Moyenne
µ
SBPMef Losanges
2009
N o 4
Moyenne arithmétique, systèmes d’équations (4)
Définition des grilles en croix et des super-grilles
7 8 20
5
0
Cette figure est formée de quatre carrés « périphériques » et d’un carré « central » coloré et
4×8 = 5 + 7 + 0 + 20.
b m d
a
c
Nous appellerons « grille en croix» toute figure de ce type dans laquelle
m= a+b+c+d
4 .
a1+a2+· · ·+an
n est la moyenne arithmétique des n nombres a1, a2, . . . , an.
Dans les super-grilles, nous pouvons distinguer quatre grilles en croix, le nombre situé au centre de chacune d’elles étant la moyenne arithmétique des contenus des quatre carrés adjacents.
1. Super-grilles : exemple et cas général
0 -8 -40 -104 40 88 4
24 7 -14 -15 18
a b
c d f e
g
h x y
t z
x= a+h+t+y
4 y= b+x+z+c 4
z = t=
2. Des super-grilles à compléter
1
-3 1 4 -2
-4 1,5
0,5
10 2 4 14 7
4
16 2
1 0
0 0 0 0 0 0
0 1
0 0 0 0 0 0
3. Sommes « intérieure » et « périphé- rique »
Compare, dans les super-grilles complétées, la sommea+b+c+d+e+f+g+hà la somme
x+y+z+t.
Prouve cette propriété dans le cas général.
4. Résolution générale
Calcule, dans le cas général, les inconnuesx, y, z ett en fonction des données a, b, . . . ,g, h.
5. Addition et multiplication scalaire
L’addition de deux super-grilles, la multiplica- tion d’une super-grille par un réelksont définies de « manière naturelle »
– On additionne deux par deux les contenus des cases occupant la même position.
– On multiplie park le contenu de chaque case.
Prouve que si k est un réel et si C
1et C
2sont deux super-grilles, alors C
1+ C
2et kC
1sont des super-grilles.
6. Super-grilles ou non ?
Les ébauches suivantes définissent-elles des super-grilles ?
0 1
6 7 4
2 3
5
6 -16 -4 -1/2
1 10 20
90 13
7. Construire des super-grilles
Combien de nombres faut-il donner pour construire une super-grille ? Peut-on les placer n’importe où ?
