Feuille d’exercices n˚13 Variables al´ eatoires finies

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚13 Variables al´ eatoires finies

Exercice 180 : On consid`ere 4 lettres et les 4 enveloppes correspondantes. On met au hasard les 4 lettres dans les enveloppes et on d´efinit la variable al´eatoireX ´egale au nombre de lettres qui atteindront leur destinataire.

1. D´eterminer la loi deX. 2. D´eterminer l’esp´erance de X.

Exercice 181 : On lance un d´e `a 4 faces num´erot´ees de 1 `a 4. La probabilit´e de chacune des faces est proportionnelle au num´ero qu’elle porte. On appelleX la variable al´eatoire ´egale au nombre obtenu.

1. D´eterminer la loi deX. 2. D´eterminer l’esp´erance de X.

3. D´eterminer la variance deX. 4. D´eterminerE

1

X

.

Exercice 182 : On jette un d´e jaune et un d´e rouge. On noteXj la variable al´eatoire ´egale au nombre de points du d´e jaune etXrla variable al´eatoire ´egale au nombre de points du d´e rouge. On poseZ = Max(Xj, Xr).

1. D´eterminer la loi deZ. 2. D´eterminer l’esp´erance de Z.

3. D´eterminer la variance deZ.

F Exercice 183 : On jette trois d´es simultan´ement.X d´esigne la variable al´eatoire qui donne le maximum des trois nombres amen´es par les d´es.

1. Quelles sont les valeurs prises parX? 2. D´eterminer la fonction de r´epartition deX. 3. En d´eduire la loi deX.

F Exercice 184 : Trois mendiants sont install´es sur le parvis de Notre Dame. Les passants qui versent une obole la donnent au hasard `a un des trois comp`eres. Au bout denaumˆones, on noteX le nombre de s´ebiles vides.

(On suppose que les s´ebiles ne contiennent que les dons des passants et que les mendiants ne les vident pas.) 1. D´eterminer la loi de probabilit´e deX.

2. CalculerE(X).

Exercice 185 : On lance une fois un d´e non truqu´e `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6.

1. SoitX la variable al´eatoire ´egale au chiffre obtenu. Quelle est la valeur moyenne deX? 2. On suppose qu’on re¸coit :

• 15 euros si on obtient 1 ;

• rien si on obtient 2, 3 ou 4 ;

• 6 euros si on obtient 5 ou 6.

SoitGla variable al´eatoire ´egale au gain de ce jeu. Quelle est la loi de G? Que vaut le gain moyen ?

1

3. On suppose maintenant qu’on re¸coit :

• 27 euros si on obtient 1 ;

• rien sinon.

Pr´ef´erez-vous jouer au jeu de la question pr´ec´edente ou `a celui-ci ? Pourquoi ?

4. On demande maintenant de miser 3 euros pour jouer au jeu de la question 2 dans lequel les gains ont ´et´e divis´es par 2. Quelle est l’esp´erance de votre gain net ?

Exercice 186 : Soitn∈N^≥2. Soit k∈J1, n−1K. Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `an. On effectue ktirages sans remise. Soit X la variable al´eatoire ´egale au plus grand num´ero tir´e.

1. Soitm∈Jk, nK. Calculer P(X ≤m).

2. D´eterminer la loi deX et son esp´erance.

Exercice 187 : Un forain poss`ede deux roues s´epar´ees en 10 secteurs ´egaux. Sur la premi`ere roue il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs et sur la deuxi`eme, 1 vert et 9 blancs. Un joueur lance les deux roues en mˆeme temps. Les gains sont distribu´es de la fa¸con suivante :

• 3 euros si la premi`ere roue tombe sur le secteur rouge et la deuxi`eme sur le secteur vert ;

• 1 euro si une seule des deux roues tombe sur un secteur blanc ;

• 0,5 euro si les deux roues tombent sur des secteurs blancs.

D´eterminer la mise minimale que doit exiger le forain pour que son b´en´efice moyen soit d’au moins 25 centimes d’euro par partie.

Exercice 188 : Soitk∈N^∗. SoitkurnesU1, . . . ,Uk. Pour touti∈J1, kK, l’urneUi contientiboules blanches etk−iboules noires. On choisit une urne au hasard, de laquelle on tire une boule. SoitX la variable al´eatoire

´

egale au num´ero de l’urne sachant que la boule tir´ee est blanche. D´eterminer la loi deX, son esp´erance et sa variance.

Exercice 189 : Dans chacune des exp´eriences qui suivent, reconnaˆıtre la loi deX, calculer sont esp´erance, sa variance et la probabilit´e demand´ee.

1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’objets dans le premier tiroir et on s’int´eresse `aP(X = 20) etP(X = 10).

2. Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de bosses et on s’int´eresse `aP(X= 1).

3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l’alphabet. On en tire 5 au hasard que l’on aligne afin de former un mot de 5 lettres. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de voyelles dans ce mot et on s’int´eresse `a P(X = 1).

4. Un ´elevage piscicole de 10 000 poissons contient 3000 truites et 7000 carpes. On pr´el`eve au hasard 100 poissons dans cet ´elevage. SoitX la variable al´eatoire ´egale au nombre de truites pr´elev´ees. On s’int´eresse

`

a P(X = 0).

5. Anne demande `a Nathalie de lui donner un nombre entier au hasard entre 0 et 100. Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre donn´e. On s’int´eresse `a P(25≤X≤75).

6. On plante au hasard 50 fleurs dans 4 massifs. On noteX la variable al´eatoire ´egale au nombre de fleurs dans le premier massif. On s’int´eresse `aP(X = 25).

7. Dans la mangeoire d’un cheval, il y a deux types de granul´es : 2000 de couleur verte qui sont des nutriments et 50 de couleur jaune qui sont des m´edicaments. Tous les granul´es sont m´elang´es dans la mangeoire. Le cheval mange en une seule fois 30 granul´es. SoitX la variable al´eatoire ´egale au nombre de granul´es jaunes ing´er´es. On s’int´eresse `aP(X >0).

8. Un enclos contient 15 lamas, 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au hasard. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de bosses et on s’int´eresse `aP(X = 0).

9. On suppose que 1% des tr`efles ont 4 feuilles. On cueille 100 tr`efles. On noteX la variable al´eatoire ´egale au nombre de tr`efles `a 4 feuilles cueillis et on s’int´eresse `aP(X >0).

10. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe compos´e de 5 hommes et 4 femmes.

On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de femmes dans ce jury et on s’int´eresse `a P(X = 3).

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Exercice 190 : On consid`ere un point M se d´epla¸cant sur un axe d’origine O, en partant deO et par saut d’une unit´e vers la droite avec probabilit´epet vers la gauche avec probabilit´eq(p∈]0,1[ etp+q= 1), les sauts

´

etant suppos´es ind´ependants. Le pointM faitnsauts (n∈N).

1. SoitYnla variable al´eatoire ´egale au nombre de sauts vers la droite. D´eterminer la loi deYn, son esp´erance et sa variance.

2. SoitXn la variable al´eatoire ´egale `a l’abscisse du point M apr`es lesnsauts.

(a) ExprimerXn en fonction deYn. (b) D´eterminerXn(Ω).

(c) Donner la loi deXn, son esp´erance et sa variance.

3. Quelle est la probabilit´e que le pointM soit revenu `a l’origine apr`es lesnsauts ?

Exercice 191 : SoitX une variable al´eatoire r´eelle suivant une loi binomialeB(n, p). Les r´esultats deX sont affich´es sur un compteur d´efectueux.

• Si X(ω)6= 0, alors le compteur afficheX(ω).

• Si X(ω) = 0, alors le compteur affiche un nombre entier au hasard entre 1 etn.

SoitY la variable al´eatoire ´egale au nombre affich´e sur le compteur.

1. D´eterminer la loi deY. 2. CalculerE(Y).

3. Montrer queE(Y)≥E(X).

F Exercice 192 : On consid`ere une population de 2ⁿ vaches susceptibles, avec la probabilit´ep, d’ˆetre porteuses d’un virus donn´e. On dispose d’un test d´etectant, de fa¸con certaine, ce virus dans le lait des vaches. On fixe k ∈J0, nK. On partitionne les vaches en 2^n−k groupes de 2^k vaches. On m´elange leur lait, on fait un test sur chacun des m´elanges, puis on effectue un test sur chacune des vaches des groupes contamin´es. On note Yk le nombre de groupes malades etXk le nombre de tests effectu´es.

1. Exprimer Xk en fonction deYk,ket n.

2. D´eterminer la probabilit´e qu’un groupe donn´e soit contamin´e.

3. Donner la loi de Yk et son esp´erance.

4. Donner l’esp´erance deXk.

5. On suppose quen= 10 et p= 0,01. D´eterminer la meilleure valeur dek.

Exercice 193 : On dispose d’une boˆıte contenant trois objets appel´es A, B et C. Un jeu consiste en une succession de tirages d’un objet, avec remise dans la boˆıte apr`es chaque tirage. `A chaque tirage, le joueur gagne un euro s’il tire l’objetA, ne gagne ni ne perd rien s’il tire l’objetB et perd ce qu’il a gagn´e pr´ec´edemment s’il tire l’objetC. Pour toutn∈N^∗, on noteX_n la variable al´eatoire ´egale au gain du joueur, `a l’issue dentirages.

1. D´eterminer les lois deX1et de X2.

2. CalculerP(Xn =n) en fonction de n, pour toutn∈N^∗.

3. ExprimerP(Xn+1= 0) en fonction deP(Xn= 0), pour toutn∈N^∗, et en d´eduire la valeur deP(Xn= 0) en fonction den.

4. Soient aetndeux entiers naturels non nuls. Montrer l’´egalit´e suivante :

P(Xn+1=a) = 1

3P(Xn=a) +1

3P(Xn=a−1).

5. Trouver une relation entre E(X_n) et E(X_n+1), pour tout n ∈ N^∗, et exprimer E(X_n) en fonction de n∈N^∗.

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