E3 - Etude d’une fonction
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ETUDE D’UNE FONCTION 1
Soit la fonction définie sur ℝ par : = − ² 1) Etudier le signe de sur ℝ
2) Etudier le sens de variations de sur ℝ
3) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point dabscisse 2 4) Soit = − − 8 + 12
a) Déterminer le sens de variation de sur ℝ
b) En utilisant le minimum de sur [0 ; +∞ [, démontrer que est positive sur [0 ; +∞ [
c) En déduire des questions précédentes la position de la courbe par rapport à la tangente sur [0 ; +∞ [
Correction
1) Etudier le signe de $ sur ℝℝℝℝ On résout = 0
= − = ² − 1
⇔ − 1 = 0 ⇔ ² = 0 '( − 1 = 0 ⇔ = 0 '( = 1 -∞ 0 1 +∞
² + + +
− 1 − − +
− − +
2) Etudier le sens de variations de $ sur ℝℝℝℝ Calcul de la dérivée ′
= 3 − 2
Etude du signe de la dérivée ′ On résout ′ = 0
= 3 − 2 = 3 − 2
⇔ 3 − 2 = 0 ⇔ = 0 '( 3 − 2 = 0 ⇔ = 0 '( = 2 3
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2
Tableau de variations de
-∞ 0 +∞
− + +
3 − 2 − − +
′ + − +
0 = 0 +2
3, = +2 3,
− +2
3, = 8 27 − 4
9 =−4 27
3) Déterminer l’équation 01 23 43561541 7 à 23 89:;<1 = 3: >9?54 03<@8?@@1 A L’équation de la tangente est de la forme B = 2 − 2 + 2
Calculons 2 CD 2 2 = 3 × 2 − 2 × 2 = 8 2 = 2− 2² = 4
Soit ∶ B = 8 − 2 + 4 = 8 − 16 + 4 = 8 − 12
4) Soit HI = IJ− IA− KI + LA
a) Déterminer le sens de variation de H sur ℝℝℝℝ Calcul de la dérivée ′
= 3 − 2 − 8
Etude du signe de la dérivée ′ On résout ′ = 0
∆= −2 − 4 × 3 × −8 = 4 + 96 = 100 N = 2 + 10
6 = 2 CD = 2 − 10 6 =−8
6 = −4 3 0
−4 27
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3
Tableau de variations de
-∞ OP 2 +∞
′ + − +
2 = 2− 2 − 8 × 2 + 12 = 8 − 4 − 16 + 12 = 0 +−4
3 , = −4
3 − +−4
3 , − 8 × +−4
3 , + 12 = −64 27 −16
9 +32
3 + 12 =500
27 ≈ 18,5 b) En utilisant le minimum de H sur [0 ; +∞ [, démontrer que H est positive sur
[0 ; +∞ [
On sait que sur V−4
3 ; 2X , le maximum est de 18,5 et le minimum de 0
→ la fonction est donc positive sur cet intervalle.
On sait que sur _2 ; +∞a, le minimum est de 0 et la fonction est strictement croissante
→ la fonction est donc positive sur cet intervalle.
est positive sur [0 ; +∞ [
c) En déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la tangente T sur [0 ; +∞ [
= 3− 2 − 8 + 12
= − − 8 − 12
= − B
avec B béd(eDf'g hC be DegCgDC .
On a démontré que > 0 j(k _0 ; +∞_ donc − B > 0 ⇔ > B j(k _0 ; +∞_
On en déduit que T est en dessous de C.
18,5
0
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