Chapitre 2: Ordre et comparaison

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Chapitre 2: Ordre et comparaison

I – Comparaison de nombres :

Définition 1 : Soit x, a et b des nombres réels,

Dire que x est positif signifie que x est supérieur ou égal à zéro, on note x0 .

Dire que x est strictement positif signifie que x est strictement supérieur à zéro, on note x0 . Dire que x est négatif signifie que x est inférieur ou égal à zéro, on note x0 .

Dire que x est strictement négatif signifie que x est strictement inférieur à zéro, on note x0 . absignifie que a−b0 .

absignifie que a−b0 . Règles des signes :

● Si (a0 et b0 ) alors ab0 .

● Si (a0 et b0 ) alors ab0 .

● Si (a0 et b0 ) alors a b0 .

● Si (a0 et b0 ) alors a b0 .

● Si (a0 et b0 ) alors a b0 . Propriétés 1 : Soit a, b et c trois réels.

Si ab et bc alors ac. Si ab et bc alors ac. II- Ordre et opérations :

Propriétés 2 : Soit a, b, c et d quatre nombres réels.

1. Si ab alors pour tout c∈ℝ on a acbc. 2. Si ab et cd alors acbd.

3. Si ab alors pour tout c∈ℝ on a a−cb−c. 4. Si ab alors pour tout c0 on a a×cb×c. 5. Si 0 ab et 0 cd alors 0 a×cb×d. 6. Si ab alors pour tout c0 on a a×cb×c. Remarques :

1. On a des propriétés analogues pour les inégalités strictes.

2. Ces règles sur l'ordre permettent de déterminer des encadrements de nombres, de résoudre des inéquations.

3. On peut traduire les propriétés 1 et 3 en disant qu'on ne modifie pas le sens d'une inégalité en additionnant ou soustrayant un même nombre aux deux membres de cette inégalité.

4. On peut traduire la propriété 4 en disant qu'on ne modifie pas le sens d'une inégalité en multipliant par un même nombre positif les deux membres de cette inégalité.

5. Attention : On peut traduire la propriété 6 en disant qu'on change le sens d'une inégalité en multipliant par un même nombre négatif les deux membres de cette inégalité.

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Exemples :

1. Sachant que 1,414 



2 1,415 et que 1,732 



^{3 1,733}

déterminer un encadrement de3



²^{, de 2}



^{3 , de}⁻⁵



^{3 de}³



^{2 2}



³^{et de 3}



²⁻⁵



^{3 .}

2. Résoudre l'inéquation suivante : 2x44x5 . III – Comparaison de a,



â^,¹_a ^,â²êt â³^pourâ0^:

Propriétés 3 :

1. Si 0a1 alors a³a²a. 2. Si a1 alors aa²a³. Propriétés 4 : Soit a et b deux réels.

1. Si 0 ab alors 0 a²b². 2. Si 0 ab alors 0 



^a



^b^.

3. Si 0<ab alors 01 b1

a . IV – Intervalles deℝ.

Intervalles

bornés encadrement Représentation sur une droite graduée

Intervalles

non bornés encadrement Représentation sur une droite graduée

[a ; b] axb [a ;∞[ ax

]a ; b[ axb ]a ;∞[ ax

[a ; b[ axb ]−∞; b] xb

]a ; b] axb ]−∞; b[ xb

Définition 2 : Soit I et J deux intervalles .

1. L'ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J est appelé l'intersection de I et de J et se note I∩J ; on lit « I inter J ».

2. L'ensemble des nombres appartenant à I ou à J est appelé la réunion de I et de J et se note I∪J ; on lit « I union J ».

Remarques :

1. ]−∞;∞[ est l'ensemble noté ℝ.

2. L'intervalle [0;∞ [ se note ℝ⁺et l'intervalle ]−∞;0] se note ℝ^–.

3. La réunion d'intervalles ]−∞;0[∪]0;∞[est l'ensemble des réels non nuls et se note.ℝ^*.

a b

a

b

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Exemples : Soient I=]−∞;2[; J=[−1;4[ et K=[2;∞[. Déterminer I∩J , I∩K , J∩K , I∪J , I∪K et J∪K . V - Valeur absolue.

Définition 3 : Soit M un point d'abscisse x sur une droite graduée (O, I). On appelle valeur absolue de x, le nombre réel positif égal à la distance OM. Ce nombre est noté∣x∣.

Remarque : ∣x∣=xsi x0 et ∣x∣=−xsi x0 .

Exemples : Déterminer la valeur absolue des réels suivants : -2,5 ; 3

4 ;



^{3 −4}^;²



^{2 −}



⁷^;^{−5 .}

Propriété 5 : Soit A et B deux points d'une droite graduée (O, I), d'abscisses respectives x_A et x_B. La distance distance de A à B est le réel positif noté AB=∣x_B−x_A∣.

Remarque : AB=x_B−x_A si x_Bx_A, AB=x_A−x_B si x_Bx_A et AB = 0 si x_B=x_A. Exemples : Soit A(-2), B(-5) et C(4). Déterminer AB, AC et BC.