DM TMIC logarithme népérien

(1)

Corrigé

PARTIE A

g(x)=x²+3 2 ln x . ]0 ;+∞[

1. a) g est dérivable sur I. g '(x) = 2x – 2

x = 2 x² 2

x = 2(x 1)(x+1)

x .

Pour x ∈ I, x > 0 et x + 1 > 0 donc g '(x)est du signe de x – 1.

Pour x ∈ ] 0 ; 1 [ , g '(x) < 0 et pour x ∈ ] 1 ;+∞[ , g '(x) > 0.

b) g est donc strictement décroissante sur ] 0 ; 1 [ et strictement décroissante sur ] 1 ;+∞[ . 2. g(1) = 1² + 3 – 2 ln(1) = 4 donc g(x) > 0 pour tout x appartenant à l'intervalle I.

PARTIE B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle I par : f(x)=1

2x 1

2 x+ln x x .

On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I et c la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d'unités graphiques 2 cm.

1. a) lim

x→0

x>0

f(x) = - ∞ car lim

x→0

x>0

1

2x = 0 et lim

x→0

x>0

2 ln(x) 1

2 x = - ∞. La courbe c admet une asymptote verticale d'équation x = 0.

b) lim

x→+∞

f(x)= + ∞ car lim

x→+∞

1

2x = + ∞, lim

x→+∞

1

2 x = 0 et lim

x→+ ∞

ln(x) x = 0.

2. a) f est dérivable sur I, f '(x)=1

2+ 1 2 x²+

1

x×x 1×ln(x)

x = 1

2+ 1

2 x²+1 ln(x)

x = x² 2 x²+ 1

2 x²+2 2 ln(x)

x = g(x) 2 x² . b) g(x) > 0 et 2x² > 0 pour tout x appartenant à I donc f '(x) > 0 sur I donc f est strictement croissante sur l'intervalle I.

c) Tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.

x 0 + ∞

f(x)

– ∞

+ ∞

(2)

3. Soit d la droite d'équation y=1 2 x . a) lim

x→+ ∞

(

^f ⁽^x⁾ ¹2 x

)

^{= lim}x→+ ∞

(

2 x¹ +ln x

x

)

= 0 donc la droite d est asymptote à la courbe c au voisinage de + ∞.

b) Soit E le point d'intersection de la courbe c et de la droite d. Je résous f(x)=1

2x ⇔ 1 2 x+ln x

x =0 ⇔ 2 ln x 1

x =0 ⇔ 2 ln x 1=0 ⇔ ln x = 1 2 ⇔ ln x = 1

2 ln e ⇔ ln x = ln

√

^e⇔ x =

√

^e

f(

√

^{e ) =}

√

^e

2 – 1 2

√

^e ⁺

ln

√

^e

√

^e ⁼

e 2

√

^e ^–

1 2

√

^e ⁺

1 2

√

^e ⁼

e 2

√

^e ⁼

√

^e

2 donc E(

√

^{e ;}

√

^e

2 ).

c) Pour déterminer la position relative de la courbe c par rapport à la droite d ,j'étudie le signe de f(x) 1

2x . f(x) 1

2x = 1 2 x+ln x

x = 2 ln x 1

2 x donc f(x) est du signe de 2 ln x – 1.

2 ln x – 1 > 0 ⇔ ln x > 1

2 ⇔ ln x > 1

2 ln e ⇔ ln x > ln

√

^e⇔ x >

√

^e

donc la courbe c est au dessus de d sur ]

√

^{e ; +}^∞ [ et est au dessous de d sur ] 0 ;

√

^{e [ .}

4.