DS n°03

(1)

Exercice 1 : [3 points]

On prélève de façon aléatoire 100 bouteilles à la fin de la chaîne de production et on mesure le volume d’eau minérale qu’elles contiennent réellement.

Volume (en cL) 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155

Effectifs 2 3 5 12 18 21 17 11 7 3 1

1. Calculer la moyenne 𝑥 et l’écart type 𝜎 de cette série. (détaillez vos calculs)

2. La production est conforme à la législation lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :

 145,5 ≤ 𝑥 ≤ 154,5

 𝜎 ≤ 2,25

 Au moins 95% des valeurs de l’échantillon sont dans l’intervalle [𝑥 − 2𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎]. La production est-elle conforme ?

Partie 1 : On donne la série 1 suivante :

Déterminer la médiane et les quartiles 1 et 3 de cette série. (Détaillez tous vos calculs) Partie 2 :

On donne le diagramme en boite de la série 2 :

Entourer la seule réponse correcte parmi les trois proposées. Aucune justification n’est demandée.

1. La moyenne 𝑥, arrondie au dixième, de la série 1 est : a) 12.8 𝑏) 13.7 𝑐)13.8

2. L’écart type, arrondie au dixième, de la série 1 est : 𝑎) 5.8 𝑏)5.9 𝑐)6.2

3. L’écart interquartile de la série 1 est : a) 8 𝑏) 7 𝑐)6

4. Soit Me la médiane de le série 1 et Me’ la médiane de la série 2. On a alors : a) 𝑀𝑒^′ > 𝑀𝑒 𝑏) 𝑀𝑒’ < 𝑀𝑒 𝑐)𝑀𝑒 = 𝑀𝑒’

5. Comparativement à la série 1, les valeurs de la série 2 : a) Sont plus dispersées ;

b) Sont plus homogènes ;

c) Ne sont ni plus dispersées, ni plus homogènes.

DS n°03 – lundi 20-11-17 – 1

^ère

S

^{Nom :}

Exercice n° :

N°1 N°2 N°3 N°4 N°5 NOTE :

Barème :

/3 /5 /2 /5 /5 /20

Compétences ^Acquis ^{En cours}

d’acquisition Non acquis Déterminer la moyenne et l’écart-type d’une série

Déterminer la médiane et les quartiles 1 et 3 d’une série Utiliser un tableur

Déterminer les coordonnées de points dans un repère quelconque Déterminer l’équation cartésienne d’une droite

Montrer que deux droites sont parallèles Résoudre une équation du second degré

Déterminer la forme factorisée et la forme canonique d’un polynôme du second degré Prise d’initiative

Rédaction et maitrise des calculs

(2)

La feuille de calcul suivante donne la répartition des salaires des employés d’une PME en 2009 puis en 2014.

Soit A, B et C trois points non alignés.

Les points D, E et F sont définis par : 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟑𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑨𝑬⃗⃗⃗⃗⃗ =^𝟑

𝟐 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒕 𝑩𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1. Placer les points D, E et F :

2. On considère le repère : (𝑨; 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ ).

Déterminer les coordonnées des points D, E et F dans ce repère. (justifier) 3. On admet que : 𝐷 : (3 ; 0) , 𝐸 ∶ (0 ;³

2) 𝑒𝑡 𝐹(−1 ; 2).

Déterminer une équation cartésienne de la droite (ED).

4. Soit (Δ) la droite d’équation : 𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0

a) Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (Δ).

b) Tracer la droite (Δ).

c) Les droites (Δ) et (ED) sont-elles parallèles ?

Partie A :

1. Résoudre l’équation : 𝑥² + 𝑥 − 12 = 0

2. Soit 𝑓 la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝑥 − 12 a) Déterminer la forme factorisée de 𝑓(𝑥).

b) Déterminer la forme canonique de 𝑓. (Sans calcul de 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 – Détaillez vos calculs) c) En déduire les coordonnées du sommet de la parabole associée à 𝐶_𝑓.

Partie B : [Application]

On considère un rectangle ABCD tel que AB=6 et BC = 4.

On place un point E sur le segment [AD] et F sur le segment [AB]

tel que 𝐴𝐸 = 𝑥 𝑒𝑡 𝐴𝐹 = 𝑥 + 1 , 𝑥 étant un réel.

On place le point G tel que AFGE soit un rectangle.

a) A quel intervalle 𝑥 appartient-il ?

b) Pour quelle valeur de 𝑥, l’aire du rectangle AFGE est-elle égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD ? 1. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule

F3 pour que le tableur calcule la moyenne des salaires des employés dont l’âge est compris entre 18 et 29 ans ?

2. Comparer le salaire moyen par tranche d’âge au total pour 2009 et 2014.

Expliquer pourquoi les résultats de la colonne F semblent paradoxaux.

(3)

Correction DS n°03 – 1èreS – 20.11.17 Exercice 1 :[3 points]

1. 𝑥 =145×2+146×3+⋯+155

100 ≈ 149.98

𝑉 = ¹

100(2 × 145²+ 3 × 146²+ ⋯ + 1 × 155²) − 149.98² ≈ 4.06 𝜎 ≈ 2.01

2.

 𝑥 ≈ 149.98 𝑑𝑜𝑛𝑐 145,5 ≤ 𝑥 ≤ 154,5 : la première condition est vérifiée.

 𝜎 ≈ 2.01 ≤ 2.25 : la deuxième condition est vérifiée.

 [𝑥 − 2𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎] = [149.98 − 4.02; 149.98 + 4.02] = [145.96 ; 154]

Les 2 bouteilles contenant 145mL et la bouteille contenant 155mL ne sont pas contenues dans l’intervalle.

Ainsi : 100 − 3 = 97 soit 97% des bouteilles sont contenues dans l’intervalle.

La troisième condition est vérifiée.

Conclusion : la production est conforme.

Partie 1 : 𝑁 = 70 pair

𝑁

2 = 35 𝑒𝑡^𝑁₂+ 1 = 36 donc 𝑀𝑒 =35𝑖è𝑚𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟+36 𝑖è𝑚𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟

2 =¹⁰⁺¹⁴₂ = 12

𝑁

4 = 17.5 donc 𝑄₁𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 18𝑖è𝑚𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑄₁= 10

3𝑁

4 = 52.5 donc 𝑄₃ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 53 𝑖è𝑚𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑄₃= 17 Partie 2 :

1. C) 2. A) 3. B) 4. C) 5. B)

Exercice 3 :[2 points]

1. 𝐹3 = 𝐵3 ∗ 1600 + 𝐶3 ∗ 2400 + 𝐷3 ∗ 3300

2. Pour les 18-29 ans : le salaire moyen est plus élevé en 2014 qu’en 2009.

Pour les 30-49 ans : le salaire moyen est plus élevé en 2014 qu’en 2009.

Pour les 50-65 ans : le salaire moyen est plus élevé en 2014 qu’en 2009.

On constate cependant que le salaire moyen (tous âges confondus) est plus élevé en 2009 qu’en 2014.

Ce paradoxe résulte du fait que la répartition des personnes dans les différentes classes d’âge est différente d’une année à l’autre. En 2014 l’effectif sur les « petits » salaires est plus important qu’en 2009.

Exercice 4 : (5 points]

1.

2. On sait que 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ donc : 𝐷 ∶ (3 ; 0) On sait que𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =³

2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐸 ∶ (0 ;³

2)

(4)

On sait que 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ donc : 𝐹: (−1; 2).

3. 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ : (−3

3 2

) Donc (ED) a une équation cartésienne de la forme :³

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑐 = 0 Or 𝐸 ∈ (𝐸𝐷)𝑑𝑜𝑛𝑐 : ³

2× 0 + 3 ×³

2+ 𝑐 = 0 Donc 𝑐 = −⁹

2

L’équation cartésienne de (ED) est donc : ³₂𝑥 + 3𝑦 −⁹

2= 0 4.

a) Vecteur directeur de (Δ): (−𝑏 𝑎 ) : (−2

1 )

Point : on choisit 𝑥 = 0 alors : 0 + 2𝑦 − 2 = 0 ⇔ 𝑦 = 1 Donc le point de coordonnées (0; 1) appartient à (Δ). (point C) b) Voir graphique

c) On sait que (ED) a pour vecteur directeur 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ : (−3

3 2

) et (Δ) a pour vecteur directeur 𝑢⃗ (−2 1 ) 𝑥𝑦^′− 𝑥^′𝑦 = −3 × 1 −³

2× (−2) = −3 + 3 = 0 Donc 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑢⃗ sont colinéaires.

Donc les droites (Δ) et (ED) sont parallèles.

Exercice 5 :[5 points]

Partie A :

1. 𝑥² + 𝑥 − 12 = 0

Δ = 1² − 4 × 1 × (−12) = 49 > 0 L’équation a deux solutions : 𝑥₁=^−1−√49

2 = −4 𝑒𝑡 𝑥₂ =^−1+√49

2 = 3 Donc 𝑆 = {−4; 3}

2.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒) b) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝑥 − 12

Or (𝑥 +¹

2)²= 𝑥² + 𝑥 +¹

4

Donc (𝑥 +¹

2)²−¹

4= 𝑥²+ 𝑥 Ainsi : 𝑓(𝑥) = (𝑥 +¹

2)²−¹

4− 12 = (𝒙 +^𝟏

𝟐)^𝟐−^𝟒𝟗

𝟒

c) Forme canonique : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 Donc 𝛼 = −0.5 𝑒𝑡 𝛽 = −⁴⁹

4

Partie B :

a) 𝑥 ∈ [0; 4] car 𝐴𝐸 = 𝑥 𝑒𝑡 𝐴𝐷 = 4

b) 𝐴_{𝐴𝐹𝐺𝐸}= 𝐴𝐹 × 𝐴𝐸 = (𝑥 + 1)𝑥 = 𝑥² + 𝑥 𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷}= 6 × 4 = 24

On souhaite déterminer pour quelle valeur de 𝑥, l’aire du rectangle AFGE est égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD, on obtient donc l’équation : 𝑥² + 𝑥 = 12

C’est-à-dire : 𝑥² + 𝑥 − 12 = 0

Or d’après la partie A : 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 3 Or 𝑥 ∈ [0; 4] donc 𝑥 = 3

Conclusion : pour 𝑥 = 3 l’aire du rectangle AFGE est égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD