UCBL - L3 MIV - Examen CM Eléments de correction
1 Le modèle de Holling-Tanner
Les équations du modèle de Holling-Tanner permettent de décrire l’évolution dans le temps des densités de proies et de prédateurs selon les équations suivantes :
( H˙ =rH(1−HK)−ωHPδ+H P˙ =sP(1−βPH ) On supposera que tous les paramètres de ce modèle sont >0.
Interprétation des équations
1. Justifiez qu’il s’agit d’un modèle proie-rédateur.
On a un terme d’interaction entreH etP qui agit négativement sur la dynamique deH(proie).
La capacité limite des prédateurs P augmente linéairement en fonction de H; donc les H ont une action positive sur lesP. Il s’agit bien d’un modèle prédateur-proie.
2. Donnez l’équation et la représentation graphique de la réponse fonctionnelle. Donnez une inter- prétation de ω et δ.
La réponse fonctionnelle correcpond au nombre de proies mangées par 1 prédateur par unité de temps. Dans ce modèle, il s’agit de la fonction :
f(H) = ωH δ+H On vérifie que lim
H→+∞f(H) =ω et quef(δ) =ω/2. Enfin, on vérifie que f0(H) = (δ+Hωδ)2 >0.
La représentation graphique de cette fonctione est la suivante pourω =δ= 1 :
Construction du portrait de phase
On considère le plan de phase (H, P).
3. Donnez l’équation des isoclines verticales. Justifiez de l’allure des courbes représentatives.
Les isoclines verticales sont solutions de l’équation H˙ = 0. Elles ont pour équation H = 0 et P = ωr(δ+H)(1−KH). Il s’agit de l’axe vertical des ordonnées et d’une parabole concave qui passe par(K,0)et(0,rδω).
4. Donnez l’équation des isoclines horizontales. Justifiez de l’allure des courbes représentatives.
Les isoclines horizontales sont solutions de P˙ = 0. Elles ont pour équationP = 0etP = Hβ. Il s’agit de l’axe horizontal des abscisses et d’une droite qui passe par l’origine de pente β1 >0.
5. Complétez la figure ci-dessous (n’oubliez pas la légende).
Voir graphe ci-dessous.
Etude analytique
6. En déduire que les points d’équilibre sont A= (0,0), B= (H1,0)et C= (H2, P2). Positionnez- les sur la figure ci-dessus.
Les points d’équilibre sont en noir sur le graphe ci-dessus.
7. Donnez l’expression de H1 en fonction des paramètres.
H1 =K.
8. Donnez une interprétation biologique des points d’équilibre.
— A= (0,0)correspond à l’extinction des proies et des prédateurs ;
— B = (H1,0)correpsond à la disparition des prédateurs au profit des proies qui sont à leur capacité limite K;
— C = (H2, P2) correpsond à la co-existence des proies et des prédateurs ; les proies atteigent un équilibre dont la valeur est inférieure à la capacité limite K.
9. La matrice au point d’équilibre (H2, P2) s’écrit : J2 = −KrH2+(δ+HωH2P2
2)2 −δ+HωH2
s 2
β −s
!
Montrez que det(J2)>0.
detJ2 = rsKH2− ωsH2P2
(δ+H2)2 +β(δ+HωsH2
2)
= rsKH2− ωsH22
β(δ+H2)2 +β(δ+HωsH2
2)
= 1
βK(δ+H2)2
βrsH2(δ+H2)2−ωsKH22+ωsKH2(δ+H2)
= sH2
βK(δ+H2)2
βr2(δ+H2)2−ωKH2+ωK(δ+H2)
= sH2
βK(δ+H2)2
βr2(δ+H2)2−ωKH2+ωKH2+ωKδ
= sH2
βK(δ+H2)2
βr2(δ+H2)2+ωKδ
>0
Application numérique
On pose r= 1, K= 10, δ= 1,ω = 1, s= 0.25 et β = 1.
On a alors(H2, P2) = (2.7,2.7).
10. Déterminez la nature et la stabilité du point d’équilibre (H2, P2).
J2=
0,26 −0,73 0,25 −0,25
Ainsi, det (J2) = 0.1175>0 et tr (J2) = 0.01 >0; on peut donc dire que le point d’équilibre (H2, P2) est instable. On détermine par ailleurs ∆ = −0.47. Le point d’équilibre (H2, P2) est donc unfoyer instable.
11. Positionnez les vecteurs vitesse sur la Figure ci-dessus. Justifiez de leur orientation.
Voir Figure ci-dessus.
Pour orienter les vecteurs vitesse, il faut se placer sur les axes :
— Sur l’axe horizontal (P = 0), on retrouve le portrait de phase de la croissance logistique des proies ;
— Sur l’axe vertical (H = 0), on retrouve le fait que les prédateurs disparaissent en l’absence de proies ;
12. Sur la figure ci-dessus, dessinez une “boîte” de Poincaré-Bendixson ; justifiez.
Voir Figure ci-dessus.
13. Que pouvez-vous en conclure ?
On peut construire une boîte de Poincaré-Bendixson ; elle contient un unique point d’équilibre instable. On peut en conclure qu’elle contient au moins un cycle limite (corollaire du théorème de Poincaré-Bendixson).
Trajectoires et chroniques
14. Sur la figure ci-dessus, dessinez les trajectoires correspondantes aux conditions initiales sui- vantes :
— (H(0), P(0)) = (2.5,2.5);
— (H(0), P(0)) = (0.2,0.2).
2 Stabilité qualitative dans les modèles d’écosystèmes
De la matrice au graphe de communauté Soit la matrice de communauté suivante :
M=
− + + +
− − 0 0
− 0 − 0
− 0 0 −
15. Donner le graphe de communauté correspondant ;
16. Vérifiez les conditions de Quirk-Ruppert. Que pouvez-vous en conclure ?
Les cinq conditions de Quirk-Ruppert sont vérifiées ; on peut conclure à la stabilité du point d’équilibre.
17. Le cas échéant, appliquez le test des couleurs. Que pouvez-vous en conclure ?
Ici on n’a que des noeuds noirs ; la condition (i) du test des couleurs n’est pas vérifiées, donc on échoue au test des couleurs. On peut conclure à la stabilité asymptotique du point d’équilibre.
Du graphe à la matrice de communauté Soit le graphe de communauté suivant :
18. Donner la matrice de communauté correspondante ; La matrice de communauté correspondant au graphe est :
M=
− + + +
− − + +
− − − +
− − − −
19. Vérifiez les conditions de Quirk-Ruppert. Que pouvez-vous en conclure ?
Les conditions (i), (ii), (iii) et (v) sont vérifiées. Par contre, la condition (iv) n’est pas vérifiée puisqu’on peut trouver des boucles de 3 ou plus qui se referment : 1-2-3-4-1, 1-2-4-1, 1-3-4-1, 2-3-4-2. On ne peut donc pas conclure.
20. Le cas échéant, appliquez le test des couleurs. Que pouvez-vous en conclure ?
Les conditions de QR n’étant pas vérifiées, il n’y a pas lieu d’appliquer le test des couleurs.
