Fig. 1: Théorème de Morley

Énoncé

L'objet de ce problème est de présenter quelques résultats relatifs aux trisectrices d'un angle. Les trisectrices sont les droites qui découpent un angle en trois angles égaux. On démontrera le théorème de Morley (g 1) et une propriété des cardioïdes (g 4).

Fig. 1: Théorème de Morley

Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthonormé direct qui permet de dénir l'axe complexe d'un point et le représentant d'un nombre complexe.

On utilisera très souvent la relation 1 + j + j ² = 0 avec j = e

Les nombres complexes a , b , c sont les axes de trois points A , B , C . Les nombres réels α , β , γ sont dans ]0, ^π ₃ [ et vérient

3α est une mesure de l'angle orienté ( − − → AB, −→

AC) 3β est une mesure de l'angle orienté ( − − →

BC, − − → BA) 3γ est une mesure de l'angle orienté ( −→

CA, − − → CB) Les nombres complexes u , v , w sont dénis par

u = e ^2iα , v = e ^2iβ , w = e ^2iγ

On dénit aussi les transformations complexes R a , R b , R c par R a (z) = u(z − a) + a R _b (z) = v(z − b) + b R c (z) = w(z − c) + c

Partie I : calculs préliminaires

1. Soit Z 1 , Z 2 , Z 3 trois points distincts d'axes z 1 , z 2 , z 3 tels que z ₁ + jz ₂ + j ² z ₃ = 0

Mettre sous forme trigonométrique les trois nombres complexes z ₁ − z ₂

z 3 − z 2

, z ₂ − z ₃ z 1 − z 3

, z ₃ − z ₁ z 2 − z 1

en déduire que le triangle (Z 1 , Z 2 , Z 3 ) est équilatéral.

2. Montrer que uv , vw , wu sont diérents de 1 et que uvw = j . 3. Mettre sous forme trigonométrique les deux nombres complexes

u(1 − v) 1 − uv , 1 − u

1 − uv

4. On considère trois nombres complexes p , q , r vériant les relations suivantes (1 − v)b + v(1 − w)c = p(1 − vw)

(1 − w)c + w(1 − u)a = q(1 − wu) (1 − u)a + u(1 − v)b = r(1 − uv) On pose

E = (1 − uv)(1 − vw)(1 − wu)(p + jq + j ² r) Montrer que

E = w

u j ² (u ³ − 1)a + u

v (v ³ − 1)b + v

w j(w ³ − 1)c

B

A

Fig. 2: Point xe de R a ◦ R b

Partie II : point xe de R a ◦ R b

On appelle point xe d'une transformation complexe f tout nombre complexe z tel que f (z) = z .

1. Caractériser les transformations géométriques associées aux transformations complexes R _a , R _b , R _c .

2. Montrer que R _a ◦ R _b a un unique point xe r vériant (1 − u)a + u(1 − v)b = r(1 − uv) Le représentant du complexe r est le point R .

3. En soustrayant (1 − uv)a de chaque côté de la relation précédente, préciser l'angle ( − − →

AB, −→

AR) .

4. Préciser de même l'angle ( − − → BA, − − →

BR) . 5. On dénit de même p , P , q , Q à partir de

R b ◦ R c (p) = p, R c ◦ R a (q) = q

Reproduire approximativement sur votre copie la gure 1 et placer les points P , Q , R .

A

B

C

A

Fig. 3: Image de A par R ³ _c

Partie III : conguration principale de Morley

1. a. Ici R ³ _c désigne R _c ◦ R _c ◦ R _c . Montrer que le représentant de R ³ _c (a) est le symétrique de A par rapport à la droite (BC) .

b. Montrer que R ³ _a ◦ R ³ _b ◦ R ³ _c est l'identité de C.

2. En déduire que

(1 − u ³ )a + u ³ (1 − v ³ )b + u ³ v ³ (1 − w ³ )c = 0

3. Démontrer que le triangle (P, Q, R) est équilatéral (théorème de Morley).

Partie IV : cardioïdes

Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Pour tout θ ∈] − π, π[ , on dénit C _θ : le point d'axe c _θ = 2e ^iθ .

E _θ : le cercle de centre C _θ et de rayon 1.

F(θ) est le point de E _θ tel que l'angle orienté ( −−→

C _θ O, − −−−− → C _θ F (θ)) = θ . f (θ) est l'axe de F(θ) .

S est le point d'axe s = 1 . M est le point d'axe m = ³ ₂ .

On peut considérer que F (θ) est un point d'un cercle de rayon 1 qui roule sans glisser (g 3) sur le cercle C .

1. Donner (sans justication) une construction géométrique de F (θ) à partir de C θ en

faisant intervenir la médiatrice de [O, C _θ ] .

Fig. 4: Cardioïde tritangente

2. Montrer que

f (θ) = 2e ^iθ − e ^2iθ 3. Étude de la courbe paramétrée

a. Comment est obtenu F (−θ) à partir de F (θ) ? b. Préciser f (0) , f ( ^π ₂ ) , f (π) , f ( ^π ₃ ) , f ( ^2π ₃ )

c. Mettre f (θ) − s et f

(θ) sous forme trigonométrique.

d. Montrer qu'il existe un seul point stationnaire à préciser. Quelle est la limite de la direction de la tangente en ce point ?

e. Étudier les variations des coordonnées de F (θ) .

f. Tracer le support de la courbe paramétrée. Cette courbe est appelée cardioïde de centre O .

4. On note T le point d'intersection de la tangente en F (θ) avec la droite d'équation x = ³ ₂ .

a. Montrer que

cos 3x = cos x(1 − 4 sin ² x) sin 3x = sin x(3 − 4 sin ² x)

θ

C _θ

F (θ) E θ

C

O

Fig. 5: Roulement sans glissement

b. Calculer l'ordonnées de T . On trouvera une expression très simple en fonction de

θ 2 .

c. Montrer l'égalité suivante entre les angles orientés : 3( −−→

T M , −→

T O) = ( −−→

T M , −−−−→

T F (θ))

Formuler une propriété relative au centre d'une cardioïde inscrite dans un angle

et bitangente à un côté.

Corrigé

Partie I

1. Dans la relation entre z 1 , z 2 et z 3 , on utilise successivement : j = −1 − j ² , j ² = −1 − j, 1 = −j − j ² On en déduit

z ₁ − z ₂ + j ² (z ₃ − z ₂ ) = 0, ^z _z

3−z2

= −j ² = e ⁱ

z 1 − z 3 + j(z 2 − z 3 ) = 0, ^z _z

1−z3

= −j

= e ⁱ

j(z 2 − z 1 ) + j ² (z 3 − z 1 ) = 0, ^z _z

2−z1

= −j

= e ⁱ

On en déduit que le triangle (Z 1 , Z 2 , Z 3 ) est équilatéral puisque ses trois angles sont égaux à ^π ₃ .

2. Les nombres α , β , γ sont dans ]0, ^π ₃ [ . Donc 2(α + β ) ∈]0, ^4π ₃ [ . Comme uv = e ^2i(α+β) et que ^4π ₃ < 2π , on obtient bien uv 6= 1 . De même pour uw et vw .

De manière analogue :

uvw = e ^2i(α+β+γ)

avec 3(α + β + γ) ≡ π (2π) donc α + β + γ = ^π ₃ et uvw = j . 3. Après calculs, on trouve

u(1 − v)

1 − uv = sin β sin(α + β) e ^iα u − 1)

1 − uv = − sin α sin(α + β) e

4. On multiplie respectivement les lignes dénissant p , q et r par 1 , j , et j ² et on les ajoute. On obtient :

(1 − uv)(1 − vw)(1 − wu)(p + jq + j ² r) = (1 − uv)(1 − wu)



(1 − v)

| {z }

b + v(1 − w)c





+(1 − uv)(1 − vw) [j(1 − w)c + jw(1 − u)a]

+(1 − vw)(1 − wu)



j ² (1 − u)a + j ² u (1 − v)

| {z } b





On regroupe deux par deux les 6 termes de cette somme. Par exemple ceux contenant (1 − v) :

b

(1 − uv)(1 − wu)(1 − v) + (1 − vw)(1 − wu)j ² u(1 − v)

= b(1 − wu)(1 − v)





 1 − uv + (1 − vw)j ² u

| {z }

=1−uv+j

u−uvwj

=u(j







= bu(1 − wu)(1 − v)u(j ² − v) = bu(1 − j

v )(1 − v)u(j ² − v)

= b u

v (v − j)(1 − v)(j ² − v) = bj ² u ² w(v ³ − 1) = b u

v (v ³ − 1) car uvw = j . On trouve de même :

a

(1 − uv)(1 − vw)jw(1 − u) + (1 − vw)(1 − wu)j ² (1 − u)

= a w

u j ² (u ³ − 1) c [(1 − uv)(1 − wu)v(1 − w) + (1 − uv)(1 − vw)j(1 − w)]

= c v

w j(w ³ − 1) On en déduit la formule demandée

E = u

v (v ³ − 1)b + w

u j ² (u ³ − 1)a + v

w j(w ³ − 1)c Partie II

1. Les transformations R a , R b , R c sont des rotations. Leurs centres sont respectivement les points d'axes a , b , c . Leurs angles sont respectivement α , β , γ .

2. En composant les rotations :

R a ◦ R b (z) = uv(z − b) + u(b − a) + a donc R _a ◦ R b (r) = r si et seulement si

(1 − uv)z = u(1 − v)b + (1 − u)a

Ceci prouve l'existence et l'unicité du point xe.

A α α

−β

−β

−β α

R

Fig. 6: R comme intersection de deux trisectrices

3. Comme l'énoncé nous l'indique, soustrayons (1 − uv)a de chaque côté de la relation précédente. On obtient :

(1 − uv)(r − a) = −u(1 − v)a + u(1 − v)b

d'où r − a

b − a = u(1 − v)

1 − uv = sin β sin(α + β) e ^iα On en déduit

( − − → AB, −→

AR) = α On obtient de manière analogue

r − b

a − b = 1 − u

1 − uv = sin α sin(α + β ) e

( − − →

BA, − − → BR) = −β

A

B

C R

P

Q

Fig. 7: Triangle (P QR)

4. De même le point xe P de R _b ◦ R _c est l'intersection de deux trisectrices issues de B et C , le point xe Q de R _c ◦ R _a est l'intersection de deux trisectrices issues de C et A . On en déduit la triangle (P QR) sur la gure.

Partie III

1. a. R ³ _c est la rotation de centre c et d'angle 6γ = 2( −→

CA, − − →

CB) . On en déduit que a

= R ³ _c (a) est le symétrique de A par rapport à (BC) .

b. R ³ _a ◦ R ³ _b ◦ R ³ _c est la rotation de centre C et d'angle 6(α + β + γ) = 2π . C'est donc

une translation ou l'identité. En fait c'est l'identité car le point A est xe.

R ³ _a ◦ R ³ _b ◦ R ³ _c (a) = R ³ _a ◦ R ³ _b (a

) = R ³ _a (a) = a 2. On déduit de la question précédente que R ³ _a ◦ R _b ³ ◦ R ³ _c (0) = 0 . Ceci s'écrit

(1 − u ³ )a + u ³ (1 − v ³ )b + u ³ v ³ (1 − w ³ )c = 0

3. Démonstration du théorème de Morley. On a vu que les intersections P , Q , R des trisectrices sont aussi des points xes pour des composées de rotations. Ils vérient donc les trois relations de la question I.3. On a montré alors

E = (1 − uv)(1 − vw)(1 − wu)(p + jq + j ² r)

= w

u j ² (u ³ − 1)a + u

v (v ³ − 1)b + v

w j(w ³ − 1)c

En utilisant systématiquement j = uvw , on chasse les j de l'expression précédente, on tombe alors sur la quantité nulle de la question précédente. On en déduit que

p + jq + j ² r = 0 c'est à dire que P QR est équilatéral.

Annexe. Comment faire les gures du théorème de Morley ?

Il n'est pas possible de trisecter un angle à la règle et au compas. Les gures pour illustrer le théorème de Morley ne sont donc pas très faciles à tracer.

On peut utiliser un logiciel de géométrie plane.

On xe les points A et P et la droite qui porte B .

Cela détermine l'angle (P AB) . On en déduit deux autres angles égaux à celui là par symétrie axiale. On obtient donc en A un angle trisecté en trois angles égaux.

On choisit un point B arbitraire sur sa droite.

Cela détermine l'angle (ABP ) , on en déduit deux autres angles égaux par symétrie.

En B on a donc un angle trisecté en trois angles égaux.

Les points C et Q sont alors déterminés. On reproduit par symétrie l'angle (BCQ) . On dispose donc d'un angle trisecté en C . sa droite extérieure est en pointillé sur la gure.

En déplaçant le point B sur sa droite, on peut faire coïncider cette droite en pointillé avec (AC) . On se trouve alors dans la conguration du théorème.

A

B

P

C Q

Fig. 8: Tracé des gures pour le théorème de Morley