UNIVERSIT ´E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ee 2014/2015 Master 2 Math´ematiques Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique
Feuille d’exercices 7
Soitkun corps alg´ebriquement clos.
Exercice 1.SoitXun espace topologique de dimension finie. On suppose qu’on aX =Sl i=1Xi
avecXi⊂X ferm´e. Montrer qu’on a dimX = maxi=1,...,ldimXi.
Exercice 2. Soient X ⊂ kn et Y ⊂ kn des ensembles affines irr´eductibles, et soit W une composante irr´eductible deX∩Y. On veut montrer que
dimW ≥dimX+ dimY −n.
a) Montrer le r´esultat siY =V(f) avecf ∈k[X1, . . . , Xn] un polynˆome non-constant.
b) Soit
∆ :={(x, y)∈kn×kn |x=y}
la diagonale danskn×kn. Montrer queX∩Y est isomorphe `a (X×Y)∩∆.
c) Montrer que la dimension deX×Y est ´egale `a dimX+ dimY. Utiliser b) et a) pour conclure.
Exercice 3.
a) Montrer que le morphisme
ϕ:k3→k3, (x, y, z) 7→ (x,(xy−1)y,(xy−1)z) est surjectif, mais l’ensemble
V :={(x, y, z)∈k3| dimϕ−1((x, y, z))≥1}
n’est pas ferm´e pour la topologie de Zariski.
SoientX etY des vari´et´es alg´ebriques et soitϕ:X →Y un morphisme ferm´e surjectif.
b) Supposons que dimY = 1. Montrer que dimϕ−1(y) = dimX−1 pour touty∈Y. Supposons que dimY = 2. Montrer que
V :={y∈Y | dimϕ−1(y) = dimX−1}
est vide ou une union finie de points.
Exercice 4. On note par (x1, x2) les coordonn´es standards d’un point de k2 et (y1 : y2) les coordonn´ees homog`enes d’un point deP1. On consid`ere l’ensemble
X :={((x1, x2),(y1:y2))∈k2×P1 |x1y2=x2y1}.
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On v´erifie sans difficult´e que X est bien d´efinie, i.e. ne d´epend pas du choix des coordonn´ees homog`enes.
a) MontrerX est un ensemble alg´ebrique. Indication : regarder les ouvertsUi⊂k2×P1 d´efinis paryi6= 0.
b) On consid`ere l’application induite par la projection sur le premier facteur, donc l’application p:X →k2, ((x1, x2),(y1:y2)) 7→ (x1, x2).
Montrer que p est surjectif. Montrer que p−1((x1, x2)) est un point si (x1, x2) 6= (0,0) et p−1((0,0)). On appelle X l’´eclatement de k2dans l’origine.
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