Solution de la question 637

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Solution de la question 637

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 2 (1863), p. 184-189

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SOLUTION DE LA QUESTION 637

PAR M. GR.... (POITIERS.)

Soient : ,r⁰, j^{Q 9} z⁰ les coordonnées du point fixe de la face opposée au sommet libre 5 xu /t, zt ; xt, y^

z^t\ x^y*, z± celles des trois autres points fixes5 X = a{ x 4- àt f -i- c{ z -+- dl9

Y = a7 x - h b7 y 4 - c3 z -4- </2,

trois polynômes qui égalés à zéro donneront les équations des trois plans fixes. Je représenterai le résultat de la substitution, dans un de ces polynômes, des coordonnées

d'un point, en donnant l'indice commun de ses coordonnées à la lettre qui représente ce polynôme.

Cela posé, soit

l'équation admettant équations

d'un plan quelconque passant par le point (0)5 les trois autres faces d'un tétraèdre ce plan pour base, et construit d'après les conditions de Fénoncé, ont évidemment pour

l(x — xt) •+• ft f y — y 0) + i^{){Z — Zo)}

»{*. — «.) x, '

Y

z

— j?0) •+• f* ( / 3 — r 0 ) 4 - v (z3 — zo)

II suffit équations

d'éliminer X, /x, v entre ces trois équations pour avoir Téquation du lieu; mais ces étant homogènes et du premier degré, il suffit pour cela d'égaler à o le déterminant

— .ro)X1-(.r1-- *.)X ( r — r . ) X , — ( / , — r , ) X (z — z0) X, - [z{ - zo) - r^o)Y² — ( * , - * . ) Y ( r - r o ) Y²- ( j²- 7 o ) Y ( z ^^{2 o}) Y²- ( z²- 2⁰) r - x⁰) Z³ - (^3 — *o) Z (/ — ro) Z³ - ( j³ — jo)Z (3 — z⁰) Z³ - (z³ - «a)

ss* o.

( '86 )

Cette équation montre déjà que le lieu est du troisième degré et passe par les points (i), (2), (3) -, mais elle peut considérablement se simplifier. Chaque terme étant la k

somme de deux quantités, il suffit de développer par lignes; on obtiendra ainsi huit déterminants en prenant chacun des termes d'une ligne avec ceux d'une autre;

mais quatre de ces déterminants sont nuls, comme ayant deux ou trois lignes égales. Il restera

X.YZ

• Y2XZ

+ Z3XY

XYZ

J"j XQ X[ — .r0

X, — X, X2 — 3 0

.T*| —— .^*Q

y — j o J * — J o

j j jo

J Jo J3 Jü Ji —Jo

J—Jo y 1 j o

x1 — ,T0 y 2 — y 0

• } 0

Z —— ^o Z2 Zo

Zf —~- Zp

Z Z j Z| Zo Z j — Z#

z3 - z9

ou, plus simplement,

(0

X,YZ

J o Z0

X J

Jo 2a

J. z, J ^z

— XYZ

^0 J ü

**• I J \

x y K J3 X* Jo

J 3

= 0.

Il est facile d'étudier les sections de cette surface par

les plans principaux qui se présentent naturellement dans le problème :

i° Par l'un des plans fixes donnés; soit Z = o.

L'équation (i) se décompose alors en

Jo S«

==z o, z2

y

ce qui mon ire que les droites résultant des intersections des plans fixes entre eux, et de chacun d'eux avec le plan passant par le point (o) et les deux points situés dans les faces dont aucune arête n:est dans le plan considéré, que ces droites, dis-je, sont sur la surface.

2° Par le plan (o, i, 2) ou

I .r, xi *•

I j»3 X2 zi

1 x x z

On a Z = o et une courbe du second ordre

X,Y

dont on connaît cinq points (1, 2 et les trois intersections entre elles des traces des plans fixes donnés sur le plan en question).

On peut aussi examiner ce que devient la surface dans divers cas particuliers.

Particulièrement, supposons que les quatre points fixes donnés soient dans un même plan : le tétraèdre formé avec ces quatre points comme sommets est nul \ par suite

I I 1 I

•To J o .x X

*2 y 2

x* y*

Zo

Z Z-2 Z3

H-YX

1 1 ï 1

x0

x{ X

.r3

Jo J . y

r3 Zo S |

z zz

X Y

t Xo Xo 1 '1 Ji

1 x% x*

l *3 J3

z z z.

i88 ) le déterminant

i .Xff ya z0

i xx jrt z,

i x* y* z,

* ^ 3 J3 Z3

qui en exprime le volume à un facteur constant près, est nul.

Les trois autres déterminants exprimant, au même facteur constant près, les volumes de tétraèdres ayant leur sommet au point décrivant le lieu, et leurs bases sur le plan des quatre points fixes, sont proportionnels aux produits de la perpendiculaire P abaissée de ce point sur le plan des points fixes, par les surfaces des triangles qui forment les bases de ces tétraèdres. Je désignerai ces bases en mettant entre parenthèses les in- dices des sommets; l'équation de la surface s'écrit donc

P[Xt(o, 2, 3)YZ + Y2(o, i,3)XZ-hZ3(o, i,2)XY] = o.

On parvient à la même équation en remarquant que chacun de ces déterminants égalé à o donne l'équation du plan des points fixes. Ces polynômes sont donc égaux au produit de la perpendiculaire déjà désignée par P par la racine carrée de la somme des carrés des coefficients des variables, c'est-à-dire par

et le théorème des projections des surfaces montre que ce radical est égal à (o, 2, 3).

La perpendiculaire, P, égalée à o donne le plan des points •, et le second facteur de l'équation, une surface co- nique du second degré, si les trois plans fixes se coupent

en un même point} sinon, il faut que l'un des plans soît parallèle à l'intersection des deux autres, et, en substi- tuant à Z, X-+-Y-ha, on reconnaît que la surface est un cylindre. Cette substitution n'abaisserait pas le degré de l'équation générale.