Correction du DM du jeudi 26 avril 2012 TMIC

Corrigé

DM TMIC du jeudi 26 avril 2012

Partie A : étude d'une fonction 1. ^lim

x∞x 1

2



e^x1



^=∞ car lim_{x ∞}x=∞, lim_{x ∞}e^x=∞ et _x∞^lim ₂e^1x1⁼⁰. ^lim

x ∞x 1

2



e^x1



^{= ∞} car lim_{x ∞}x= ∞, lim_{x ∞}e^x=0 et ^lim

x ∞

1 2e^x1⁼

1 2.

2. a) _x∞^{lim fx x} = ^lim

x∞

1

2



e^x1



⁼⁰ donc la droite ^D1 d'équation y=x est asymptote à la courbe c au voisinage de ∞.

b) ^f x x = ¹

2



e^x1



> 0 donc la courbe c est au-dessus de la droite ^D1. 3. a) L'abscisse de I est x – x = 0, son ordonnée est f(0) = ¹₄ donc I( 0 ; ¹₄ ).

b) Le milieu est fixe donc la courbe c admet un centre de symétrie.

4. a) ^x1 2

e^x

2



e^x1



^{= x}

e^x1 2



e^x1



e^x

2



e^x1



^{= x+}

1

2(e^x+1) ^{= f(x).}

b) ^lim

x ∞



^fx



^x12



⁼ x ∞^lim



²



^eexx1

 

= 0 car lim_{x ∞}e^x=0 donc la droite ^D2 d'équation ^y=x1 2 est asymptote à la courbe c au voisinage de ∞.

c)



^fx



^x12



⁼ 2



^eexx1



> 0 donc la courbe c est au-dessus de la droite ^D2.

5. Soit ^{f '} la dérivée de ^f. f 'x=1 2 e^x



2



e^x1

 

^{2 =}



2



e^x1



²

4



e^x1



²

2 e^x 4



e^x1



^{2 =}

4 e^{2 x}8 e^x4 4



e^x1



²

2 e^x 4



e^x1



^{2 =}

4 e^{2 x}6 e^x4 4



e^x1



^{2 =}

2 e^{2 x}3 e^x2 2



e^x1



^{2 .} Le dénominateur est strictement positif.

La dérivée est du signe du numérateur.

On pose X = e^x.

On résout 2X² + 3X + 2 = 0.

∆ = 9 – 4 × 4 = - 7.

Le numérateur est de signe constant, c'est à dire positif car le coefficient de X² est positif.

Pour tout réel x , f 'x0.

x – ∞ + ∞

f '(x) +

f(x) – ∞

+ ∞

6. Tracer ^D1, D₂ et c dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; ^i ,j) d'unités graphiques 4 cm.

Partie B : calcul d'une primitive Soit g la fonction définie sur Y par :

1. ^e

x

2



^{1e x}



⁼

e ^x×e^x 2



^{1e x}



^{×ex =}

1

2



e^x1



^{= g(x).}

2. On reconnaît une forme u ' u .

On pose u(x) = 2



1e ^x



et on a u' (x) = 2 e ^x. g(x) = - 1

2 × ₂



1e^{2 e xx}



G(x) = - 1

2 ln(2(1+e ^x)) est une primitive de g sur Y. 3. Voir courbe.

4. A =

∫

0 2

(x+ 1

(2(e^x+1)))d x =

∫

0 2

(x+g(x))d x = ( 2²

2 + G(2)) – ( 0²

2 + G(0)) = 2 – 1

2 ln(2(^{1+e 2})) + 1

2 ln(2(^1+e0)) = 2 – 1

2 ln(2(1+e ²)) + ln(2) ua or 1 ua = 4 × 4 cm² donc A = 32 – 16 ln(2(^{1+e 2})) – 16 ln(2) ≈ 36,53 cm².