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èmeDM n°6 : Symétrie Axiale
CORRECTION 1. Rosaces et Frises
a) La séquence ci-dessous montre la construction d'une rosace a quatre axes de symétrie concourants (en rouge).
Le motif élémentaire est formé de deux segments et deux demi-cercles (en noir). Reproduit par les symétries, ce motif donne la rosace. Le 1er coloriage proposé conserve la symétrie tandis que le 2d en détruit une partie.
Tracer une rosace originale ayant quatre axes de symétrie et un motif élémentaire formé de quatre éléments (segments ou demi-cercles, au moins un de chaque). Colorier la rosace obtenue en conservant la symétrie.
Voici quelques propositions réalisées avec un petit programme mais on peut faire aussi bien avec GeoGebra ou même, avec juste un crayon, une règle, un compas et beaucoup d'huile de coude comme disait mon grand-père...
b) La séquence ci-dessous montre la construction d'une frise ayant un axe horizontal et une infinité d'axes verticaux (en rouge). Le motif élémentaire est formé de quatre éléments (en noir) : deux segments et deux demi-
cercles. Reproduit par symétrie, ce motif donne la frise. Le coloriage conserve ici la symétrie.
Tracer une frise originale ayant les mêmes éléments de symétrie, avec un motif élémentaire formé de quatre éléments (segments ou demi-cercles, au moins un de chaque). Colorier la frise obtenue en conservant la symétrie.
Même remarque que précédemment. Pour qu'une figure soit vraiment un frise il faut qu'on voie la répétition du motif car un seul motif avec deux axes de symétrie perpendiculaires est une rosace, et non une frise... Dans mon
exemple ci-dessus, j'ai pris soin de colorier la répétition de deux « rosaces » et non une seule, pour cette raison.
2. Tangram
Le Tangram est un puzzle géométrique dont les sept pièces peuvent être découpées dans deux carrés de côté 2.
En assemblant les sept pièces d'une autre façon, on peut réaliser beaucoup de formes dont quelques millions de polygones sur quadrillage (les sommets des pièces sont sur les intersections d'un quadrillage, voir la figure).
Règles d'assemblage :
Les sept pièces sont employées, chacune une fois et une seule
le polygone obtenu est en un seul morceau, avec ou sans trou
les pièces ont toujours tous leurs sommets sur les intersections du quadrillage
les pièces s'assemblent par un côté ou une partie de côté, jamais seulement par un sommet
a) Formes pleines : Trouver douze formes pleines (sans trou) ayant au moins un axe de symétrie.
Dessiner le contour des pièces à la règle, en s'aidant du quadrillage du papier, comme sur la figure du haut.
Chacune des douze formes doit avoir un nombre de côtés différent et respecter les règles d'assemblage ci-dessus.
Tracer en rouge le ou les axes. Indiquer, pour chaque forme, le nombre de côtés et le nombre d'axes de symétrie.
J'ai surligné en jaune tout ce qui est demandé car il y a beaucoup de choses différentes.
Voilà une proposition qui répond à toutes ces demandes.
L'idée de ma sélection est de donner, parmi toutes celles qui ont le même nombre de côtés, la figure qui a le plus d'axes de symétrie. En dessous des figures sélectionnées, j'ai inscrit leur nombre de côtés et aussi j'ai retracé la figure sans les bords intérieurs pour faire mieux ressortir la symétrie de la silhouette. J'ai colorié ces silhouettes selon leur nombre d'axes de symétrie (rouge : 4 axes ; violet : 2 axes ; bleu : 1 axe). Au fait, cela fait seize figures au total et non douze. J'ai utilisé pour ces figures l'excellent programme de S.Antoy qui permet de jouer au Tangram et à d'autres jeux du même genre sur l'ordinateur.
b) Formes trouées : Trouver et dessiner, de même, six formes ayant un trou et un axe de symétrie.
Ici aussi, chacune doit avoir un nombre de côtés différent.
Ici, on trouve dix nombres de côtés différents, je vais donc sélectionner dix figures, comme précédemment.
Pour info : voici le nombre de solutions
symétriques (centres de symétrie compris) Côtés Tangrams pleins Tangrams baie Tangrams trou Total par côtés 4 axes 2 axes 1 axe
total 1884 88 50 2022 1 9 1082
