1 Laplacien de graphe et clustering

Calcul scientique et Informatique 14 novembre 2013 TP 7: Laplacien de graphe, valeurs propres.

Un graphe G= (S, A)est la donnée d'un ensemble ni de sommetsAet d'un ensemble d'arètesA⊆S×S. On suppose que le graphe est non orienté, c'est-à-dire que si (v, w)est une arète, alors(w, v)est aussi une arète. On dit qu'un sommetwest adjacent àv si(v, w) est une arète dansG, et on noteB₁(v)les sommets adjacents àv (attention,v 6∈B₁(v)). La distancedG(v, w)entre deux sommets du graphe est dénie comme la longueur minimum d'un chemin permettant de relierv àw, etd_G(v, w) = +∞s'il n'existe pas de tel chemin.

On noteF(G)l'espace des fonctions sur le grapheG, c'est-à-dire des fonctionf :S → R, et on le muni du produit scalaire hf|gi = P

v∈Sf(v)g(v) et de la norme euclidienne induitekfk² =hf|fi. L'opérateur laplacien du grapheGest déni de la manière suivante :

∆_Gf(v) = X

w∈B₁(v)

(f(v)−f(w)), (1)

où la somme est prise sur les sommets w adjacents à v.

Rappel : Étant donné un opérateur auto-adjoint A de valeurs propres λ₁ ≤. . .≤λ₁,

λ₁ ≤R_A(x)≤λ_n, oùR_A(x) = hAx|xi kxk²

avec égalité à gauche si x est le vecteur propre correspondant à λ1 et à droite si x est le vecteur propre correspondant à λ_n.

1 Laplacien de graphe et clustering

Exercice 1. On commence par démontrer quelques résultats élémentaires sur ∆G. 1. Démontrer que l'opérateur ∆_G est auto-adjoint, puis que

h∆_Gf|fi= 1 2

X

v∈S

X

w∈B₁(v)

(f(w)−f(v))²

En déduire que∆_G est diagonalisable à valeurs propres réelles positives, notées 0≤λ₁(G)≤λ₂(G)≤. . .≤λ_n(G).

2. En considérant la fonction indicatrice de G, notée1G, montrer que λ1(G) = 0. 3. Démontrer que λ₂(G) = min_{hf|1Gi=0,f6=0} ^hf|∆_kfk^G2^fi.

Exercice 2. Théorème de Fiedler. Dans cette exercice, on montre des relations entre le rang du noyau de ∆_G et la connexité du graphe sous-jacent.

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1. Une composante connexe deG= (S, A)est une classe d'équivalence deS/∼pour la relation d'équivalencev ∼wssid_G(v, w)<+∞. En considérant les fonctions indica- trices des composantes connexesX₁, . . . , X_kdeG, montrer querang(Ker(∆_G))≥k. 2. Montrer que si G est connexe, alors rang(Ker(∆_G)) = 1.

(Indication : démontrer que λ₂(G)>0).

3. Dans le cas général, montrer que1_X1, . . . ,1_Xk est une base deKer(∆_G). En déduire querang(Ker(∆_G)) =k.

Exercice 3. Le but de cet exercice est d'étudier dans un cas particulier le conditionnement du problème de calcul des valeurs propres d'une matrice. On dénit :

Sym_n(R) = {A∈M_n(R); A^t=A},

Sym⁺_n(R) = {A∈Sym_n(R); ∀v ∈Rⁿ,hAv|vi ≥0}.

On note A ≤ B si B −A ∈ Sym⁺_n(R), et en particulier A ≥ 0 si A ∈ Sym⁺_n(R). Étant donnée une matrice B dans Sym_n(R), on note λ₁(B) ≤. . . ≤λ_n(B) ses valeurs propres.

On admet le théorème suivant :

Théorème 1. (Courant-Fischer). Pour A∈Sym_n(R), et i∈ {1, . . . , n}, on a

λi(A) = max

E\{0}min RA(x); E sev de Rⁿ, dim(E) = k

.

1. Montrer que si A, B ∈Sym_n(R)etA≤B, alors λi(A)≤λi(B)pouri∈ {1, . . . , n}. 2. Montrer que pour A∈Sym_n(R), on a au sens matriciel : − kAkId_n≤A≤ kAkId_n. 3. Déduire des questions précédentes que si A et δ_A sont deux matrices symétriques,

λ_i(A)− kδ_Ak ≤λ_i(A+δ_A)≤λ_i(A) +kδ_Ak.

4. Estimation du nombre de composantes connexes : Montrer que si G est un graphe contenant k composantes connexes, A= ∆_G et kδ_Ak< ^λk+1₂^(G), alors

Card(Spec(A+δ_A)∩[−∞, λ_k+1(G)/2]) =k.

2 Exercices

Exercice 4. Inégalité de Wirtinger. On considère G_n le graphe cyclique d'ordre n : il contient n pointsx₀, . . . , xn−1. Si k ∈Z\ {0, . . . , n−1}, on note x_k:=x_{(k modn)}. Chaque point x_i est relié par une arête aux points x_i−1 et x_i+1.

1. Donner l'expression matricielle de ∆_Gn dans la base canonique e_i(x_j) =δ_ij.¹

1. Cette matrice apparaît dans la discrétisation par diérences nies du Laplacien sur [0,1] avec conditions périodiques.

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2. En utilisant la formule λ₂(∆_Gn) = 4 sin²(π/n) démontrée dans la che précédente, montrer l'inégalité de Wirtinger : pour toute fonctionf :S_n →Rde moyenne nulle, c'est-à-direP

0≤i<nf(x_i) = 0 (ou de manière équivalente hf|1_Gi= 0) on a X

1≤i<n

f(x_i)² ≤ 1 4 sin²(π/n)

X

1≤i<n

(f(x_i)−f(x_i+1))²

3. (Question subsidiaire) Montrer que si f :R→R est une fonction2π-périodique de classe C¹ et de moyenne nulle, c-à-d telle queR2π

0 f(x) = 0, alors Z 2π

0

f(x)²dx≤ Z 2π

0

f⁰(x)²dx.

Quels sont les cas d'égalité ? En posant h= 2π/n, comparer au cas discret.

Indication : Décomposerf dans la base de Fourier.

Exercice 5. Théorème de Bauer-Fike. SoitAune matrice diagonalisable etP une matrice inversible telle que D = P⁻¹AP soit diagonale. Soit δ_A une perturbation de A. Montrer que

Spec(A+δ_A)⊆ [

λ∈Spec(A)

B(λ,cond(P)kδ_Ak)

où B(λ, r) = [λ−r, λ+r]. Que peut-on dire dans le cas où A est symétrique ?

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