Etude de la fonction ࢇ

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Etude de la fonction

1

= 2 3

Etape 1 : Mettre sous la forme Formule à utiliser : =

Soit = = ! ^{"# $%}

Etape 2 : Pour étudier les variations On va déterminer ^&.

^& = '^& !⁽ Or = ! ^{"# $%}

est de la forme !⁽ avec ' = ln 2

3 ; d’où '′ = ln 2 3 :^&ù ^& = ln 2

3 × ! ^"#

Pour analyser le signe de ^&, on va revenir à la forme . D’où ^& = ln 2

3 × 2 3

Propriétés à utiliser :

=> ? < < A BCDE ^& < ?

=> > A BCDE ^& > ? Car > ? GHIJ KHIK JéM Dans notre cas, = 2

3 0 < 2

3 < 1 Q ^& < 0

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Etape 3 : Pour le calcul des limites

On part de la forme = !⁽ de manière à utiliser la composée.

De la même manière :

=> ? < < A BCDE XY_→[\ = +∞ MK XY_{→_\} = −∞

=> > A BCDE XY_→[\ = −∞ MK XY_{→_\} = +∞

Donc en −∞

→[\lim ln 2

3 = +∞

`→[\lim !<sup>`</sup> = + ∞

Par la composée, lim

→[\() = +∞

Donc en +∞

→_\lim ln 2

3 = −∞

`→[\lim !<sup>`</sup> = 0

Par la composée, lim

→_\() = 0

Soit le tableau de variations suivant :

−∞ +∞

′ −

+∞

0