Correction DM 1. a

Correction DM

1. a 𝑢₀= −3 𝑢₁= 3 𝑢₂= 5 𝑢₃=¹⁷

3.

b. 𝑢₂− 𝑢₁= 5 − 3 = 2 𝑢₁− 𝑢₀= 3 − (−3) = 6 donc 𝑢_𝑛 𝑛^′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒.

𝑢₂ 𝑢₁=⁵

3 𝑒𝑡 ^𝑢1

𝑢₀= ³

−3= −1 donc 𝑢_𝑛 𝑛^′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒.

2.^𝑣𝑛+1

𝑣_𝑛 =^{𝑢𝑛+1−6}

𝑢_𝑛−6 =

1 3𝑢_𝑛+4−6

𝑢_𝑛−6 =

1 3𝑢_𝑛−2

𝑢_𝑛−6 =

1 3(𝑢_𝑛−²₁

3

) 𝑢_𝑛−6 =

1 3(𝑢_𝑛−6)

𝑢_𝑛−6 =¹

3 donc (𝑣_𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 =¹

3 et 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑣₀= 𝑢₀− 6 = −3 − 6 = −9

b. 𝑣_𝑛= 𝑣₀× 𝑞^𝑛= −9 × (¹

3)^𝑛 et 𝑢_𝑛= 𝑣_𝑛+ 6 = −9 × (¹

3)^𝑛+ 6 Problème

a. (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique puisque par définition on rajoute toujours 50€ pour chaque mètre creusé. Pour passer d'un "mètre " à l'autre on rajoute toujours 50€.

b.

𝑢𝑛+1= 𝑢𝑛+ 50

𝑢_𝑛= 𝑢₁+ 50 × (𝑛 − 1) 𝑢_𝑛= 1000 + 50𝑛 − 50 𝑢𝑛= 950 + 50𝑛

a. Le nombre de mètres que l'on peut creuser est la somme de tous les termes de (𝑢_𝑛)

𝑆 = 𝑢₁+ 𝑢₂+ 𝑢₃+. . . 𝑢_𝑛

Or on dispose d'un crédit de 519750€ : Donc

𝑆 = 𝑢₁+ 𝑢₂+ 𝑢₃+. . . 𝑢_𝑛 = 519750 𝑆 = 𝑛 ×𝑢₁+ 𝑢_𝑛

2 = 𝑛 ×1000 + 950 + 50𝑛 2

𝑆 =1950𝑛 + 50𝑛²

2 = 519750

1950𝑛 + 50𝑛²^{= 519750} 50𝑛²+ 1950𝑛 − 519750 = 0 50(𝑛²+ 39𝑛 − 20790) = 0 𝑛²+ 39𝑛 − 20790 = 0

Après simplification : 𝑛²+ 39𝑛 − 20790 = 0 Ce qui nous donne 2 solutions :

Δ= 84681 𝑛₁= −165 et 𝑛₂= 126 On prend la solution positive : on peut creuser 126m