1 ECP (2a) Math
Optimisation discrète : Séance 1-b (exercices)
GRAPHES
Objectifs Quelques résultats d’illustration de la théorie des graphes.
FIG. 1 – Exemple de graphe
1 Représentations d’un graphe
Déf 1 Dictionnaire du graphe :
1 : 2, 4
2 : 3
3 : 4, 5
4 : 2
5 : ®
Déf 2 Matrice associée :
B=
0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Déf 3 Matrice d’adjacence :
M =
1 1 0 0 0 0
−1 0 1 0 0 −1
0 0 −1 1 1 0
0 −1 0 −1 0 1
0 0 0 0 −1 0
Ex 1 Ecrire le principe d’algorithmes de conversion entre les différentes représentations.
Commenter rapidement : l’encombrement (de la représentation choisie) et la complexité (de la fonction de conversion).
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2 Cheminements dans un graphe
Ex 2 On se pose le problème de l’existence decheminsentre deux sommets donnés d’un graphe.
CalculerB2, B3, . . .et expliquer le résultat.
Ex 3 Pour vérifier l’absence decircuitsdans un graphe, on applique l’algorithme suivant : 1. marquer tout sommet qui n’a pas de successeur ;
2. marquer tout sommet dont tous les successeurs sont marqués.
Quels en sont les terminaisons possibles ?
Quelle est la structure de données la plus adaptée ?
Circuits hamiltoniens
Ex 4 On considère le graphe(X, U)formé par lesn2cases d’un échiquier avec des arêtes qui relient deux cases quand un cavalier peut aller directement de l’une à l’autre.
Montrer que sinest impair un cavalier ne peut pas passer par toutes les cases et revenir à son point de départ.
→Cette propriété équivaut à dire que :
Un graphe 2-coloriable n’admet pas de cycle de longueur impaire.
Ex 5 Montrer que le graphe associé au dodécaèdre est hamiltonien.
FIG. 2 – Dodécaèdre
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3 Stabilité
Stabilité interne
Déf 4 Un sous-ensembleAde sommets est ditstables’il ne contient pas d’arcs : A∩ω(A) =®
Déf 5 Lenombre chromatiqueest le nombre minimum de sous-ensembles stables réalisant une partition deX.
3.0.1 Exemple
Soit à colorier une carte de 10 pays, dont la matrice binaire représente le graphe de contiguïté : Aij = 1siietjsont limitrophes.
A=
• 1 0 1 1 0 1 0 0 1
• 1 1 0 1 0 0 1 0
• 0 1 0 0 0 0 1
• 1 1 0 1 1 0
• 1 0 0 0 1
• 1 1 0 0
• 0 1 0
• 0 1
• 0
•
D B E F NL
I L P CHA
On peut trouver (par énumération) les sous ensembles stables maximaux du graphe (maximal veut dire non contenu dans un autre d’ordre supérieur). Ce sont les suivants :
→ 1 3 6
1 6 8
→ 2 3 6
→ 3 5 6 7
→ 4 5 8
5 6 7 8 Ex 6 Comment peut-on conclure ?
4 Graphes particuliers
Aborescences
Ne pas confondrearbre(graphe non orienté, connexe, sans cycle) etarborescence, qui est un graphe orienté possédant un sommet particulierR(racine) et tel que :
1. la racineRn’a pas de prédécesseur ;
2. tout sommet autre queRa un seul prédécesseur ; 3. le graphe est sans circuit.
A toute expression formée par composition de fonctions, on peut associer unearborescencede la manière suivante :
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– on écrit l’expression en notation polonaise inverse, – les feuilles sont les constantes ou les variables, – les noeuds sont les symboles de fonction,
– les arcs relient deux fonctions qui sont composées.
Ex 7 Quelle est l’arborescence associée à : sin (x+y) +
Z a+1 a−1
(2p
x2+ 1 +y)dx
Ex 8 Comment est parcourue l’arborescence lors de l’évaluation ?
Graphes planaires
Thm 1 Si un graphe connexe est planaire et siSest le nombre de sommet,Ale nombre d’arête etFle nombre de face on a (relation d’Euler) :
S+F−A= 2
Rappel :K5est le graphe complet à5noeuds, i.e. c’est la réunion du pentagone et du pentagone étoilé.K3,3est le graphe à(3 + 3)noeuds dont les arêtes relient trois maisons à trois puits.
Ex 9 Vérifier que les graphesK5etK3,3ne peuvent pas être planaires.
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