre le copieur etle copié.
Vous veillerez par ailleurs à soigner vos graphiques.
Lisez bien l’énoncé jusqu’au bout, certaines questions sont indépendantes des précédentes.
1 Le modèle de Holling-Tanner
Les équations du modèle de Holling-Tanner permettent de décrire l’évolution dans le temps des densités de proies et de prédateurs selon les équations suivantes :
( H˙ =rH(1−HK)−ωHPδ+H P˙ =sP(1−βPH )
On supposera que tous les paramètres de ce modèle sont>0.
Interprétation des équations
1. Justifiez qu’il s’agit d’un modèle proie-rédateur.
2. Donnez l’équation et la représentation graphique de la réponse fonctionnelle. Donnez une inter- prétation deω etδ.
Construction du portrait de phase On considère le plan de phase(H, P).
3. Donnez l’équation des isoclines verticales. Justifiez de l’allure des courbes représentatives.
4. Donnez l’équation des isoclines horizontales. Justifiez de l’allure des courbes représentatives.
5. Complétez la figure ci-dessous (n’oubliez pas la légende).
1
L3 MIV - UCBL
Etude analytique
6. En déduire que les points d’équilibre sontA= (0,0),B = (H1,0)etC= (H2, P2). Positionnez- les sur la figure ci-dessus.
7. Donnez l’expression de H1 en fonction des paramètres.
8. Donnez une interprétation biologique des points d’équilibre.
9. La matrice au point d’équilibre(H2, P2) s’écrit : J2 = −KrH2+(δ+HωH2P2
2)2 −δ+HωH2
s 2
β −s
!
Montrez quedet(J2)>0.
Application numérique
On pose r= 1,K = 10,δ= 1,ω= 1,s= 0.25 etβ = 1.
On a alors (H2, P2) = (2.7,2.7).
10. Déterminez la nature et la stabilité du point d’équilibre (H2, P2).
11. Positionnez les vecteurs vitesse sur la Figure ci-dessus. Justifiez de leur orientation.
12. Sur la figure ci-dessus, dessinez une “boîte” de Poincaré-Bendixson ; justifiez.
13. Que pouvez-vous en conclure ?
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L3 MIV - UCBL
Trajectoires et chroniques
14. Sur la figure ci-dessus, dessinez les trajectoires correspondantes aux conditions initiales sui- vantes :
— (H(0), P(0)) = (2.5,2.5);
— (H(0), P(0)) = (0.2,0.2).
2 Stabilité qualitative dans les modèles d’écosystèmes
De la matrice au graphe de communauté Soit la matrice de communauté suivante :
M=
− + + +
− − 0 0
− 0 − 0
− 0 0 −
15. Donner le graphe de communauté correspondant ;
16. Vérifiez les conditions de Quirk-Ruppert. Que pouvez-vous en conclure ? 17. Le cas échéant, appliquez le test des couleurs. Que pouvez-vous en conclure ?
Du graphe à la matrice de communauté Soit le graphe de communauté suivant :
18. Donner la matrice de communauté correspondante ;
19. Vérifiez les conditions de Quirk-Ruppert. Que pouvez-vous en conclure ? 20. Le cas échéant, appliquez le test des couleurs. Que pouvez-vous en conclure ?
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