ETUDE D’UNE FONCTION

(1)

V2 – Etude de fonction – Théorème des valeurs intermédiaires

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ETUDE D’UNE FONCTION 1

Soit la fonction définie sur ℝ par : = 1

3+ ² − 2 + 1 On note sa courbe représentative dans un repère.

1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition 2) On note ′ la dérivée de la fonction

a) Calculer ′

b) Etudier le signe de

c) Dresser le tableau de variation de

3) Montrer que l’équation = 7 admet une solution unique α dans l’intervalle [2 ; 3]. A l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 10^-2 près 4) Tracer

Correction

1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition

A l’infini, la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré, donc on peut écrire :

→ lim = lim

→ 1

3³ lim

→ = − ∞

→ lim = lim

→ 1

3³ lim

→ = + ∞

2) On note ′ la dérivée de la fonction a) Calculer ′

′ = ^!+ 2 − 2

b) Etudier le signe de "

Calcul du discriminant de l’équation : ² + 2 − 2 = 0

∆ = %² − 4' = = 2^!− 4 × 1 × −2 = 12

∆ > 0 donc léquation admet deux racines₇ et _! ₇ = 8−% − √∆:

2' = −2 − √12

2 = −1 − √3 ≈ −2,7 _! =8−% + √∆:

2' = −2 + √12

2 = −1 + √3 ≈ 0,7

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2

Tableau de signe

-∞ ₇ _! +∞

′ + − +

c) Dresser le tableau de variation de

-∞ ₇ _! +∞

′ + − +

7 ≈ 10,13

! ≈ 3,2

3) Montrer que l’équation " = = admet une solution unique α dans l’intervalle [2 ; 3]. A l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 10^-2 près

La fonction est continue et strictement croissante sur [2;3]

2 ≈ 6,6 3 = 16

7 ∈ [6,6 ; 16], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation = 7 admet une solution unique dans l’intervalle [5;8].

Avec la calculatrice : 2,05 ≈ 6,97 2,06 ≈ 7,03

2,05 < α < 2,06 donc α ≈ 2,05 -∞ 3,2

10,13 +∞

(3)

4) Tracer B