Moyenne µ
SBPMef Losanges
2009
N o 4
Nombres complexes – Moyenne, Points – Barycentre (5)
Définition des grilles en croix et des super-grilles
b m d
a
c
Nous appellerons « grille en croix» toute figure de ce type dans laquelle
m= a+b+c+d 4 .
-4-3i 2+i
-4+i
2-3i
Grille_1
Complète la grille en croix.
Dans les super-grilles, nous pouvons dis- tinguer quatre grilles en croix, le nombre situé au centre de chacune d’elles étant la moyenne arithmétique des contenus des quatre carrés adjacents.
a b
c d f e
g
h x y
t z
x= a+h+t+y 4 y= b+x+z+c
4 z =
t =
Complète les égali- tés.
1. Grille et super-grille à compléter
-1+i 1,5-i 4 5-3i
Grille_2
-30+6i -24+18i
30+6i
-24-12i
-6i -17+9,5i
-8,5+i -19,5-5,5i
2. Sommes « intérieure » et « périphérique »
Dans la super-grille complé- tée, compare la sommea+b+
c+d+e+f+g+hà la somme x+y+z+t.
Prouve cette propriété dans le cas général.
3. Nombres complexes et points
Choisis un repère orthonormé (1, i) dans le plan et représente les cinq points associés respective- ment aux cinq nombres de Grille_1, puis de Grille_2.
Situe le point « central » par rapport aux quatre points « périphériques ». Choisis d’autres points
« périphériques ». La propriété est-elle toujours vraie ?
4. Points et barycentres
m= a1+a2+· · ·+an
n est lamoyenne arithmétique des n nombres a1, a2, . . . , an.
Si P1, . . . , Pn etP sont les points associés respectivement aux nombres complexes a1, . . . , an et m, P est le barycentre de l’ensemble des Pi. Situe le point P par rapport à l’ensemble desPi. Dans ce cadre géométrique, revois la question 2. Extrais des calculs effectués précédemment plu- sieurs façons de construire le barycentre d’un quadrilatère, d’un octogone, etc.
