Cours polycopié pour le module L1 SFA Mathématiques I — Analyse
À propos de ce module
Programme prévu :étude de fonctions réelles, nombres complexes, poly- nômes, équations différentielles linéaires, variables aléatoires réelles discrètes.
Pré-requis :programme de terminale S (sans la spécialité mathématique).
À propos de ces notes
Ces notes sont rédigées pour aider les étudiants et les enseignants à struc- turer le contenu du cours et pour fournir une référence rapide pour des notions et des résultats du cours (définitions et théorèmes).
Pour bien acquérir la matière, il peut s’avérer indispensable de prendre ses propres notes et de ne pas hésiter de poser des questions aux enseignants pendant les cours et TDs.
Certaines notions, par exemple les notions de voisinage et de point d’ac- cumulation, sont introduites pour raisons de commodité ; la connaissance des énoncés exacts de leurs définitions n’est pas exigible, mais leurs significations doivent être comprises pour des exemples particuliers.
Conventions
Dans ce qui suit, les mots en italiques sont ceux que l’on est en train de définir. On emploie le symbole déf= lorsqu’une égalité sert à définir le membre gauche à partir du membre droit. Par exemple :
On appelle carré du réel x le réel x2 déf= x·x.
On peut aussi introduire un terme sans définition complète et sans que sa connaissance soit exigible. Par exemple :
On résume les propriétés de l’addition dansRen disant que (R,+) est un « groupe commutatif ».
Table des matières
1 Étude de fonctions réelles 5
1.1 Limites . . . 5
1.1.1 Définition des limites . . . 5
1.1.2 Propriétés des limites . . . 9
1.1.3 Bornes inférieure et supérieure . . . 12
1.1.4 Sur l’existence des limites . . . 14
1.2 Continuité . . . 15
1.2.1 Définition et propriétés de fonctions continues . . . 15
1.2.2 Théorème des bornes . . . 16
1.2.3 Théorème des valeurs intermédiaires . . . 17
1.2.4 Prolongement par continuité . . . 18
1.3 Dérivabilité . . . 18
1.3.1 Définition de la fonction dérivée . . . 18
1.3.2 Propriétés arithmétiques de la dérivée . . . 19
1.3.3 Dérivée de la fonction composée . . . 19
1.3.4 Dérivée et variations d’une fonction . . . 20
1.4 Fonctions usuelles . . . 23
1.4.1 Fonctions polynomiales et rationnelles . . . 23
1.4.2 Fonctions exponentielle et logarithme . . . 23
1.4.3 Fonctions puissance et racine . . . 25
1.4.4 Fonctions trigonométriques . . . 27
1.4.5 Fonctions hyperboliques . . . 31
1.5 Fonction réciproque . . . 32
1.5.1 Rappel sur fonctions génériques . . . 32
1.5.2 Continuité de la fonction réciproque . . . 33
1.5.3 Dérivée de la fonction réciproque . . . 33
1.5.4 Fonctions trigonométriques inverses . . . 34
1.5.5 Fonctions hyperboliques inverses . . . 35
1.6 Étude de fonction . . . 35
1.6.1 Asymptotes, branches paraboliques . . . 35
1.6.2 Position par rapport à une tangente ou une asymptote . 36 1.6.3 Plan d’étude . . . 36
1.7 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes dans le plan . 37 1.7.1 Paramétrage d’un ellipse et d’une hyperbole . . . 37
1.7.2 Folium de Descartes et lemniscate de Bernoulli . . . 39
2 Nombres complexes 46
2.1 Introduction àC . . . 46
2.1.1 Définition des nombres complexes . . . 46
2.1.2 Plan complexe d’Argand-Cauchy . . . 47
2.2 Calcul dansC . . . 48
2.2.1 Le corpsC . . . 48
2.2.2 Conjugaison . . . 49
2.2.3 Module . . . 49
2.2.4 Cercle unité . . . 51
2.2.5 Argument . . . 51
2.2.6 Racines carrées . . . 53
2.2.7 Exponentielle et logarithme complexes . . . 56
2.2.8 Racines de l’unité . . . 57
2.2.9 Applications à la trigonométrie . . . 58
2.3 Applications géométriques . . . 60
2.3.1 Similitudes directes . . . 60
2.3.2 Coordonnées polaires . . . 61
3 Polynômes 65 3.1 Définition des polynômes et règles de calcul . . . 65
3.1.1 Définition de K[X] et ses opérations . . . 65
3.1.2 Propriétés du degré par rapport aux opérations . . . 69
3.1.3 L’évaluation, fonctions polynomiales . . . 71
3.1.4 Divisibilité dans K[X], division euclidienne . . . 71
3.2 Dérivation des polynômes . . . 75
3.2.1 Polynôme dérivé . . . 75
3.2.2 Formules de Taylor . . . 76
3.3 Racines d’un polynôme . . . 77
3.3.1 Définition et propriétés . . . 77
3.3.2 Racines multiples . . . 79
3.3.3 Lien avec la factorisation . . . 80
3.4 Rapport avec fonctions polynomiales . . . 81
3.4.1 Propriétés des fonctions polynomiales . . . 81
3.4.2 Polynôme définissant la fonction polynomiale . . . 82
3.5 Propriétés dépendant du corps de base . . . 83
3.5.1 Propriétés deC[X] . . . 83
3.5.2 Propriétés deR[X] . . . 84
4 Équations différentielles linéaires 87 4.1 Équations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . 87
4.1.1 Coefficients constants . . . 87
4.1.2 Coefficients quelconques . . . 88
4.2 Équations différentielles linéaires d’ordre 2 . . . 88
4.2.1 Coefficients constants . . . 88
4.2.2 Coefficients quelconques . . . 89
5 Variables aléatoires réelles discrètes 92
5.1 Rappels . . . 92
5.1.1 Probabilités discrètes sur en ensemble fini . . . 92
5.1.2 Variable aléatoire discrète finie à valeurs réelles . . . 92
5.1.3 Loi conditionnelle, formule de Bayes . . . 92
5.1.4 Indépendance de deux variables aléatoires réelles dis- crètes finies . . . 92
5.2 Transport et lois usuelles . . . 93
5.2.1 L’image d’une variable aléatoire par une fonction . . . . 93
5.2.2 Variables aléatoires usuelles . . . 93
Chapitre 1
Étude de fonctions réelles
1.1 Limites
1.1.1 Définition des limites
Définition. Soit f: Df →R une fonction avec l’ensemble de définitionDf ⊂ R (ou Df ⊂ C). On dit que f admet une limite L ∈ R au point a ∈ R (ou a ∈ C) si et seulement si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x∈Df \ {a} satisfaisant |x−a|< δ, on a |f(x)−L|< ε. Cette condition s’écrit avecles quantificateurs comme suit :
∀ε >0, ∃δ >0 tel que ∀x∈Df \ {a}, |x−a|< δ ⇒ |f(x)−L|< ε. Dans ce cas, on écrit :
f(x)−→
x→a L,
ou encore : f(x) → L lorsque x → a (on dit : « f(x) tend vers L lorsque x tend vers a »).
À noter :dans les définitions qui suivent, on va dire « si » pour dire « si et seulement si ».
Définition. Soit f: Df → R une fonction, Df ⊂ R (ou Df ⊂ C). On dit que +∞ est une limite de f au point a ∈ R (ou a ∈ C) si (et seulement si)
Figure 1.1 – Une limite de la fonction x7→ sinx x .
pour tout M ∈ R, il existe δ > 0 tel que pour tout x ∈ Df \ {a} satisfaisant
|x−a|< δ, on af(x)> M. Cette condition s’écrit aussi de la façon suivante :
∀M ∈R, ∃δ >0 tel que ∀x∈Df \ {a}, |x−a|< δ ⇒f(x)> M. Dans ce cas, on écrit :
f(x)−→
x→a +∞.
De la même façon, on dit que−∞est unelimite def au pointasi pour tout M ∈R, il existeδ >0 tel que pour toutx∈Df \ {a}satisfaisant |x−a|< δ, on a f(x)< M. Cette condition s’écrit aussi de la façon suivante :
∀M ∈R, ∃δ >0 tel que ∀x∈Df \ {a}, |x−a|< δ ⇒f(x)< M. Dans ce cas, on écrit :
f(x)−→
x→a −∞.
Définition. Soit f: Df →R une fonction, Df ⊂R. Alors :
1. on dit quef admet une limite L∈R en+∞si pour tout ε >0, il existe N ∈Rtel que pour toutx∈Df satisfaisantx > N, on a|f(x)−L|< ε; cette condition s’écrit aussi de la façon suivante :
∀ε >0, ∃N ∈R tel que ∀x∈Df, x > N ⇒ |f(x)−L|< ε; on écrit alors :
f(x) −→
x→+∞L;
2. on dit quef admet une limite L∈R en−∞si pour tout ε >0, il existe N ∈Rtel que pour toutx∈Df satisfaisant x < N, on a|f(x)−L|< ε, et on écrit
f(x) −→
x→−∞L;
3. on dit que +∞est une limite de f en +∞ si pour tout K ∈R, il existe N ∈ R tel que pour tout x ∈ Df satisfaisant x > N, on a f(x) > K; cette condition s’écrit aussi de la façon suivante :
∀K ∈R, ∃N ∈R tel que ∀x∈Df, x > N ⇒f(x)> K; on écrit alors :
f(x) −→
x→+∞+∞.
On définit d’une façon analogue la signification de «f(x) −→
x→−∞+∞», «f(x) −→
x→+∞
−∞ » et «f(x) −→
x→−∞−∞ ».
Définition. Soita∈R oua∈C. Un voisinagedea dansRest tout ensemble V ⊂Rqui contient un intervalle ]a−δ, a+δ[ pour unδ >0. Unvoisinagedea dansCest tout ensembleV ⊂Cqui contient un disque{x∈C | |x−a|< δ} pour un δ >0 (δ réel).
Exemples. Les intervalles ]− ∞,+∞[ et ]−1,1[ sont des voisinages de 0 dans R; l’intervalle [0,1[ ne l’est pas.
Définition. On dit que a ∈ R (ou a ∈ C) est un point d’accumulation de A⊂ R (ou de A⊂C) si dans tout voisinage de a, il y a un élément de A qui ne coïncide pas avec a. C’est-à-dire, a est un point d’accumulation de A si et seulement si pour tout δ >0, il existex∈A tel que 0<|x−a|< δ.
Exemples. 1. Le nombre 0 est un point d’accumulation de R, de [0,1], de ]0,1[, et de {n1 | n∈N∗}.
2. Le nombre 0 n’est pas un point d’accumulation de [1,2], ni de {0}, ni deZ.
3. Les points d’accumulation de l’intervalle ]0,1[ forment l’intervalle [0,1].
4. L’ensemble {1n | n ∈N∗}a un seul point d’accumulation : le nombre 0.
L’ensembleN n’a pas de points d’accumulation.
Exercice. Définir la signification de « ±∞ est un point d’accumulation de l’ensemble A » pour A ⊂ R. Vérifier que +∞ est un point d’accumulation deN.
Théorème. 1. Si f: A → R est une fonction, a est un point d’accumula- tion de A, et que
f(x)−→
x→a L et f(x)−→
x→a L0, alors L=L0. Cela est vrai même si L, L0 ∈R∪ {±∞}.
2. Si a n’est pas un point d’accumulation de A, alors f(x)−→
x→a L pour tout L et toute f: A→R (selon les définitions données ci-dessus).
Démonstration. (1) Démonstration par l’absurde : supposons que L6=L0. Soit δ1 >0 tel que pour tout x∈A, si 0<|x−a|< δ1, alors|f(x)−L|<
|L−L0| 2 .
Soit δ2 >0 tel que pour toutx∈A, si 0<|x−a|< δ2, alors|f(x)−L0|<
|L−L0| 2 .
Soit b∈A tel que 0<|b−a|<min{δ1, δ2} (un telb existe parce que a est un point d’accumulation de A).
Alors, d’après l’inégalité triangulaire,
|L−L0|=|L−f(b) +f(b)−L0| ≤ |L−f(b)|+|f(b)−L0|<|L−L0|. Cela donne une contradiction.
(2) Sif: A→Ret an’est pas un point d’accumulation de A, alors soitδ >0 tel qu’il n’existe aucunx∈Aavec la propriété que 0<|x−a|< δ. Alors tout est vrai pour toutx∈A tel que 0<|x−a|< δ (il n’existe pas de tels x).
Définition. Sif:A →Rest une fonction etaest un point d’accumulation de A, alors la limite de f en a, notée limx→af(x) ou lim→af, est la seule limite def ena, si elle existe.
Donc, si a est un point d’accumulation de A, et que limx→af(x) existe (finie ou infinie), alors les notations suivantes sont équivalentes :
f(x)−→
x→a L, lim
x→af(x) =L, lim
→af =L.
À noter : dans la suite on va toujours supposer que le point dans lequel on considère la limite est un point d’accumulation de l’ensemble de définition.
Limites à droite et à gauche
Définition. Sif: Df →Best une fonction etA⊂Df (Aest un sous-ensemble de l’ensemble de définition Df), alors la restriction de f à A est la fonction notée f|A de l’ensemble de définition A définie par :
(f|A)(x) =f(x) pour tout x∈A.
Donc on af|A: A→B.
Définition. Sif: Df →Rest une fonction,Df ⊂R(ou bienDf ⊂C),a∈R (ou a∈C), A⊂R (ou A⊂C), alors on définit :
x→a, x∈Alim f(x)déf= lim
x→a(f|Df∩A)(x).
Également, on écrit f(x) −→
x→a, x∈AL au lieu de (f|Df∩A)(x)−→
x→a L.
En utilisant cette notation, on définit facilement les limites à droite et à gauche.
Définition. Si f: Df →R est une fonction, Df ⊂R, et a∈R alors : 1. la limite de f en a à droite est
x→alim+f(x)déf= lim
x→a, x>af(x)déf= lim
x→a, x∈]a,+∞[f(x) si cette limite existe ;
2. la limite de f en a à gauche est
x→alim−f(x)déf= lim
x→a, x<af(x)déf= lim
x→a, x∈]−∞,a[f(x) si cette limite existe.
Limites de suites réelles
Définition. Toute application N→R s’appelle une suite réelle.
Pour une suite réelle a: N → R, on d’habitude écritan au lieu de a(n) et (an)n∈N au lieu dea:N→R. Ainsi on écrit limn→∞an pour noter la limite de cette suite en +∞, si elle existe.
1.1.2 Propriétés des limites
Proposition (Inégalité triangulaire). Pour tous a et b réels (ou complexes),
|a+b| ≤ |a|+|b|. Demonstration dans le cas réel. Comme
− |a| ≤a≤ |a| et − |b| ≤b ≤ |b|, on trouve que
−(|a|+|b|)≤a+b≤ |a|+|b|, et donc
|a+b| ≤ |a|+|b|. On a utilisé le fait que si −A≤a≤A, alors |a| ≤A.
Pour démontrer l’inégalité triangulaire pour des nombres complexes a, b, il faut se servir de la définition de la valeur absolue (module) d’un nombre complexe.
Pour voir le rapport avec un triangle, on peut remplacer a par x−y et b par y−z, ce qui donne :
|x−z| ≤ |x−y|+|y−z|.
Si on regardex, y, z comme les sommets d’un triangle, on trouve une inégalité entre les longueurs de ses côtés.
On va souvent utiliser l’inégalité triangulaire sous la forme suivante : si
|a| ≤A et|b| ≤B, alors |a+b| ≤A+B.
Théorème(Propriétés arithmétiques des limites finies). Supposons quef, g: A→ R sont deux fonctions réelles qui vérifient
x→alimf(x) = L et lim
x→ag(x) =L0 avec L, L0 ∈R. Alors :
1. pour tout α∈R,
x→alim
αf(x)=αL;
2.
x→alim
f(x) +g(x)=L+L0; 3.
x→alim
f(x)·g(x)=L·L0; 4. si L6= 0, alors
x→alim 1 f(x) = 1
L.
Démonstration. (1) Soit ε > 0 arbitraire. On cherche à montrer qu’il existe δ >0 avec la propriété suivante :
pour toutx∈A tel que 0<|x−a|< δ, on a|αf(x)−αL|< ε.
Cela suffira pour conclure que limx→a
αf(x) = αL si on n’utilise aucune hypothèse sur ε à part de ε >0.
On fait comme suit. Si α = 0, posons δ = 1 (ce cas est facile et pourrait être traité à part). Si α6= 0, soitδ >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ, alors |f(x)−L|< ε
|α|. On sait qu’un tel δ existe parce que limx→af(x) = L.
Alors pour tout x∈A tel que 0<|x−a|< δ, on a :
|αf(x)−αL|=|α| |f(x)−L|< ε.
Conclusion : limx→aαf(x)=αL.
(2) Soitε >0 arbitraire.
Soit δ1 >0 tel que pour tout x∈A, si 0<|x−a|< δ1, alors |f(x)−L|< ε2. Soit δ2 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ1, alors |g(x)−L0|< ε2. Telsδ1 et δ2 existent d’après les hypothèses que
x→alimf(x) =L et lim
x→ag(x) = L0.
Soit δ >0 tel que δ ≤ δ1 et δ ≤δ2 (par exemple : δ = min{δ1, δ2}). Alors pour toutx∈A tel que 0<|x−a|< δ, on a :
|(f(x) +g(x))−(L+L0)|=|(f(x)−L) + (g(x)−L0)|
≤ |f(x)−L|+|g(x)−L0|< ε 2+ ε
2 =ε.
Ici on a utilisé l’inégalité triangulaire.
Conclusion : limx→a
f(x) +g(x)=L+L0. (3) Soitε >0 arbitraire.
Soit δ1 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ1, alors |f(x)−L| ≤1, et donc |f(x)| ≤ |L|+ 1.
Soit δ2 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ2, alors |f(x)−L|< 2(|Lε0|+1). Soit δ3 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ3, alors |g(x)−L0| ≤1, et donc |g(x)| ≤ |L0|+ 1.
Soit δ4 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ4, alors |g(x)−L0|< 2(|L|+1)ε .
Soit δ = min{δ1, δ2, δ3, δ4}. Alors δ > 0, et pour tout x ∈ A tel que 0 <
|x−a|< δ, on a :
|f(x)g(x)−LL0|=|f(x)g(x)−Lg(x) +g(x)L−L0L|
=|(f(x)−L)g(x) + (g(x)−L0)L|
≤ |f(x)−L| |g(x)|+|g(x)−L0| |L|
< ε
2(|L0|+ 1)(|L0|+ 1) + ε
2(|L|+ 1)|L| ≤ε.
On conclut que limx→af(x)g(x) = LL0. (Oups, on n’a pas utilisé δ1.)
(4) Soitε >0 arbitraire.
Soit δ1 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ1, alors |f(x)−L| ≤ |L|2 , et donc |f(x)| ≥ |L|2 . Soit δ2 >0 tel que pour tout x∈A,
si 0<|x−a|< δ2, alors |f(x)−L|< εL22.
Soit δ = min{δ1, δ2}. Alors δ >0, et pour tout x ∈ A, si 0 <|x−a| < δ, alors :
1 f(x) − 1
L
=
f(x)−L Lf(x)
≤ |f(x)−L|
L2/2 < ε.
On conclut que limx→a(1/f(x)) = 1/L.
Théorème(Propriétés arithmétiques des limites infinies). Supposons quef, g: A→ R sont deux fonctions réelles qui vérifient
x→alimf(x) = L et lim
x→ag(x) =L0 avec L, L0 ∈R∪ {±∞}. Alors :
1. si L∈ {±∞}, alors (a) pour tout α∈R,
x→alim
f(x) +α=L, (b) pour tout α >0,
x→alim
αf(x)=L, (c) et pour tout α <0,
x→alim
αf(x)=−L;
2. si L∈ {±∞} et L0 ∈R, alors
x→alim
f(x) +g(x)=L;
3. si L=L0 ∈ {±∞}, alors
x→alim
f(x) +g(x)=L;
4. si L∈ {±∞} et L0 ∈]0,+∞[, alors
x→alim
f(x)·g(x)=L;
si L∈ {±∞} et L0 ∈]− ∞,0[, alors
x→alim
f(x)·g(x)=−L;
5. si L=L0 ∈ {±∞}, alors
x→alim
f(x)·g(x)= +∞;
si L=−L0 ∈ {±∞}, alors
x→alim
f(x)·g(x)=−∞;
6. si L∈ {±∞}, alors
x→alim 1
f(x) = 0.
Théorème (Limite de la fonction composée, « changement de variable »).
Soient f: A → B et g: B → R deux fonctions réelles, A, B ⊂ R. Supposons que a, b∈R∪ {±∞},
x→alimf(x) = b, lim
x→bg(x) = L, et que au moins une des conditions
g(b) = L ou b /∈f(A) est satisfaite. Dans ce cas,
x→alimg(f(x)) =L.
1.1.3 Bornes inférieure et supérieure
Définition. Soit A ⊂R. Alors :
1. un majorant deA est un nombre r∈R tel que x≤r pour tout x∈A, 2. un minorant deA est un nombre r∈R tel que x≥r pour tout x∈A, 3. A est ditmajoré s’il existe un majorant réel de A,
4. A est ditminoré s’il existe un minorant réel de A, 5. A est ditborné s’il est à la fois majoré et minoré.
Axiome. Pour tout ensembleA⊂Rmajoré non vide, il existe un majorant le plus petit. Pour tout ensemble A ⊂R minoré non vide, il existe un minorant le plus grand.
Remarque. Cet axiome de Rn’est pas vérifié pour Q (les nombre rationnels) : il n’existe pas de plus petit majorant rationnel pour {x∈Q | x2 ≤2}.
Définition. Soit A ⊂R un ensemble non vide. Alors :
1. la borne supérieure deA est le plus petit majorant deA siA est majoré, 2. si A n’est pas majoré, alors on dit quela borne supérieure de A est +∞, 3. la borne inférieure de Aest le plus grand minorant deA siAest minoré, 4. si A n’est pas minoré, alors on dit que la borne inférieur de A est−∞.
On note supA la borne supérieure deA, et infA la borne inférieure de A.
Bien que cela est rarement utile, on pose aussi sup∅=−∞ et inf∅= +∞.
(On note « ∅» l’ensemble vide.)
La borne supérieure s’appelle égalementle supremum, et la borne inférieure s’appelle l’infimum.
Remarque. Si A 6=∅ est un ensemble borné (autrement dit, si infA et supA sont finis), alors [infA,supA] est le plus petit intervalle fermé contenant A.
Définition. Un ensemble A ⊂ C est dit borné si { |x| | x ∈ A} est majoré, ou, autrement dit, si supx∈A|x|<+∞.
Définition. Soit f une fonction réelle et Aun sous-ensemble non vide de son ensemble de définition. Alors on définit les bornes supérieure et inférieure de f sur A par :
sup
A
f déf= sup
x∈A
f(x)déf= supf(A) et inf
A f déf= inf
x∈Af(x)déf= inff(A),
où f(A) déf= {f(x) | x ∈ A}. Un majorant de f sur A est défini comme tout majorant def(A), un minorant de f sur Aest défini comme tout minorant de f(A). On dit aussi que f estmajorée sur A si f(A) est majoré, f est minorée sur A si f(A) est minoré, et f estbornée sur A si f(A) est borné.
Exemples. 1.
inf]−1,1[= inf[−1,1[=−1, sup]−1,1[= sup]−1,1] = 1, inf{1}= sup{1}= 1, infZ=−∞, supZ= +∞.
2.
x∈]−1,1[inf x= inf]−1,1[=−1, sup
x∈[0,2[
x2 = sup[0,4[= 4.
Définition. Une fonction f: Df → R, Df ⊂ R, est dite bornée au voisinage de a ∈R s’il existe δ >0 tel que f est bornée sur l’intersection de l’intervalle ouvert ]a−δ, a+δ[ = {x | |x−a| < δ} avec l’ensemble de définition Df. C’est-à-dire, f est dite bornée au voisinage de a s’il existe un voisinage V de a tel que f est bornée sur V ∩Df.
Exemples. La fonction f(x) = x2, x ∈ R, est bornée au voisinage de tout a∈R. La fonction f(x) = 1x, x∈R∗ =R\ {0}, n’est pas bornée au voisinage de 0.
Figure 1.2 – Une explication « intuitive » du théorème d’encadrement.
1.1.4 Sur l’existence des limites
Théorème. Supposons que f:A →R est une fonction bornée au voisinage de a, a un point d’accumulation de A. Supposons que g: A→R est une fonction telle que limx→ag(x) = 0. Alors on a
x→alim(f(x)·g(x)) = 0.
Théorème(Théorème d’encadrement, théorème des gendarmes). Soientf, g, h trois fonctions réelles du même ensemble de définition A, et a un point d’ac- cumulation de A. Supposons que pour toutx∈A\ {a}, les inégalités suivantes sont vérifiées :
f(x)≥h(x)≥g(x).
De plus, supposons que
x→alimf(x) = lim
x→ag(x) = L.
Alors limx→ah(x) existe, et on a
x→alimh(x) = L.
Le même est vrai pour a∈ {±∞}.
On peut appliquer ce théorème pour des limites à droite et à gauche aussi.
Théorème. Supposons que f est une fonction réelle définie et monotone sur un intervalle ]a, b[, −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Alors limx→a+f(x) et limx→b−f(x) existent (finies ou infinies).
De plus, si f est croissante sur ]a, b[, alors
x→alim+f(x) = inf
]a,b[f et lim
x→b−f(x) = sup
]a,b[
f, et si f est décroissante sur ]a, b[, alors
x→alim+f(x) = sup
]a,b[
f et lim
x→b−f(x) = inf
]a,b[f.
1.2 Continuité
1.2.1 Définition et propriétés de fonctions continues
Définition. Une fonction f: Df →R est ditecontinue au point a∈Df si f(x)−→
x→a f(a).
Une fonction f:Df →R avecDf ⊂R est ditecontinue en a∈Df à droite si f(x) −→
x→a, x>af(a).
Une fonctionf: Df →RavecDf ⊂Rest ditecontinue en a∈Df à gauche si f(x) −→
x→a, x<af(a).
Ainsi une fonction dont l’ensemble de définition est une partie de R est continue en un point a si et seulement si elle y est continue à droite et à gauche.
Définition. Une fonction f: Df →R est dite continue (ou continue sur son ensemble de définition) si elle est continue en tout point de Df. Une fonction f: Df → R est dite continue sur A ⊂ Df si la restriction f|A: A → R est continue.
Par exemple, une fonction f:R→R est continue sur ]a, b[ si et seulement si elle est continue en tout z ∈]a, b[. Une fonction f: R → R est continue sur [a, b] si et seulement si elle est continue en tout z∈]a, b[, continue enaà droite, et continue en b à gauche.
Exemples. 1. La fonction x 7→ −1, [0,1] → R, est continue sur [0,1].
En général, toute fonction constante est continue sur son ensemble de définition.
2. La fonction f(x) = x, x∈R, est continue sur R.
3. La fonction g: [−1,0]∪[1,2]→R définie par g(x) = 0 pour x ∈[−1,0]
etg(x) = 1 pour x∈[1,2] est continue sur [−1,0]∪[1,2].
4. La fonction h: [−1,1] → R définie par h(x) = 0 pour x ∈ [−1,0] et h(x) = 1 pour x ∈]0,1] n’est pas continue en 0, donc elle n’est pas continue sur [−1,1], mais elle est continue sur [−1,0] et sur ]0,1].
Théorème. Soient f et g deux fonctions réelles définies et continues sur un ensemble A⊂R (ou A⊂C). Alors
1. pour tousα, β ∈R, αf +βg est continue sur A, 2. f·g est continue sur A,
3. si, de plus, g ne s’annule pas dans A, alors f /g est continue sur A.
Définition. Unefonction polynomiale réelle est une fonctionp: R→Rdéfinie par une formule de la forme
p(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a0, x∈R,
oùn ∈ N, a0, . . . , an∈ R. Une fonction rationnelle réelle est toute fonction f de la forme
f(x) = p(x) q(x) oùp etq sont deux fonctions polynomiales.
Corollaire. Toute fonction polynomiale réelle est continue sur R. Toute fonc- tion rationnelle réelle est continue sur son ensemble de définition.
Théorème(Continuité de la fonction composée).Soientf:A →Betg: B → Cdeux fonctions avecA, B, C ⊂R. Soita∈R, et supposons quelimx→af(x) = b, que b∈B, et que g est continue en b. Alors
x→alimg(f(x)) =g(b) = g(lim
x→af(x)).
Corollaire. Supposons que f soit une fonction définie et continue sur un en- semble A ⊂ R et que g soit une fonction définie et continue sur un ensemble B ⊂R. Supposons de plus que f(A)⊂B. Alors g◦f est continue sur A.
Exemple.La fonctionf: R→R, x7→x2est continue, et la fonctiong: R+→ R, x 7→ √
x est continue (à vérifier). Donc, d’après le théorème, la fonction g◦f: R→R, x7→ |x|est continue.
1.2.2 Théorème des bornes
Théorème (Théorème des bornes, théorème de Weierstraß). Toute fonction réelle définie et continue sur un intervalle fermé borné [a, b]est bornée sur cet intervalle et atteint ses bornes; plus précisément, il existe c, d∈[a, b] tels que pour tout x∈[a, b],
f(c)≤f(x)≤f(d).
Esquisse d’une démonstration. Posons M = sup[a,b]f. Montrerons qu’il existe d∈[a, b] tel que f(d) =M.
Choisissons une suite infinie x1, x2, x3, . . . de points dans l’intervalle [a, b]
telle que limn→∞f(xn) =M. Par exemple, si M est fini, on peut choisir une suite (xn)n∈N telle que f(xn) > M − 1n pour tout n, et si M = +∞ (on ne sait pas si cela et possible), on peut choisir (xn)n∈N telle que f(xn)> n pour tout n.
On peut ensuite choisir une sous-suite convergente (dn)n∈N de (xn)n∈N, c’est-à-dire une suite (dn)n∈N telle que :d1 =xk1,d2 =xk2,. . ., k1 < k2 <· · ·, et limn→∞dn existe. La possibilité de choisir une telle sous-suite résulte des propriétés de Ret du fait que l’intervalle est borné. En effet, on peut subdivi- ser l’intervalle en deux au milieu, choisir une moitié contenant une infinité des
Figure 1.3 – Une valeur intermédiaireγ atteinte 3 fois.
termes de (xn)n∈N, choisir parmi eux d1, subdiviser cet intervalle en deux au milieu, choisir une moitié et d2, et continuer ainsi. On peut montrer que « à la fin » de cette procedure infinie, on aura une sous-suite (dn)n∈N convergeant vers d∈[a, b]. On peut démontrer ensuite, en utilisant la continuité def, que M est fini et f(d) = M.
On peut démontrer de la même façon qu’il existec∈[a, b] tel que inf[a,b]f = f(c).
1.2.3 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction conti- nue sur un intervalle [a, b]. Alors pour toute valeur γ comprise entre f(a) et f(b), il existe c∈[a, b] tel que f(c) =γ (voir Fig. 1.3).
En d’autres termes, ce théorème dit que pour toute fonction réelle continue sur [a, b], toute valeur entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois.
Esquisse d’une démonstration. Sans perte de généralité, supposons quef(a)≤ f(b). Posons alors
c= sup{x∈[a, b] | f(x)< γ}.
On peut vérifier, en utilisant la continuité de f, quef(c) = γ.
Exemple. Soit f(x) = 1 +x −x3, x ∈ R. Cette fonction est continue ; en particulier, elle est continue sur [1,2]. Comme f(1) = 1 et f(2) =−5, et que 0 est compris strictement entre 1 et −5, il existe x ∈]1,2[ tel que f(x) = 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
Proposition. Un ensemble A ⊂ R est un intervalle si et seulement si pour tous x, y, z ∈R tels que x < y < z et que x, z ∈A, on a y∈A.
Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires). L’image f(I) d’un in- tervalle I ⊂ R par une fonction f définie et continue sur I est encore un intervalle de R, dont les bornes sont infIf et supIf.
1.2.4 Prolongement par continuité
Définition. Soit f: A → B une fonction. On appelle un prolongement de f toute fonctiong: A0 →B0 telle queA0 ⊃Aet quef soit la restriction deg sur A : f =g|A. Dans ce cas, on dit aussi que g prolonge f sur A0.
Exemple. La fonctionx7→x, R→R, prolonge x7→(√
x)2, [0,+∞[→R. Proposition. Soit f: A → R une fonction, avec le domaine (l’ensemble) de définition A⊂R (ou A⊂C). Soit a∈R (ou a∈C) un point d’accumulation de A tel que a /∈A. Alors
1. il existe un prolongement def surA∪ {a} continue en a si et seulement si limx→af(x) existe et est finie,
2. si un prolongementf˜: A∪ {a} →Rdef continue en aexiste, il satisfait f(a) = lim˜
x→a
f˜(x) = lim
x→af(x), et donc est unique.
Définition. Dans les hypothèses de la proposition précédente, l’unique pro- longement continue ˜f de f sur A∪ {a}, s’il existe, s’appelle le prolongement de f en a par continuité.
À noter.Parfois, par abus de notation, on dit : « prolongeonsf par continuité ena », après quoi on confondf avec son prolongement par continuité ena, ou, plus précisément, on réutilise le symbole « f » pour noter ce prolongement.
Par exemple : « Prolongeonsf(x) = sinxx par continuité en 0 ; alorsf(0) = 1. »
1.3 Dérivabilité
1.3.1 Définition de la fonction dérivée
Définition. Soient f: Df → R une fonction d’une variable réelle et a ∈ Df un point d’accumulation de Df. On dit que f est dérivable au point a si la limite suivante existe et est finie :
f0(a)déf= lim
x→a
f(x)−f(a) x−a .
Dans ce cas, la valeur de cette limite, c’est-à-dire le nombre f0(a), est appelé le nombre dérivé de f en a, ou simplementla dérivée de f en a.
Définition. Soit f: Df →R une fonction d’une variable réelle. L’application x 7→ f0(x) est appelée la fonction dérivée de f, ou simplement la dérivée de f, et notée (naturellement) f0. L’ensemble de définition def0 (qui est souvent plus petit que Df, voire vide) d’appelle le domaine de dérivabilité def. Définition. On dit que f: Df →R estdérivable, ou dérivable sur Df, si elle est dérivable en tout point de Df.
Notons que l’existence d’une limite finie de f(x)−f(a)x−a lorsquex→aimplique que f(x)−f(a) tend vers 0 lorsque x →a. Pour que f soit dérivable en a, il est doncnécessaire qu’elle soit continue en a. La réciproque est fausse.
Exemples. 1. La dérivée de la fonction constante f: [0,1]→ R, x 7→ −1 est la fonction nulle f0: [0,1] → R, x 7→ 0. En général, la dérivée de toute fonction constante est nulle (dans le domaine de dérivabilité).
2. La dérivée de la fonction g(x) = |x|, x ∈R, est la fonction g0: R∗ → R définie par : g0(x) = 1 pour tout x > 0, etg0(x) = −1 pour tout x < 0.
Le domaine de dérivabilité dans ce cas est R∗ =]− ∞,0[∪]0,+∞[.
3. Toute fonction polynomialeh(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a0est dérivable sur R. Si n = 0 (h est constante), sa dérivée est nulle : h0(x) = 0 pour tout x ∈ R. Si n ≥ 1, h0 est encore une fonction polynomiale : h0(x) = nanxn−1 + (n−1)an−1xn−2 +· · ·+a2x+a1.
À noter. Parfois on écrit les fonctions sous une forme abrégée : x2 au lieu de x 7→ x2, R → R, par exemple. Pour cette situation il existe une autre notation pour la fonction dérivée. Au lieu de « (x 7→ x2)0 = (x 7→ 2x) » ou
« (x2)0 = 2x », on écrit plutôt : d
dxx2 = 2x.
1.3.2 Propriétés arithmétiques de la dérivée
Théorème. 1. Les combinaisons linéaires et produits de fonctions déri- vables ena sont dérivables ena. On a les formules (pour tousα, β ∈R) :
(αf+βg)0(a) =αf0(a) +βg0(a), (f g)0(a) =f(a)g0(a) +f0(a)g(a).
2. Si f et g sont deux fonctions dérivables en a et si g(a)6= 0, alors f g est dérivable en a. On a la formule :
f g
!0
(a) = f0(a)g(a)−f(a)g0(a) g2(a) ·
1.3.3 Dérivée de la fonction composée
Théorème (Dérivée de la fonction composée). Si f est une fonction dérivable en a, et g une fonction dérivable en b = f(a), alors la fonction g ◦ f est dérivable en a, et
(g ◦f)0(a) = g0(b)f0(a) =g0f(a)f0(a).
Démonstration. Posons
p(h) = f(a+h)−f(a)
h , q(h) = g(b+h)−g(b) h
pourh6= 0. Observons que
h→0limp(h) = f0(a), lim
h→0q(h) = g0(b).
Posonsp(0) =f0(a) et q(0) =g0(b). Alors on a les égalités : f(a+h) = f(a) +p(h)h,
g(b+h) = g(b) +q(h)h.
On cherche à montrer que
(g◦f)(a+h)−(g◦f)(a)
h −→
h→0 g0(b)f0(a).
En effet,
(g◦f)(a+h) =g
f(a+h)
=g
f(a) +p(h)h
=g
b+p(h)h
=g(b) +q
p(h)h
p(h)h, et ainsi
(g◦f)(a+h)−(g◦f)(a)
h =
g
f(a+h)
−g(b) h
=q
p(h)h
p(h)−→
h→0 q(0)p(0) =g0(b)f0(a).
1.3.4 Dérivée et variations d’une fonction
Définition. Soit f: A→R une fonction, A⊂R.
1. On dit que f atteint au point a ∈ A son maximum si f(a) ≥f(x) pour tout x ∈ A; dans ce cas, on appelle f(a) le maximum de f et le note maxAf.
2. On dit que f atteint au point a ∈ A un maximum local s’il existe un voisinage ]a −δ, a+ δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) ≥ f(x) pour tout x∈A∩]a−δ, a+δ[.
3. On dit que f atteint au point a ∈ A un maximum local strict s’il existe un voisinage ]a−δ, a+δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) > f(x) pour tout x∈A∩]a−δ, a+δ[\{a}.
4. On dit que f atteint au point a ∈ A son minimum si f(a)≤ f(x) pour tout x ∈ A; dans ce cas, on appelle f(a) le minimum de f et le note minAf.
5. On dit que f atteint au point a ∈ A un minimum local s’il existe un voisinage ]a −δ, a+ δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) ≤ f(x) pour tout x∈A∩]a−δ, a+δ[.
6. On dit que f atteint au point a ∈ A un minimum local strict s’il existe un voisinage ]a−δ, a+δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) < f(x) pour tout x∈A∩]a−δ, a+δ[\{a}.
Un extremum est un maximum ou minimum.
Théorème. Si une fonction f définie sur un intervalle ouvertI ⊂Rà valeurs réelles atteint un maximum ou minimum local au pointa∈I, et sif0(a)existe, alors f0(a) = 0.
Théorème (Théorème de Rolle). Soient a, b∈R, a < b, et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b).
Alors il existe c∈]a, b[ tel que f0(c) = 0.
Démonstration. Soit le maximum global sur [a, b], soit le minimum global sur [a, b] est atteint à l’intérieur de [a, b], c’est-à-dire dans ]a, b[ (voir le théorème des bornes).
Soit donc c ∈]a, b[ tel que f(c) = min[a,b]f ou f(c) = max[a,b]f. Alors f0(c) = 0 (voir la proposition).
Théorème (Théorème des accroissements finis). Soient a, b∈R, a < b, et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c∈]a, b[ tel que
f(b)−f(a) = f0(c)(b−a) (voir Fig. 1.4).
Démonstration. Posons
g(x) =f(a) + f(b)−f(a)
b−a (x−a), h(x) =f(x)−g(x).
La fonctiong est la fonction affine telle que
g(a) = f(a), g(b) = f(b), et g0(x) = f(b)−f(a)
b−a pour tout x.
On trouve ainsi que h(a) =h(b) = 0. En appliquant le théorème de Rolle à h sur [a, b], on conclut qu’il existe c∈]a, b[ tel que h0(c) = 0, c’est-à-dire que
f0(c) =g0(c) = f(b)−f(a) b−a .
Figure 1.4 – La pente d’une tangente est égale à la pente de la sécante.
Définition. Soitf: A→Rune fonction d’une variable réelle (A ⊂R). Alors : 1. la fonction f est ditecroissante si pour tous x, y ∈A tels que x < y, on
af(x)≤f(y) ;
2. elle est dite strictement croissante si pour tous x, y ∈ A tels que x < y, on a f(x)< f(y) ;
3. elle est dite décroissante si pour tous x, y ∈ A tels que x < y, on a f(x)≥f(y) ;
4. elle est ditestrictement décroissante si pour tousx, y ∈Atels quex < y, on a f(x)> f(y) ;
Une fonction estmonotone si elle est croissante ou décroissante. Une fonction eststrictement monotone si elle est strictement croissante ou décroissante.
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors f est croissante sur I si et seulement sif0 ≥0 sur I. De plus, si f0 >0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. De manière analogue f est décroissante sur I si et seulement si f0 ≤ 0 sur I. De plus, si f0 < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème des accroissements finis.
Corollaire. Si f0 = 0 sur un intervalle I, alors f est constante sur I. Parfois on peut combiner ce théorème avec la proposition suivante.
Proposition. Soitf une fonction réelle continue sur un intervalle fermé[a, b].
Alors :
1. si f est croissante sur ]a, b[, alors elle l’est sur [a, b];
2. si f est strictement croissante sur ]a, b[, alors elle l’est sur [a, b]; 3. si f est décroissante sur ]a, b[, alors elle l’est sur [a, b];
4. si f est strictement décroissante sur ]a, b[, alors elle l’est sur [a, b].
Par exemple, soit f(x) = x3, x ∈ R. Alors f0(x) = 3x2 pour tout x ∈ R. La fonction f0 est strictement positive sur ]− ∞,0[ et sur ]0,+∞[, doncf est strictement croissante sur ]− ∞,0[ et sur ]0,+∞[, donc elle est strictement croissante sur ]− ∞,0] et sur [0,+∞[ (car elle est continue sur R), ainsi elle eststrictement croissante sur R.
1.4 Fonctions usuelles
1.4.1 Fonctions polynomiales et rationnelles
Définition(Rappel).Unefonction polynomiale réelleest toute fonctionp: R→ R définie par une formule de la forme
p(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a0, x∈R,
oùn ∈ N, a0, . . . , an∈ R. Une fonction rationnelle réelle est toute fonction f de la forme
f(x) = p(x) q(x) oùp etq sont deux fonctions polynomiales.
Le domaine de définition de toute fonction polynomiale réelle est R. Le domaine de définition d’une fonction rationnelle réelle de la forme p(x)q(x), où p et q sont deux fonctions polynomiales, est l’ensemble de tous les réels où le dénominateur q(x) ne s’annule pas. On verra plus loin qu’une fonction polynomiale définie par un polynôme de degré n ne peut s’annuler qu’en au plusn points distincts. Donc toute fonction rationnelle est définie partout sauf en un nombre fini de points.
Remarque. On peut prolonger toute fonction polynomiale réelle R→Ren une fonction polynomiale complexe C → C. Également, on peut prolonger toute fonction rationnelle réelle en une fonction rationnelle complexe.
Toute fonction polynomiale est continue et dérivable sur R, la fonction dé- rivée est toujours une fonction polynomiale.Lanedérivée itéréed’une fonction polynomiale définie par un polynôme de degrénest constante, et donc lan+1e dérivée itérée est nulle.
Toute fonction rationnelle est continue et dérivable sur son domaine de définition. La dérivée d’une fonction rationnelle est toujours une fonction ra- tionnelle.
1.4.2 Fonctions exponentielle et logarithme
La fonction exponentielle
Théorème. Il existe une unique fonction f:R→R dérivable sur R telle que f0 =f et f(0) = 1. Cette fonction est strictement positive surR.1
Définition. On appelle la fonction décrite dans ce théorèmela fonction expo- nentielle (réelle) et on la note exp ou x7→ex.
Définition. Le nombre e est défini par : edéf= exp(1).
1. Ce théorème ne sera pas démontré en L1.
La similitude entre la notationex et la notation de puissance d’un réel sera justifiée plus loin.
Théorème (Propriétés algébriques de l’exponentielle). Quels que soient les réels a et b, on a :
exp(a+b) = exp(a) exp(b) et exp(−a) = 1 exp(a). Démonstration. La fonction
g(x)déf= exp(a+x) exp(a)
est dérivable sur R et vérifieg(0) = 1 et g0 =g, c’est donc g(x) = expx, d’où la première égalité. La seconde en découle immédiatement.
Corollaire. Pour tout a∈R et tout n ∈Z, exp(na) = (exp(a))n et exp
a n
= qnexp(a).
Théorème. La fonction exp est une bijection croissante de R sur R∗+.
Démonstration. Il découle de l’égalité exp0 = exp que la fonction exponentielle estindéfiniment dérivable, égale à toutes ses dérivées itérées. Puisque, d’après le théorème, exp0 = exp >0 sur R, elle y est strictement croissante.
Soit g(x) = exp(x)−1. Alors g(0) = 0 etg0 = exp0 = exp>0 surR+, donc g est croissante surR+, doncg ≥0 sur R+.
Soit h(x) = g(x)−x = exp(x)−1−x. Alors h(0) = 0 et h0 =g0 −1 sur R+, donc h0 ≥ 0 sur R+, donc h est croissante sur R+, donc h ≥ 0 sur R+. On en déduit l’inégalité exp(x) ≥ 1 +x valable pour x ≥ 0. En particulier, limx→+∞exp(x) = +∞. En appliquant l’égalité exp(−x) = (expx)−1, on en déduit que limx→−∞exp(x) = 0. La fonction exponentielle réalise donc une bijection de R surR∗+.
Logarithme naturel
Définition. La fonction logarithme naturel (ou encore logarithme népérien) ln est l’application réciproque de l’application (bijective) exponentielle réelle ; donc on a ln :R∗+ →R.
Cette définition s’écrit aussi comme suit :
∀x∈R, ln(exp(x)) = x, ou :
∀y ∈R∗+, exp(ln(y)) =y.
On voit facilement que ln 1 = 0 et lne= 1.
Figure 1.5 – La fonction exponentielle et la fonction logarithme naturel.
Théorème. Quels que soient les réels a >0 et b >0, on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b), et ln(a−1) =−lna.
Corollaire. Pour tout a∈R∗+ et tout n∈Z, ln(an) = nln(a) et ln√n
a= ln(a) n .
Théorème. La fonction ln est une bijection strictement croissante de R∗+ sur R, ses limites sont −∞ en 0+ et +∞ en +∞.
Théorème. La fonction ln est dérivable et sa dérivée est la fonction x 7→ 1 x, ]0,+∞[→R.
1.4.3 Fonctions puissance et racine
Si xest un nombre réel (ou complexe), alors on pose x1 déf= x, et xn+1 déf= xn·x pour toutx∈N∗. Par exemple :x3 =x·x·x.
Si x6= 0, alors on pose aussi
x0 déf= 1, x−ndéf= 1
xn pour tout x∈N∗. Par exemple :x−1 = 1x.
Pour tout n ∈ Z strictement positif, la fonction f(x) = xn, x ∈ R, est strictement croissante sur [0,+∞[ et satisfait :
f(0) = 0, lim
x→+∞f(x) = +∞.
