Sous-groupes maximaux de groupes classiques associés aux C*-algèbres

S O U S - G R O U P E S M A X I M A U X DE G R O U P E S C L A S S I Q U E S

A S S O C I E S AUX C* ALGEBRES

T h è s e p r é s e n t é e à l a F a c u l t é d e s S c i e n c e s

de l ' U n i v e r s i t é de N e u c h â t e l

pour o b t e n i r l e g r a d e de d o c t e u r e s s c i e n c e s

p a r

Sylvie Grienet

IMPRIMATUR POUR LA THÈSE

Sous-grpupes[,,maximaux ...de...groupes...classiques..

. associés...aux .C*.-.a.lgè.b.res.

de M lie.Sylvie. Griener

UNIVERSITÉ DE NEUCHATEL

FACULTÉ DES SCIENCES

La Faculté des sciences de l'Université de Neuchâtel,

sur le rapport des membres du jury,

.Messieurs,.A.,.. Robert...R,....Bader.et

..£.,....de....la...Harpe.. (Genève).

autorise l'impression de la présente thèse.

Neuchâtel, le 19 ..novembre..19.8.5

Le doyen :

T A B L E DES M A T I E R E S I N T R O D U C T I O N 3 C H A P I T R E 1 : Q U E L Q U E S S O U S - G R O U P E S M A X I M A U X DU G R O U P E DES I N V E R S I B L E S D'UNE C * - A L G E B R E 9 1.1. L e i n e s p r é l i m i n a i r e s 9 1.2. M a x i m a l l t é de c' 11 1.3. E t u d e des normal 1 sateurs 12

1.4. M a x i m a l l t é de N,(G ) l o r s q u e p^vq 15 1.5. Une g é n é r a l i s a t i o n aux C - a l g è b r e s non s i m p l e s 17

C H A P I T R E 2 : Q U E L Q U E S S O U S - G R O U P E S M A X I M A U X DU G R O U P E U N I T A I R E D'UNE C - A L G E B R E A . F . OU D'UN F A C T E U R

19

2 . 1 . L e m m e s p r é l i m i n a i r e s 20 2 . 2 . S o u s - g r o u p e s m a x i m a u x du g r o u p e u n i t a i r e d'un f a c t e u r 23 2 . 2 . 1 . E t u d e du no r u a i i s a t e u r de U„ 24 2 . 2 . 2 . Maxlraalité de NU( U * ) l o r s q u e p ~ q 25 2 . 2 . 3 . M a x i m a l l t é de U l o r s q u e prfi q 28 2 . 3 . S o u s - g r o u p e s m a x i m a u x du g r o u p e u n i t a i r e d ' u n e C - a l g è b r e A . F . simple 31

2 . 3 . 1 . M a x i n a l l t é de NU( U ) l o r s q u e pA/q 2 . 3 . 2 . M a x l m a l i t é de u " l o r s q u e p /f q it 2 . 4 . Une g é n é r a l i s a t i o n de 2.3 aux C - a l g è b r e s A . F . non simples 32 38 42 C H A P I T R E 3 : POSITION DU G R O U P E U N I T A I R E DANS LE G R O U P E DES I N V E R S I B L E S D'UN FACTEUR OU D'UNE

C * - A L G E B R E A.F

43

3 . 1 . E t u d e du normal Isa teur de U dans G 3 . 2 . Lemme s p r é l i m i n a i r e s 3 . 3 . M a x l m a l i t é de Nfi(C(l)+K)) dans le g r o u p e des I n v e r s i b l e s d'un f a c t e u r 3 . 4 . M a x l m a l i t é de N , ( U ) dans le g r o u p e des é l é m e n t ! i n v e r s i b l e s d'une C - a l g è b r e U . H . F . 43 44

47

52

S Y M B O L E S ET N O T A T I O N S

59

B I B L I O G R A P H I E

61

INTRODUCTION

E.B.Dynkln est l'un des Initiateurs de la description

des sous-groupes maximaux des groupes classiques comme

GL

n

(C) et I)

n

(D ( (Dy] ) . Cet auteur étudie les

sous-groupes maximaux réductibles ou Irréductibles des

groupes de Lie classiques à l'aide de techniques utilisant

la flnltude de la dimension de l'espace sous-jacent.

Solent A une C -algèbre avec unité, G » GL(A) (resp.

o

U » U(A) ) la composante connexe neutre du groupe formé des

éléments Inversibles (resp. unitaires) de A. Dans ce

travail nous nous sommes Intéressés à montrer la maxlmalitè

de sous-groupes paraboliques et de certains sous-groupes

irréductibles de G et de U.

Plus préclsément

t

soient p et q deux projecteurs non

nuls de A de somme 1. On dit que deux projecteurs p et q

sont équivalents lorsqu'il existe v , w £ A avec p * Vw

1

q « wv, v - pvq et w " qwp.

Cette relation d'équivalence est notée P ^ q (sa négation

P ^ q )

Pour tout X d A nous a v o n s x - pxp + pxq + qxp t qxq ( l ' é c r i t u r e a été I n t r o d u i t e par C . S . P e l r c e en 1870) que /ec x - pxp, x - pxq, x - q x p , q x q . /*. X1X nous n o t e r o n s (

Dans le c h a p i t r e 1 nous é t u d i o n s des s o u s - g r o u p e s p a r a b o l i q u e s de C et d é m o n t r o n s :

T h é o r è m e 1.1 : Solent A une C - a l g è b r e simple avec u n i t é et p,q deux p r o j e c t e u r s non nuls de A, de somme 1. Alors G • j x € G | q x p - 0 , q x p - 0 | est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

R a p p e l o n s q u ' u n e C - a l g è b r e avec u n i t é est simple si elle ne p o s s è d e pas d ' i d é a l b i l a t è r e non t r i v i a l .

Soit 0^ . , l'autoraorphisme I n t é r i e u r de A d é f i n i p a r : od ( x ) - JxJ pour tout x ( A , oil J est !.'Involution p - q.

M

C o n s i d é r o n s les s o u s - g r o u p e s f o r m é s des p o i n t s fixes de

OCn:

G* • j x t C ;

Oi

( x ) » x |

u - c n u

D é s i g n o n s par N (G ) ( r e s p . N (U ) ) le n o r m a l i s a t e u r de G dans G ( r e s p . de U dans U ) . N o u 6 d é m o n t r o n s alors :

T h é o r è m e 1 .2 : Solent A une C - a l g è b r e s i m p l e avec u n i t é , p et q deux p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s de A de somme 1.

M « «

A l o r s G est d ' I n d i c e 2 dans N (G ) et N (G ) est un & 6 s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

Par c o n t r e lorsque les p r o j e c t e u r s p et q sont non é q u i v a l e n t s , N ( G ) - G ( P r o p . 1 . 1 ) est c o n t e n u dans le g r o u p e p a r a b o l i q u e G du t h é o r è m e 1.1 et n'est donc pas un s o u s - g r o u p e m a x i m a l de G.

Sl A est une C - a l g è b r e avec u n i t é , K un Idéal b l l a t è r e de A tel que A/K soit une a l g è b r e simple non n u l l e , TT la p r o j e c t i o n c a n o n i q u e A > A / K , nous d é f i n i s s o n s :

{ x t G ; q x p é K , qx'*p£ K j

[ x £C ;

0

^-(

3

O - » a ] ;

_{< -}

_<

_{A U} N, (G„ ) Ie nortnali8ateur de G dans G ;

V < > '

V

G

K

)rt

»

Les t h é o r è m e s 1.1 et 1.2 p e u v e n t se g é n é r a l i s e r c o m m e suit G é n é r a l i s a t i o n 1.1 : Solent A et K comme c i - d e s s u s , p et q deux p r o j e c t e u r s de somme 1 et n ' a p p a r t e n a n t pas à K. Alors G est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

G é n é r a l i s a t i o n 1.2 : Soient A, K, TT comme c i - d e s s u s , p et q deux p r o j e c t e u r s de A de somme 1 tels que TC ( p ) r\/ Tt ( q ) .

A l o r s C ? est d ' i n d i c e 2 dans N . ( G * ) et N ( G ? ) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

Dans le c h a p i t r e 2 nous nous I n t é r e s s o n s à la raaximallté du g r o u p e u n i t a i r e des p o i n t s fixes par 1 ' a u t o m o r p h l s m e

K M dans U.

R a p p e l o n s que si A est un facteur de type I , tous les autoraorphismes o( i n v o l u t l f s ( i . e . oi - 1) de A sont

c o n j u g u é s A des a u t o m o r p h i s m e s de la forme o/

M

((H] ,lemme 5) .

Une m o t i v a t i o n de ce travail était de c o m p r e n d r e la p o s i t i o n du g r o u p e des p o i n t s fixes par un autoraorphlsme lnvoltitlf ( m o d u l o les o p é r a t e u r s c o m p a c t s ) dans le g r o u p e u n i t a i r e d'un f a c t e u r de type I0 0 ,

Les t h é o r è m e s s u i v a n t s d o n n e n t en p a r t i c u l i e r une r é p o n s e à c e t t e q u e s t i o n :

T h é o r è m e s 2.1 et 2.2 : Solent M un f a c t e u r , p et q deux p r o j e c t e u r s non nuls de somme 1.

Sl p^,q : UK est d ' i n d i c e 2 dans N y ( U * ) et N1 4( U * ) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l du g r o u p e u n i t a i r e U de M .

Si p/pq : N^(U ) = U e s t un s o u s - g r o u p e maxltnal dans U

Nous d é m o n t r o n s aussi un r é s u l t a t a n a l o g u e l o r s q u e le f a c t e u r M est r e m p l a c é par une C - a l g è b r e A de type A . F .

R a p p e l o n s que A est A . F . ( a p p r o x i m a t e l y f i n i t e ) si A

es t la f e r m e t u r e n o r m l q u e d'une r é u n i o n c r o i s s a n t e d' * - s o u s - a l g è b r e s de d i m e n s i o n f i n i e .

T h é o r è m e s 2.3 et 2.4 : Soient A une C - a l g è b r e A . F . simple avec u n i t é , p et q deux p r o j e c t e u r s non nuls de A, de somme 1.

Si p «j q : U est d indice 2 dans N (U ) et N (U ) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l du g r o u p e u n i t a i r e U de M .

Une e x t e n s i o n des t h é o r è m e s c i - d e s s u s étant : C e n e r a i 1 s a t I o n 2.1 : Solent A, K, Tt d é f i n i s c o m m e a v a n t , p et q deux p r o j e c t e u r s de somme 1 a p p a r t e n a n t à A - K . Sl T î ( p ) ~ TT(q) : U * est d ' I n d i c e 2 dans N1 1( U ? ) «t NU( UK ) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans U. Sl TT(p) rp Tf (q) : N (U ) - U est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans U. Le c h a p i t r e 3 est c o n s a c r é à l'étude de la p o s i t i o n du g r o u p e u n i t a i r e dans le g r o u p e des é l é m e n t s I n v e r s i b l e s de c e r t a i n e s C - a l g è b r e s . F i n a l e m e n t d é f i n i s s o n s : G ( U + K ) - j x é G ; x - u + k avec u é. U et k < Kf , n o u s o b t e n o n s alors les r é s u l t a t s s u i v a n t s :

T h é o r è m e 3.1 Soit fac teur , a l o r s N ( G ( U + K ) ) - t G ( U + K ) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

T h é o r è m e 3.2 : Soit A une C - a l g è b r e U . H . F . ( u n i f o r m l y h y p e r f i n i t e ) avec u n i t é , a l o r s N ^ ( U ) - I U est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

Je tiens a r e m e r c i e r s i n c è r e m e n t toutes les p e r s o n n e s qui m ' o n t p e r m i s de m e n e r à bien ce travail de r e c h e r c h e .

M o n s i e u r le p r o f e s s e u r A . R o b e r t a porté une a t t e n t i o n toute p a r t i c u l i è r e à cette é t u d e ; l'Intérêt qu'il a m a n i f e s t é pour ce sujet m'a f o r t e m e n t e n c o u r a g é e .

M o n s i e u r le p r o f e s s e u r R . B a d e r s'est v i v e m e n t i n t é r e s s é à ce travail ; sa l e c t u r e a t t e n t i v e du m a n u s c r i t n'a b e a u c o u p a p p o r t é . Au c o u r s de f r u c t e u s e s d i s c u s s i o n s , M o n s i e u r P.de la H a r p e a su o r i e n t e r j u d i c i e u s e m e n t c e t t e r e c h e r c h e ; sa d i s p o n i b i l i t é a i n s i que ses n o m b r e u x c o n s e i l s m ' o n t été e x t r ê m e m e n t p r é c i e u x . Mes c a m a r a d e s O . B e s s o n , T . G i o r d a n o et C . S k a n d a l l s m ' o n t fait b é n é f i c i e r de leur e x p é r i e n c e et de leurs c o n s e i l s avec autant de p a t i e n c e que d ' h u m o u r .

Ce t r a v a i l a été r é a l i s é en p a r t i e g r â c e au s o u t i e n du Fonds n a t i o n a l s u i s s e de la r e c h e r c h e s c i e n t i f i q u e ( r e q u ê t e n 2 . 7 1 7 - 0 . 8 5 )

CHAPITRE 1

QUELQUES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DU GROUPE

DES INVERSIBLES D'UNE C*-ALGEBRE

1 . 1 LEMMES PRELIMINAIRES Lemme 1 . 1 : S o i e n t A u n e C - a l g è b r e a v e c u n i t é , p e t q d e u x p r o j e c t e u r s n o n n u l s d e somme 1 . P o s o n s G1 1- J X t G ; x - l é q A p ] , G - ? x e G ; x - 1 € pAq ^ , G - J X t G ; q x p - pxq - O j , a l o r s < G1 ,G1 , GJ> - G. P r e u v e : S o i t î €G a v e c I i - 1 II < -£- ; o n a q u i a p p a r t i e n t à <G^ ,G , G > . Le g r o u p e G é t a n t c o n n e x e n o u s o b t e n o n s l a c o n c l u s i o n c h e r c h é e .

Lemme 1.2 ; Solent B un anneau simple avec u n i t é , p et q deux l d e m p o t e n t e non nuls de B1 a l o r s qBp est non nul et

Off erf

simple comme B ft B - m o d u l e A g a u c h e ( B d é n o t e l'anneau o p p o s é ) .

R e m a r q u e s : (1) Sl B est une C - a l g è b r e simple a l o r s Bp l'est a u s s i .

( 2 ) Sl B est une C - a l g è b r e s i m p l e alors qBp est s i m p l e comme CL(B ) ® GL(B ) - m o d u l e à g a u c h e (car

0 tout élément de B est somme de deux é l é m e n t s de GL(B ) ) .

P r e u v e : SoIt I l'Idéal e n g e n d r é par p , comme B est s i m p l e nous avons I « B . Il e x i s t e donc a^ ,b; (i--l,..,N)

K) H

a p p a r t e n a n t à B tels que 1 - 2- a- pb- donc Oj* q - Z qa- pb; .

i = 4 is A K

Il e x i s t e a l o r s i £ J 1 , . . , N Ì tel que qa; p + 0, d'où qBp i* 0 .

OPP

M o n t r o n s que qBp est simple : Soient ï un B. $ B - s o u s m o d u l e non nul de qBp et y 6 Y, y non n u l . Comme B est s i m p l e , l'Idéal b l l a t è r e e n g e n d r é par y est égal à B, donc pour tout X É B , il e x i s t e des é l é m e n t s C*; , ß^ ( i » l , . . , k )

k

a p p a r t e n a n t à B tels que x - X «': y ß ; • En p a r t i c u l i e r si

U A '

x ç E q B p , e n p o s a n t a; » q 0 ^ q C B- e t b j • p | 3 ; p ( B . , o n a

q x p Z . a- y t ^ e Y d o n c Y - qBp

Lemme 1.3 : Solent A une C - a l g è b r e avec u n i t é , a , b £ A et k £ R .

Si aub - 0 pour tout u € U avec II u-l|/ < k a l o r s azb » 0 p o u r tout z 6 A.

Sl de plus A est simple ou A est un f a c t e u r a l o r s : a - 0 ou b - 0.

Preuve : Tl e x i s t e o > O s u f f i s a m m e n t petit tel q u e , x ||< A , on ait On a donc x" é A avec pour tout u - -Ix + y 1-x2" E U et II u-1 II < k axb - a — ( u -u)b - 0 .

Zi

Tout élément de A étant somme de d e u x é l é m e n t s a u t o a d j o i n t s de A nous avons azb • 0 , pour tout z £ A.

Sl A est simple le lemme 8.1 de ( H - S , 2 ] nous d o n n e a - 0 ou b - 0 .

Sl A est un f a c t e u r :

S u p p o s o n s a 4 0 et b 4 0 . Il e x i s t e r et s £ A tels que aa r et sb b soient des p r o j e c t e u r s non n u l s . Soient d e u x

it p r o j e c t e u r s e et f non n u l s é q u i v a l e n t s tels que e < a a r,

#

f ï sb b, Il e x i s t e donc v , w £ A avec e - v w , f « wv, v e v f , w f w e . SoIt x « a rvsb on a axb -v y 0 ce qui c o n t r e d i t l ' h y p o t h è s e du l e m m e . 1 v * u rvsb b 1.2 M A X I M A L I T E DE G

T h é o r è m e 1.1 : Soient A une C - a l g è b r e s i m p l e avec u n i t é et p,q deux p r o j e c t e u r s non nuls de A, de somme 1. Alors G - \ x i. G

m a x i m a l dans G.

qxp - 0, qx p - 0 est un s o u s - g r o u p e

P r e u v e : Soit g € G-G ; on peut s u p p o s e r qgp 4 0 ( s i n o n on c o n s i d è r e g" ) . Comme pour tout r é R. , — g É «CG ,g } , nous p o u v o n s s u p p o s e r de plus 'que g - / "•* ^i j avec

||<);|| < 1 pour t - 1 , 2 , 3 , 4 .

\ 0 . , j i g , g J l o <, K

9

,' 3,' J * (33 1 i

-H

fa.'

%'\

o ù g " I q ' q ' / , I m p l i q u e O i N , a v e c q\ i< 0 .

N a les p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

a ) N Î N CN

0

b) P o u r t o u t x t N p o u r t o u t a CGL(A ) on a XftfcN c a r :

(*" °]fr °)(

a

° ) /p M

U <}/(x () y l 0 «J / - ( xa

q )

1 1 °

De m ê m e bx £ N pour tout X g N et O E G L ( A ) . 0 off 0

N est donc un G L ( A ) ® GL(A ) - s o u s m o d u l e à g a u c h e non nul de qAp, donc N - qAp par la r e m a r q u e ( 2 ) suivant le lemme 1 . 2 . Par s u i t e tout é l é m e n t * é G avec X -1 £ qAp a p p a r t i e n t à ^ G , g ^ . Comme les g r o u p e s G,, ,G, ,G, d é f i n i s au lemme 1.1 a p p a r t i e n n e n t à < G , g > nous o b t e n o n s G - 4.G , g ^ .

1.3 E T U D E DES N O R M A L I S A T E U R S

Lemme 1.4 : Solent A une C - a l g è b r e avec unité , p et q d e u x p r o j e c t e u r s non nuls de somme 1 On a lés é q u i v a l e n c e s s u i v a n t e s :

(a) p r~j q

(b) 11 e x i s t e un é l é m e n t x i n v e r s i b l e a p p a r t e n a n t à qAp + pAq .

P r e u v e : (a) .=^(b) : Il e x i s t e v,w € A tels que p -et q - wv avec v » pvq , w - qwp a l o r s x » v + w c o n v i e n t .

un élément ( b ) = ò ( a ) SoIt / * M

I n v e r s i b l e dans qAp + pAq et d I n v e r s e / ^ i - I . A l o r s *2 *3 " p et ^ x * *- Q » donc p et q sont é q u i v a l e n t s .

Dane la p r o p o s i t i o n s u i v a n t e , étant d o n n é s deux p r o j e c t e u r s p et q de somme 1 dans la C - a l g è b r e A, on note :

G - { x é C ; p x q - 0 ; q x p - o } ; U1* • U n e " TG - j x £

_pxp

O ; qxq - O } ; TU* U A TG

S'il e x i s t e une isoraétrle p a r t i e l l e E de p r o j e c t e u r Initial q et de p r o j e c t e u r final p , on peut aussi é c r i r e

o TG

C

1

K-P r o p o s i t i o n 1.1 : SoIt A une C - a l g è b r e simple avec unité ou un facteur et soient p , q deux p r o j e c t e u r s non nuls de A de somme 1. Alors : (a) N-(G ) - G ^ u T C * ; N (U ) - U * u TU * ( b ) Sl p 'V q , alors TG c i - d e s s u s ;

(LV

G comme

-1P

S l pyf>n , a l o r s TG - <}> ( c ) N f N . ( C * ) ) « N (G*) ; N (N ( U * ) ) - N ( U * ) , 6 6 O u n U P r e u v e : ( a ) . S o i t g = [ 9 " ^ i \ £ N ( G * )

Ui

d»)

e t p o s o n s P o u r t o u t a t U ( A p ) e t d é U ( A ) on

8

"U* 9:)

•

g( a • d)g-'1£ G * , donc <j} a g, , a d a J , a a ^2 , a d <a' sont tous n u l s .

Le lemme 1.3 nous d o n n e deux p o s s i b i l i t é s pour g - Soit g, •= O et ^3- O ; c ' e s t - à - d i r e g É C *1

SoIt g^ - 0 et Q11 - 0 ; c ' e s t - a - d l r e g £ TG*

donc N-(C )C G rt T G . L ' i n c l u s i o n Inverse étant triviale on O

a l ' é g a l i t é . La d é m o n s t r a t i o n est Identique pour N11(U1") - N, (G*) H U.

( b ) . R é s u l t e du lemme 1.4.

( c ) . Se déduit du lemme 1.5 c i - d e s s o u s .

ft

Lemme 1.5 : Soient A une C - a l g è b r e simple avec u n i t é ou un facteur , p et q deux p r o j e c t e u r s non nuls de A de somme 1 . Soient, g é G et €. K avec O < S < 1 / || g || || g"" U . Si g(a + d)g" e N (G ) pour tout a E U ( A ) et d £ U(A ) tels

q u e II a - p H < d" , || d - q || < o~ , a l o r s g é N (G ) .

Preuve : Soit g é G avec g(a + d ) g" é N (G ) - G C TG (Prop 1.1) pour tout a et d comme dans l ' é n o n c é . A l o r s g(a + d)g a p p a r t i e n t à la c o m p o s a n t e c o n n e x e de 1 d a n s rf -AU N (C ) c ' e s t - à - d i r e g ( a + d ) g £ G . On a d o n c Q^ag^ + Q d a - O e t < ] , a V + £) id l3 i< " " p o u r t o u t a e t d comme d a n s l ' é n o n c é ( g" • / 9< 51 \ ) •

l 3»

31 )

Il e x i s t e £ > 0 tel que pour tout ^f £ [-£ ,-fi] on ait

P II <

ti*f

O

N o u s a v o n s d o n c Q%&£ <\A + 9 do.

et

V

e

'V

+

9i

d

9<.' " °

ce qui i m p l i q u e : Q a Q - O , O d « j - O

et g, a 9,'- O , V 3 « ; - O

Le lemme 1.3 noue d o n n e : soit g £ C , soit g é TG . Le lemme 1.4 et la p r o p o s i t i o n 1.1 nous p e r m e t t e n t de c o n c l u r e .

R e m a r q u e : Noua p o u v o n s r e m p l a c e r d a n s l ' é n o n c é du

l e m m e 1.5 G p a r U et G par U .

.4 M A X I M A L I T E DE N

0

( G ) L O R S Q U E p ~ q

T h é o r è m e 1.2 : S o l e n t A une C - a l g è b r e s i m p l e a v e c

u n i t é , p et q d e u x p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s de A de s o m m e 1 .

oc vt et

A l o r s G est d ' I n d i c e 2 d a n s N - ( G ) et N , ( G ) est un

Cr Cr

s o u s - g r o u p e m a x i m a l d a n s G.

P r e u v e ; La p r e m i è r e a f f i r m a t i o n r é s u l t e de la

p r o p o s i t ion 1 . 1 .

Of

Soit g t G - N

6

( G ) ( n o n v i d e par le l e m m e 1 . 2 ) . P o u r t o u t

O < o < 1 / H g If |l g ~

4

H , il e x i s t e par le l e m m e 1.5 d e u x

u n i t a i r e s a 6 U( A )° , d € U ( A )° a v e c Il a - p II < S" ,

Il d - q

\\c

S t e l s q u e

g -

g(a + d ) g"' è < N (C* ) , g > - N ^ ( C * )

d o n c :

g ( ( p g p )

D

+ ( q g q ) ) - p + p g q ( q g q ) . + q g p ( p g p ) + q

a p p a r t i e n t à <^N (G

) ,g*}

- N, (G ) . En p r e n a n t

S

s u f f i s a m m e n t p e t i t , on p e u t d o n c s u p p o s e r q u e g est un

é l é m e n t de la f o r m e / P

ilèment de la f o r m e ( P

J

j

l

\

avec |l g - 1 II p e t i t .

l

W. i

Soit N - ^ y € qAp tel que 1 + y € < N^ ( G* ) ,g > j

1) M o n t r o n s q u e N est n o n nul :

Si

_^

a l o r s

^

N

et

_S>

t

O ( c a r

g ^ N

6

( G ) ) .

2

c a s : Si 3. - O ; p et q é t a n t d e s p r o j e c t e u r s

é q u i v a l e n t s

t

11 e x i s t e v , w £ A t e l s q u e p ° v w , q » Wv ,

PVq , W - q w p Corame

lo * Wf

U)IO

* \ / f O

a p p a r t i e n t â <N (C ) , g > a l o r s O i wo^wÊN ( c a r S ^ N

4

( C ) .

3 c a s : Sl ¢ , ^ O e t ^

1

1* O ; a l o r s

[P Wir ° wp

9 i

) \ / * °)

13» 1/1 0 ( ^ 5 ^ 1 ( ¾ <?/ [y « /

. - <

où x - - j ( p

+

3 , 5

3

) +

2<

3,(<I

+

<ij S t M s

e s t

i

n v e r s l b l e

dans A_

z » q - q,q est inversible dans A.

y - - J 9 ,(P +J J 5 , > + 2 ( q + 3i3, M » ' °

(sinon (q + 4>g > 9j(P

+

^i ^i ^ *

A

9 J

e t d o n c

3l" ° *

On a alors

(;

WV

I £ < N . ( G " )

> 8

>

ce qui implique yx" £. N où yx j< 0.

2) Montrons que N = qAp.

De même que dans la démonstration du théorème 1.1 , N est un

O Off 0

GL(A ) ® GL(A ) -sous module à gauche de qAp et par le

point 1) N est non nul. La remarque (2) suivant le lemme

1.2 nous permet de conclure N - qAp.

Les projecteurs p et q étant équivalents nous voyons donc

que les trois groupes G ,G ,G, définis au lemme 1.1

appartiennent à ^

N G

(

G

) » O et donc G - < N (G ),g) .

1.5 UNE G E N E R A L I S A T I O N AUX C - A L G E B R E S NON S I M P L E S

1

Solent A une C - a l g è b r e avec u n i t é , K un Idéal b l l a t è r e de A tel que A/K soit une C - a l g è b r e simple non n u l l e , TC : A » A/K la p r o j e c t i o n c a n o n i q u e ( T T ( I ) - 1 ) , p et q deux p r o j e c t e u r s de A - K de somme 1. Soient C^ » j x f c G ; qxp £ K , qx~ p £ K ] - { x € G ; pxq « K , qxp € K j ; UR • C ^ U R e m a r q u e : On a pAq <£ K (lemme 1.2 ) , Lemme 1.6 : Avec l e s n o t a t i o n s c i - d e s s u s G L ( K ( A ) )0 - TT(GL(A)° ) ; U(TT ( A ) )0 - T C ( U ( A )0) P r e u v e : Tout x € G L ( T C ( A ) ) s u f f i s a m m e n t p r o c h e de 1 a une d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e de la forme e e où u , S € T T ( A ) avec V - - M , S * S • Soient r , C €. A tels que ' " - ,

t - t , Ti ( r ) - ^ , ~ ( C ) - 5 , a l o r s x " Tf (e r e ) é. TT(GL(A) ) . L ' i n c l u s i o n i n v e r s e est f a c i l e . La p r e u v e vaut pour U .

Sl

P r o p o s i t i o n 1.2 : S o l e n t A, K, Tf c o m m e c i - d e s s u s , .0

H

est .0

un

s o u s - g r o u p e de G L ( A ) c o n t e n a n t I x £ G L ( A ) ; x - l e K J tel que T ( H ) soit un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G L ( T i ( A ) ) alors H est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l

0

dans G L ( A ) .

o e s o u s - g r o u p e s de Cl.(TT ( A ) ) et ceux de G L ( A ) contenant le noyau de TT: G L ( A ) > G L ( T T ( A ) ) ° ( [ B o ]1A I g I ? ' , Livre Jl , Ch 1, $ 6, n: 13, Th 6 ) .

G é n é r a l i s a t i o n 1.1 : Solent A et K c o m m e c i - d e s s u s , p et q deux p r o j e c t e u r s de A de somme 1 et n'appartenant pas à K.

Alors G est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l d a n s G.

P r e u v e : R é s u l t e du t h é o r è m e 1.1 a p p l i q u é à T T ( A ) , du lemme 1.6 et de la p r o p o s i t i o n 1.2.

G é n é r a l i s a t i o n 1.2 : Solent A, K, TT c o m m e c i - d e s s u s , p et q deux p r o j e c t e u r s de A de somme 1 tels que TT ( p ) rj TT (q) .

A l o r s G ? est d ' i n d i c e 2 dans N ^ ( C * ) et N,(C°Î ) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l dans G.

P r e u v e : R é s u l t e de la p r o p o s i t i o n 1.1 et du t h é o r è m e 1.2 a p p l i q u é s à TT(A) et du lëmme 1.6 et dé la p r o p o s i t i o n 1.2.

C H A P I T R E 2

Q U E L Q U E S S O U S - G R O U P E S M A X I M A U X DU G R O U P E U N I T A I R E D'UNE C * - A L C E B R E A . F . OU D'UN F A C T E U R

Not a tIons :

Solent A une C - a l g è b r e avec u n i t é , p et q deux p r o j e c t e u r s non nuls de A de somme 1.

- Sl p est é q u i v a l e n t â q d a n s A a l o r s il e x i s t e un élément dans pAq que nous n o t o n s Ep<, - (Eq p ) t e* ^ue P " Ep q (Ep < i )

, q " (E ) E (pour l ' e x i s t e n c e d'un ' tel élément :[GoJ P r o p . 19.1 p 147 ) .

- p-< q s i g n i f i e que p est é q u i v a l e n t dans A à un s o u s - p r o j e c t e u r de q.

- G ( p ) - GL(Ap)° et U ( p ) - U ( Ap) ° .

2.1. LEMMKS PRELIMINAIRES

Dana ce paragraphe A est une C -algèbre avec unité, p et

q deux projecteurs non nuls, U - j K t D ; qxp « 0, pxq " 0 J

Lemme 2.1 : Solent p et q deux projecteurs de A de

somme 1, x - I/ „

l

J 6 U avec X

1

E G ( P ) , X ^ 6 G ( q ) . Alors 11

existe deux unitaires U £ U(p) , V £ U(q) tels que:

/u* o\/x

4

X

1

Wf o \ JJfTfT? - » ; \

1° V K Mio tfV I *

}

ffT^f J

appartienne au groupe engendré par U* et x.

Nottition : Si p + q - 1 , u £ qAp avec || y ||< 1 nous

désignons par V(y) ouparfols V

p

«(y) l'unitaire:

(F

/

_YM

P r e u v e L ' é l é m e n t x é t a n t u n i t a i r e x. X-, » p - x x e t c o m m e x ^ e s t i n v e r s i b l e 1 1 e x i s t e u £ U ( p ) t e l q u e x • u y x X4 • u y p - x x , . De même 1 1 e x i s t e V € D ( q ) t e l q u e x - v ^ q - x x; . L ' é g a l i t é q - x , x * + x x, » x x * + v ( q - x X , ) v implique 3 3 UH 3 3 2 2

« * *

XZXl " V XîX3V i La r e l a t i o n x . x , + x, x , - 0 n o u s d o n n e : xx - -( x, > xix* - - u ( p - X * Xj ) X3V V l - ( X j V ) ( x * v ) - - u ( p - x j x , ) V p - ( x * v ) ( x j V ) " x * v - - U X j V / q - x * X1 - v Vq - V4X1X j V - V q - x}x * v .

On a a l o r e

c ;)(:;:;)(: :-)-H,

Lemme 2 . 2 : S o l e n t p e t q d e s p r o j e c t e u r s d e A d e somme 1 , a l o r s < u " , V ( E . „ 4= ) > " U . 1° <T P r e u v e : S o i t

±(

f c £

n ) .

v

-

v

1

<T(p - I q ) 0" - V ( Eq p^ ) .

v il

1 ) S o I t x un e l e m e n t a u t o a d j o i n t d e A . d e n o r m e s t r i c t e m e n t I n f é r i e u r e à 1 a l o r s u - y p - xx + I X É U ( p ) e t a p p a r t i e n t à < U , C > . 2 ) S o I t y t A . a v e c /| y | | < — , a l o r s

<î

<r V(E-O y> < r "= ^ E c £

P 1 \

1f

k

V V

o ù a = i ( \ / p - y * y + I y + I y " + / p - y y * ) £ G ( p ) c a r II y II <

Vf

b -

L

( ^ p - y * y - Iy + i y * - V P " yy* ) - b* , Il b ||< 1 .

Le lemme 2.1 d o n n e l ' e x i s t e n c e de deux u n i t a i r e s u € Ap, v € A- tels que

/ « ' O W « CE

n

Wp o \

v (

n

(o <,My> ^ . ^ / ( ° W

1r

Comme b est a u t o a d j o i n t le point 1) i m p l i q u e V ( E . . b ) É < ü " , r > et donc V ( E y ) £ < U ", <T > . Le lemme 2 . 1 m o n t r e a l o r s que tout élément u n i t a i r e s u f f i s a m m e n t p r o c h e de l ' I d e n t i t é a p p a r t i e n t à < U , <T > . Le g r o u p e U étant

connexe nous a

vons la conclusion <[ U , °° > " U.

Lemme 2.3 : Solent p et q des projecteurs équivalents

de A de somme 1. Soient e un sous-proJecteur non nul de p

( e é A ) et c un élément Inversible dans A tel que Il c II < -— ,

alors :

V(E £ e ) € < U ,V(E c)>

IP Vl

_ir'

P r e u v e : SoIt c » ux la d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e de c , où u £ U ( A6) et x - (c* c )1 £ Ae avec II x II <: £• . Oh a : qui a p p a r t i e n t à < U , V ( Eo nc ) > .

"r

. « »

S o i t ra £ ti t e l q u e >> - s i n J l e t v e < « x ( p - x ) . A l o r s 4 . ( x ) " " ( p - X1T1I ( A x ^ p - x1) - Vle )V l + I V e ] + 2 e e s t u n u n i t a i r e d e A : ] + p - e. On a :

-

l

^ ( ; J

£

j M '

1 ;

(

% ( 3 E

n

•V"

7 1

V

Vv,

o ù 8 •= - i ( ^ p - X * a V p - x1' + x a * x ) € G ( p )

t * - i ( x a \J p - x

1

- ^p"

x a t ) • s i n JL. e £ A . 4m e Le l e m m e 2 . 1 m o n t r e q u e V ( E .0 s i n J £ . e ) é < U . V ( E - C ) S e t

ir ^m "r

donc V(E

0

± e ) - [ V ( E ^ s I n J L e ) ]

0

£ < U " , V ( E „ c) > .

" P >I7 Y ^m 1'

Lemme 2.A : Soient p, q , q trois projecteurs non nuls

de A, orthogonaux et de somme 1 tels que p « q et soit

H - < U ( p ) * U(q'+ q " ) , U(p + q') * U(q")> , alors H - U.

P r e u v e S o i t q - q + q G r â c e au l e m m e 2.1 et a 1< c o n n e x i t ê de U il s u f f i t d e m o n t r e r q u e V ( z ) a p p a r t i e n t à H , c e c i p o u r t o u t z £ q A p o ù Il z II est p e t i t . So i e n t x _{q * p , y - q * p , t} y( ^ p - x* x ' ) et X , Y , W c o m m e s u i t ( d a n s la d é c o m p o s i t i o n p + q + q • 1 ) : x ^a'. x x*' O

O O <)"

P O O

e

H €. H

t-c,

_M'

Vl"-tt*'.

i r

O O ÉH

D o n c W Y W X p + q " 1 :

* * #

X •* y £ H et d a n s la d é c o m p o s i t i o n W Y W X est un é l é m e n t d e H q u i e s t p r o c h e d e 1 'si II z || e s t p e t i t . G r â c e a u l e m m e 2.1 n o u s p o u v o n s c o n c l u r e q u e V ( z ) a p p a r t i e n t à H . 2.2 S O U S - G R O U P E S M A X I M A U X D U G R O U P E U N I T A I R E D ' U N F A C T E U R D a n s c e p a r a g r a p h e : M d é s i g n e un f a c t e u r (à p r é d u a l

s e p a r a b l e ) , U le g r o u p e u n i t a i r e de M ( U est c o n n e x e , [ R u I Th . 1 2 . 3 7 ) , p et q deux p r o j e c t e u r s non nuls de M de sonne 1.

D é f i n i t i o n s :

1. Sl M est un facteur Infini s e m i - f i n i muni d'une t r a c e

t n o r m a l e s e m i - f i n i e f i d è l e , s o i e n t :

F - J x £ M ; il existe une p r o j e c t e u r E e M tel que r ( E ) < eo

et x - ExE J

F est l'Idéal des é l é m e n t s de rang fini d a n s M K » / 0 si M est un facteur de type In, II. ou III

a d h é r e n c e n o r m i q u e de F si M est un facteur de type I -ou II oo K e s t l ' i d é a l b l l a t è r e m a x i m a l f o r m é d e s é l é m e n t s c o a p a c t s d e M, M/K e s t d o n c u n e a l g è b r e s i m p l e . 2 . S i g £ M , S p ( g ) d é s i g n e l e 6 | W c t r e d e g e t S pe( g ) d é s i g n e l e s p e c t r e e s s e n t i e l d e g , c ' e s t - à - d i r e l e s p e c t r e d e l a p r o j e c t i o n d e g d a n s l ' a l g è b r e d e C a l k i n M / K . 3 . U - j x f c \ U ; p x q " 0 , q x p - O } U - J x £ U ; pxq é. K , q x p £ K } N (U ) le n o r m a l i s a t e u r de V dans U. 2.2.1 E t u d e du n o r m a l i s a t e u r de U_ P r o p o s i t i o n 2.1 : Solent M un f a c t e u r , p et q d e u x p r o j e c t e u r s non nuls de M , é q u i v a l e n t s et de somme I1 a l o r s

HU( U " ) - U ?UT U ^

Preuve : C'est en fait un c o r o l l a i r e de la p r o p o s i t i o n

1.1

2.2.2 Maxlraallté de N (U ) lorsque pA/q

Lemme 2.5 : Solent M un facteur et e un p r o j e c t e u r de M

tel que e y 1 et e ^ K . Alors 11 existe N £ N et des

p r o j e c t e u r s e. non nuls o r t h o g o n a u x é q u i v a l e n t s de M

( i - 0 , 1 , . . , N ) tels que 1 - e

0

- Z. e- avec e £ e , e

^Y.

et

i.-l

"

1 - e j K .

Preuve : (1) Si M est de type I ou II muni d'une

trace T normale finie fidèle n o r m a l i s é e :

Il existe m f e N (m - n si M est de type

I

n

)

et un

s o u s - p r o j e c t e u r e de e tel que

T (

e

8

) • —'—

L

^ T ( e ) . Nous

avons C ( I - e ) - (m - I) T(^) donc 1 - e est la somme de

m

m - 1 p r o j e c t e u r s o r t h o g o n a u x e^ de trace T

(4)

donc

m

é q u i v a l e n t s â e (N - m - 1 ) .

(2) Si M est de type I

00

ou H

0 0

:

Le p r o j e c t e u r e est la somme de deux p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s

o r t h o g o n a u x e

0

et e ' où e , e ' ^. K ([Di] C h . I l l , Ç l , n : 2 ,

C o r . 3 ) . Nous avons

e ' <, 1

- e. donc 1 - e ^ K et 1 - e . est

O ^ O O T O

alors un p r o j e c t e u r é q u i v a l e n t à e

Q

, car tous deux de trace

infinie ((Dl] C h . I I I , § 8 , n t 6 , C o r . 5 ) .

( 3 ) Si M est de type III :

On peut c h o i s i r e • e et comme l - e

o

- l - e ) < 0 nous

L e m m e 2.6 : S o l e n t p et q d e u x p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s

de s o m m e 1 d ' u n f a c t e u r M , et e un s o u s - p r o J e c t e u r non nul

de p v é r i f i a n t

etK,

a l o r s < U* , V(E.„ i-e ) > - U .

T V5

P r e u v e : Sl e - p ; le l e m m e 2.2 p e r m e t de c o n c l u r e .

Sl e

4

p ; s o i e n t N et

e 0

»

e

,i » • • •

e

u c o m m e au

l e m m e 2.5 ( a p p l i q u é â M - ) . Le l e m m e 2.2 a p p l i q u é à

« + E

0

C,e £

V

e t

M

I m p l i q u e :

< u " , V ( E

< ) p

*

e ) > ; > U ( e + E ^ e E

p ( )

) A U ( p - e ) * U ( E ^ (p - e ) E

p t

) ,

N o u s a v o n s a l o r s . : V ( E J- e ) é ^ * . V ( E ^

0

-4, e ) > .

IP VT

'1P 7?

S o l e n t E

0

- - ( E j

0

) d e s l s o m é t r l e s p a r t i e l l e s de M r e l i a n t

e

°

et e

i u

et W- - E

o J +

E

j o +

. I E,-

£ +

E

l p

( E

0 j

.

+ E > +

£ E,. )E

p

, qui

oi

a p p a r t i e n t à U ( i - 1 , . . , N ) . A l o r s

V

<

E

, P

&

e

«

) w

«

v < E

i p ^

e

. '

w

" - - - v

( E

i p é -

e

-

> w

- "

V ( E

I P

? f

)

a p p a r t i e n t a u s s i à ^ U * , V ( E

1

, -4= e ) > .

G r â c e au l e m m e 2.2 n o u s o b t e n o n s la c o n c l u s i o n c h e r c h é e .

L e m m e 2.7 : SoIt M un f a c t e u r et z - z £ M - K a v e c

z H < 1. A l o r s 11 e x i s t e un p r o j e c t e u r e € M - K tel que

: Vl - j ' s o i t un é l é m e n t I n v e r s i b l e d a n s M .

/

P r e u v e : S o i e n t

z m \ "X

dE(

X)

la d é c o m p o s i t i o n

s p e c t r a l e d e z et

X

là p l u 6 g r a n d e v a l e u r s p e c t r a l e

( e s s e n t i e l l e si M est de t y p e I

0 0

ou II )en m o d u l e de z.

S o i e n t £ > 0 tel q u e 0 < / >'-£ j < | ^ | < I ^ t t | < 1 et

e - E([ >'-f, A * + * ) ) . L ' é l é m e n t ze V l - z

1

' -

( X

V-I- A

1

' dE( * )

est I n v e r s i b l e d a n s M . [*-*>•*]

Lemme 2.8 Solent M un f a c t e u r , deux p r o j e c t e u r s de M é q u i v a l e n t s de somme 1, z • z £ M_ avec

z ^ K et l|z||< i- . « I « ™ < " .V(E z ) >

U.

P r e u v e Soient e comme au lemme 2.7 et J " 1 - 2e é U Le produit JV(E z)J (V(E z)) s'écrit

/

a U

P1

\

où a et sont I n v e r s i b l e s dans M „ car c - - 2 z e \/l - z1

lemme 2.1 on

2.6 nous p e r m e t t e n t de c o n c l u r e

Il z II < i- et est a u s s i I n v e r s i b l e dans M . Par le V(E c)fe <0"<,V(E<, z ) > et les lemmes 2.3 et

L e m m e 2.9 Solent M un f a c t e u r , d e u x p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s d e M d e somme 1 . S l xé Mp v é r i f i e x 4 K e t Il x II < -Ì- , i l e x i s t e z f c M a v e c H z B < i - t e l q u e V(E z ) é < Nu( U* ) , V(E x ) > . z ^ K e t

1 f

P r e u v e S o i e n t Epq - E<,p . E

P1

+ E

1P

V ( E , x ) J V ( Ef l x ) J , Z, - I V ( E0 0X ) L V ( E0 1, x ) L

'IP

( J , L E N1 1( U * ) ) .

ÏP

IP

V

N o u s Il Z . 1 II < 2 H V ( Ea ( >x ) < 1 Il x | | < ±- , d e même || Z1 - 1 II < 1 . E<,p ( / p - x x " ' x * + x \jp - x x * ' ) E1P Z1 E ( - 1 V1P - x x " ' x * +

ix ff

XX )

V*

A l o r s : qZ,, p • q zzp • OÙ ZJ N o u s n e p o u v o n s a v o i r zA e t z d a n s Z^ - I z2 - 2 x V P - x x " é K c e q u i I m p l i q u e x é K . I l e x i s t e d o n c Z e < NU( U ) , V ( E - . x ) > ( Z e s t s o i t Z^ s o i t Z ) z * É M a v e c II z • || < ± ( j - 1 , 2 ) . s i n o n

de

la forme

I * * \

i c i . ir

'

avec

I

I Z - 1 II < 1 , r - r ^. K et

* II

C ±

3

Le lemme 2.1 nous permet de conclure

v (

V

z ) f e

< %

< u

K

)

-

v ( E

< ) r

x ) >

•

Théorème 2.1

Soient M un facteur,

et q deux

projecteurs de M, équivalents de somme 1.

A l o r s U^ e s t d ' i n d i c e 2 dans N

u

( U

K

) e t

N u

<

u k

>

e 8 t u n

sous-groupe maximal du groupe unitaire U de M.

Preuve : La proposition 1.1 donne la première

affirmation.

Soient g e u - N (U

K

) et TC la projection canonique M • M/K

(TC(A) est alors une C*-algèbre simple et U ( K ( A ) ) -TC(U(A))

par le lemme 1.6 ) .

Le lemme 1,5 appliqué â Tt(A) montre l'existence de a £U(p)

et d e U ( q ) avec H a - p U < -^- et Il d - q I < i- tels que

x - g(a + d)g- £ <N

w

(U

| (

),g> "N

01

(U

1

;).

Alors x est un élément de la forme

où

Il x - 1 II < 4- , et on peut supposer de plus que x . ^ K (sinon

on considère x ) . Le lemme 2.1 donne alors V(x ) fe<^U ,x> .

Comme x ^ K et II x, U < ~- nous pouvons appliquer

successivement les lemmes 2.9 et 2.8, d'où

< N

14

(U^)

1

V(X

3

) > - U.

2.2.3 Maximallté de U lorsque p jj q

Lemme 2.10 : Soient M un facteur fini et cfcM, alors il

existe un unitaire u é M tel que eu soit un élément

autoad joint .

P r e u v e : SoIt e - v | c | la d é c o m p o s i t i o n p o l a i r e <je c où v, ) cj £ M . Les p r o j e c t e u r s finis v v et vv étant é q u i v a l e n t s , Il e x i s t e une I s o m é t r l e p a r t i e l l e w C M t e l l e que w*w - 1 - v¥v , w w * - 1 - vv* ( I D l ] , C h . I I I , § 2, n ° 3 , P r o p . 6 ) . SoIt l ' u n i t a i r e u - v + w é M a l o r s eu - u c .

L e m m e 2.11 : Solent M un f a c t e u r s e m l - f l n l c o n t i n u ( r e s p . d i s c r e t ) m u n i d'une t r a c e X n o r m a l e s e m i - f i n i e fidèle ( r e s p . avec la trace des p r o j e c t e u r s m i n i m a u x v a l a n t 1 ) , un p r o j e c t e u r q non nul de M , un o p é r a t e u r p o s i t i f P de M tel que P + q.

Soit d un n o m b r e réel ( r e s p . e n t i e r ) tel que 0 < d £ T ( q ) , alors 11 e x i s t e un s o u s - p r o j e c t e u r q de q, c o m m u t a n t à P tel que T ( q ' ) - d et q' P q' 4 q' .

P r e u v e : Soient ( q : ):..(..„ des p r o j e c t e u r s o r t h o g o n a u x

J d '

é q u i v a l e n t s de somme q, c o m m u t a n t à P tels que T ( q . ) ^ d (n pouvant être I n f i n i ) . Si q'Pq' • q ' p o u r tout p r o j e c t e u r q' c o m m u t a n t à P avec t ( q ' ) - d a l o r s qPq - q pour tout p r o j e c t e u r q c o m m u t a n t à P avec T ( q ) i d . On a donc

1\ P<1i " qi ( V J " ! f i " ) c e 9u l i m p l i q u e qPq - q c o n t r a i r e m e n t à l ' h y p o t h è s e .

T h é o r è m e 2.2 : Soient M un f a c t e u r , p et q d e u x p r o j e c t e u r s non n u l s de M , non é q u i v a l e n t s et de somme 1. Alors N (U ) • U est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l du g r o u p e u n i t a i r e U.

Preuve

L'égalité N (U ) - U* résulte

_de

la

Propos It Ion 1.I.

Comme P

-

^q nous supposerons par exemple p •< q. SoIt

g t U - U . La remarque suivant le lemme 1.5 nous donne

l'existence de deux unitaires a C U ( p ) et d t U ( q ) avec

Il a - p II < À. e t Hd — q II <T — t e l s que

x - g ( a + d ) g "

<

é < U * , g > - u" a v e c | | x - 1 II < -±- .

Nous pouvons supposer que y - qxp

i

0 (sinon on considère

x " ) ,

_Le

lemme 2 . 1 I m p l i q u e a l o r s V ( y ) é <U , g > où

0 < Il y II < ^- .

L'opérateur yq - yy" étant positif

(4

q) 11 existe un

Sou 6-projecteur q de q, équivalent a p, commutant à

V<1 " yy*

t e l

1

u e

fl' ^q - yy* q' 4 q' (lemme 2 . U ) .

Soient q - q - q', y^ - q' yp , y

i

- q" yp

a, - q' \fq - yy*' q' .

*

2

- q"

U -

y y* q"

L'élément V(y) dans la décomposition p + q + q" • 1 a la

forme :

f\l-y*y*-y%7Î ~1* '?*

V

W =1 v /

a*

O

o

dj

y*

Les conditions d'unitarité de V(y) donnent :

d, - v q' - y* y /

»

t

- / q " - y

x

y /

Remarquons que y ^ 0 car d. 4 q .

Soit J - p + q ' - q ' t U . Grâce aux conditions d'unitarlté,

nous avons

V ( y ) J V ( y ) J

P-

2

*** -iU-tfi y* o

Ik

« o

Ç.

1

. c * O

ir

avec e t c 2

* Vr- *"y- i ' -

2

* > * o

O O «j* / ^ O O «j'y

D V ( X ) J V C y ) J * - 1 I/ £ 2 | | V C y ) - I « <£ 1 E ^ ^ y , | / p - y,* y / i< O. || c ||< 4. e t g r â c e au lemme 2 . I

•W

' o o

<j«.

où z - z * é M-, z 4 0 , Il t Ii < Y • Par l e lemme 2 . 8 on a : < 0 * , 2 > J U ( p + q ' ) x U ( q " ) . Donc U(p + q' ) .* U ( q " ) e t U ( p ) x U ( q ' + q" ) s o n t d e s s o u s - g r o u p e s de <£ U , g > q u i e n g e n d r e n t U (lemme 2 . 4 ) , a l o r s <V*,g > - U. 2 . 3 . S O U S - G R O U P E S M A X I M A U X DU G R O U P E U N I T A I R E D ' U N E C " - A L G E B R E A . F . S I M P L E

Dans ce p a r a g r a p h e A est une C - a l g è b r e A . F . s i m p l e avec u n i t é ; A est d o n c la f e r m e t u r e n o r m l q u e d ' u n e r é u n i o n c r o i s s a n t e de * - s o u s - a l g è b r e s de d i m e n s i o n f i n i e An de A c o n t e n a n t toutes l ' u n i t é de A .

Nous n o t e t - o n s A » U A . p i A

1

. • d H....,(C).

*>4

p

'

_n

g r

«7» )

«•/»•I)

L'homomorphisraé lnjectlf unltal if: © M,-,(C) » A M ,,(C)

" j« 4 Kijl /»4 *«'(j>

est décrit par une natrice r(n + l)-fols-r(n) d'entiers

( «". ) . (IGo] ,Prop.17.2, p 131).

J

Solent p et q deux projecteurs non nuls de A de somme 1.

Définitions :(1) Un projecteur e è A ^ e s t plein dan«

An

il e - ®

em

• avec O

4t

e m

*

wte

,,( Ç) pour tout j •> l,..,r(o).

.(2) Un homomorphlsme U> : A ^ — * A _ „ est

jleln

si

^ •

(

*ij >

4Ci( +

O pour tout

1,>.,r(m+l) , J - I , ..,r(m),

Dans toute la suite on se limite sans perte de

J te

généralité au cas d'une suite Ai——-» A • » ... ou tous les

4

3

^ sont pleins ((E] lemme AA.5 p 2 9 ) .

Remarques :(1) Pour tout entier m et pour tout

projecteur non nul e é A

1n

, e est plein

dans A_ ..

(2) Le groupe U(A) est connexe car

U(A) - U U(X

n

) .

»

(3) L algèbre A

p

est aussi une C -algèbre

A.F. simple ([E) lemme 9.4 p 60 et

remarque (1) suivant le lemme 1.2).

2.3.1. Haxlmallté de N ( U ) lorsque p<vq

« » » „ 0 O I 6 1 1 . ( 8 ) ; x. t B (k - 1 , . . , 8 )

o o *, n I * * J

OO «, *, /

e t J - I O -1 0 O 1 6 U

1

( B ) ,

,*/¾

o %r o

i0 O O A

a l o r s

CD, If > - < D , JfD r * > et < e D,• , ê *j > - © <D; , tf •>

JS 4 ti J « * C tsA J J

où Dj - D

1

ti- - ti pour t o u t j - 1 , . . , n ,

J J P r e u v e : Soient J

- ( S

1

) . .

et R

^¾

%-

;

%

É D

-Le p r o d u i t if - J if R t j " d o n n e < D , V > - < D , Y D S " ' > . Le g r o u p e < © D; , © ïj > c o n t i e n t (© *• J(D4 © 1 O . . . » 1 X * *•) et

i ' j

J

J J D4 6 1 1 ... S 1 donc aussi le g r o u p e < D,, , $,,> * I S . . . O l . En faisant v a r i e r j , nous o b t e n o n s la c o n c l u s i o n c h e r c h é e .

Lemme 2.13 Solent A une C - a l g è b r e A . F . simple avec u n i t é , m un e n t i e r ^ 1, deux p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s p et q de A , de somme 1. Soient e un s o u s - p r o j e c t e u r non nul de p a p p a r t e n a n t à A et H - < U( p ) * U ( q ) ,V (-^ Eaj> e) > , a l o r s »•« r i VJ |i H - U . P r e u v e : La C - a l g è b r e Ap est A . F . s i m p l e avec u n i t é p et e un p r o j e c t e u r p l e i n d a n s p Am p ( r e m a r q u e ( 3 ) et ( 1 ) c i - d e s s u s ) . Pour n » m + 1 , soient p - © p . • et e » ( eu; £ J l H , . , ( C ) . où eB • j 0 pour tout j • l , . . , r ( n ) et soit If 1 ' i s o m o r p h l s m e :

P o s o n s D;

",J "(J) *.j "'J "O' *>0

J

*f %* N'"

c,

\i

Vf

e

"-J

JrSi

+

N"'^

t«,(A

f

)

pour J - 1,..,r(n) .

Corame Ap D © p „ j Mn^ p . a l o r s l'image par «f- de H c o n t i e n t < © D; , © / • "•> et donc © <£ D • , ï\->

< Î

D

J ' f * j >

( l e m m e 2 . 1 2 ) , Le lemme 2 . 6 a p p l i q u é p o u r c h a q u e j M f ( P - - M , . P • ) d o n n e l ' a p p a r t e n a n c e de : au f a c t e u r

J

_n

_{f"vi Tr •*".; <}

iTrP ^f-P

_/T'

à VJ-(H). A i n s i V,,- ( i. E . ) £ H , et H - U par le lemme 2 . 2 .

><

YJ " r

Lemme 2.14 : Soient A urte C - a l g è b r e A . F . avec u n i t é , k un e n t i e r ^. 1, p et q d e u x p r o j e c t e u r s n o n nuls de Aj, et z i. qAp avec 0 < Il z II < 1 . A l o r s 11 e x i s t e m C(N, m ^. k , d e u x p r o j e c t e u r s n o n nuls e(, e é q u i v a l e n t s de A1 n tels que e ^ ^ p , e, £ q , et d e u x u n i t a i r e s U1C U ( P ) , U1C l K q ) avec la p r o p r i é t é s u i v a n t e : Il e x i s t e un é l é m e n t i n v e r s i b l e c £ A tel que / ï?—* * * à U1Z e1 Y p - z z \iA • El i (c où Z14 - (E-1 ) e s t une i s o m é t r l e

p a r t i e l l e de A reliant e . et e .

Sl p - q on peut c h o i s i r Ea < ) u n i t a i r e d a n s (An,) .

P r e u v e : P o u r t o u t £ > 0 i l e x i s t e m £ N , i ) k e t a £ A1n

H z - Z ' K ^ £ et Z1^ A1 n . SoIt eA le p r o j e c t e u r s p e c t r a l de z z c o r r e s p o n d a n t a une v a l e u r p r o p r e A de z z t e l l e que A' . (I t" z' H (O < A' < 1) . Soient x - ze \ | p - z 1' z ; x ' " z e V p - z z (. An, f4( r e s p . f, ) le s u p p o r t Initial ( r e s p . f i n a l ) de x e . ( r e s p . e, ) le s u p p o r t I n i t i a l ( r e s p . f i n a l ) de x 4 2 1) Par c h o i x de £ n o u s a v o n s : l i e z : e(( e z z e ) - e^ II<1 donc e z ze e s t I n v e r s i b l e d a n s A, . 2 ) M o n t r o n s que f ( r e s p . f ) e s t a r b i t r a i r e m e n t p r o c h e de e ( r e s p . e . ) par c h o i x de £ : S o i e n t v - z e . ( e. z ze„ )_ e t v ' " i e . ( e r * « e ) é A. ( v * 4 4 C4 4 4 4 £ m e x i s t e p a r 1) ) , a l o r s : =4 • v v « s u p p o r t final de ze. - f 4 i - e , v v - s u p p o r t final de z'e^» e donc f « vv est a r b i t r a i r e m e n t p r o c h e de v v - e p a r c h o i x de £ :44 » 'i f * — ^ Soient w - ( e4 ( p - z z) e^ ) e4 ( p - i z et w • ( e , ( P " Î O e , ) , e4 < p - z z a l o r s w w * » eH , w w - s u p p o r t i n i t i a l de e( ( p - z* z • tA ww » e , w w - s u p p o r t initial de* e \ p - z*z' - e donc f, - w w est a r b i t r a i r e m e n t p r o c h e d e w w - e p a r c h o i x de £ . 3 ) D é f i n i s s o n s les u n i t a i r e s u4£ U ( p ) , u , 6 U ( q ) :

Par le point 2 ) on a U f„ - e , Il < 1 , |\ f t - e , Il < 1 donc il e x i s t e d e u x u n i t a i r e s u , , £ U ( p ) et U j £ U ( q ) tels q u e «.,f, u / - e < , U ^1U * - C1( I E ] C o r . A 8 . 3 p 5 8 ) .

d a n s pA p C Am sont uni tal reinen t É q u i v a l e n t s ( [ D l ] P r o p . 6 ,p 2 4 3 ) ; soit u t U ( p A „ p ) tel que u e . u * - e ^ . D é f i n i s s o n s E , • E ^ - J v si p ¥ q

l u si p - q ( E

1 4

*

A

m

)

Nous avons (E^ ) U4Xu4* - E1' u ^ x f , u" - E* e ^ x u ' e , t A^

4 ) M o n t r o n s que E, u, xu. est I n v e r s i b l e dans A :

L ' é l é m e n t xx" est a r b i t r a i r e m e n t p r o c h e de x'x'"" - (1 - à ' ) « ' e , r'* - (1 -X))Je1 qui est i n v e r s i b l e dans A- . Donc par c h o i x de £ nous a v o n s :

» U lx x " u * ( ( l "A* ) * ' e2> ^ - B1I U I I u1( X x " - (1 - A ' M ' ^ ) » , * ! ! / ^ .

C ( Il xx* - x' x'* Il + (1 - *' ) >' « e, - f II ) - l _ - < l (*-A )A donc u,xx u est I n v e r s i b l e d a n s A ^ .

2» 2 e 2

L ' I n v e r s e de E . u xu. est a l o r s u x u (u x x u ) E , . * A . .

Ii 2 * * l t 1 t *•* « 4

Lemme 2.15 : Soient A u n e C - a l g è b r e A . F . s i m p l e avec u n i t é , p et q deux p r o j e c t e u r s de A é q u i v a l e n t s de somme 1. Si z £ A - v é r i f i e 0 < | | z | | < *. , a l o r s < u " , V ( È < ) > - U .

P r e u v e : Il e x i s t e k f e N et un p r o j e c t e u r p £ A. tel que U P •* P II <- 1 et donc un u n i t a i r e u É A tel que upu* - p ( [ E ] C ö r . A 8 . 3 p 5 8 ) . N o t o n s q - 1 - pC A^ et E - - - (Egg ) l ' i s o m é t r i e p a r t i e l l e

Tf -

K

*H

u E . . U reliant p et q. 1 * < P o s o n s z » uzu e A j . (Nous a v o n s u V ( E „ „ z ) u - V - - ( E - . u z ü * ) - Vv- ( E _ « z ' ) ) . N o u s a l l o n s m o n t r e r q u e le g r o u p e :

u < u " , V ( Ei f > z)> u*- < U ( p ) x U ( q ) , V - - ( E . - z1 ) > est égal au g r o u p e U .

p r o j e c t e u r s e,, e t e

t

non n u l s é q u i v a l e n t s de A

m

, t e l s que

c. I p

1

e £ p e t deux u n i t a i r e s u

A

, u £ U(A~ ) t e l s que

- 2 u

2

z ' C

4

y p - z z' u

4

- wc où c e s t i n v e r s i b l e d a n s A a v e c

K c d < _ L e t w « Uf(A

111

) - ) .

Solent W - u4 + E - . w ^ u ^ E - - et J - p - 2e,, + ^ ( é U ( p ) x U ( q ) ) , alors W J V - - ( E Ï Î r ' ) j " V j - ( E - - z' " V* est un é l é m e n t de < o ( ï ) ( U ( î ) . V . , ( E . . i ' ) S de la forme :

I

'

t £

M

)

où a et d sont i n v e r s i b l e s d a n s A - car II z ' Il < î- . Le lemme 2.1 i m p l i q u e : Les l e a n e s 2.3 et 2.13 nous p e r m e t t e n t de c o n c l u r e < U ( p ) * U ( q ) ,V-, ( E j r z' ) > - U ( p + q) . T h é o r è m e 2.3 : Soient A une C - a l g è b r e A . F . s i m p l e avec u n i t é , p et q d e u x p r o j e c t e u r s é q u i v a l e n t s de A, de somme 1. A l o r s U * est d ' i n d i c e 2 d a n s N ( u " ) et N ( U-) est un s o u s - g r o u p e m a x i m a l d a n s U . P r e u v e : L ' é g a l i t é N (U ) - U <J TU r é s u l t e de la p r o p o s i t i o n 1.1. Soit g € 0 - Nu( u " ) . La r e m a r q u e s u i v a n t le lemme 1.5 nous d o n n e l ' e x i s t e n c e de deux u n i t a i r e s a fc U( p) , d £ U( q) avec It a — p U < — et U d - q | < L tels q u e x - g ( a + d ) g " ^ N1 4(U") . Nous a v o n s || x - 1 || < i. et q x p - E, z avec z É A . , Il z II < 4 • On peut s u p p o s e r z non nul ( s i n o n on c o n s i d è r e x ) et n o u s o b t e n o n s V(E z ) £ ^ N u( u ) »8 >

(lemme 2 . 1 ) .

Le lemme 2 . 15 nous permet alors de c o n c l u r e

< N

U

( U

W

) , 8 > - U.

2 . 3 . 2 . M a x l m â l l t e de U lorsque p </> q

Lemme 2.16 : Soient A une C - a l g è b r e A . F . simple avec

u n i t é , k un entier J 1 , p et q deux p r o j e c t e u r s non nuls de

A, de somme 1 et non é q u i v a l e n t s .

Sl H est un sous-groupe de U c o n t e n a n t strictement

U ( p ) * U ( q ) , alors H contient le s o u s - g r o u p e dense UlI(A )

de U.

Preuve : Grâce au lemme 1.5 et à la p r o p o s i t i o n 1.1 il

existe dans H - U ( p ) x U ( q ) un élément de la forme I

, )

dans la d é c o m p o s i t i o n p + q - I

1

qui soit a r b i t r a i r e m e n t

proche de l ' i d e n t i t é . Nous avons a l o r s

V

n

( z ) fcH-U(p) x U ( q ) (lemme 2 . 1 ) .

G r â c e au lemme 2.1A il existe m C (N, m > k , deux p r o j e c t e u r s

non nuls é q u i v a l e n t s e,, et

ez

de A tels que e , , £ p , e

x

£ q et

deux u n i t a i r e s u

f

6 II(p) , u^ £. U( q) tels que

- 2 u , z e . V P ~ z*z u.* " E,.c où c est i n v e r s i b l e dans À * et

E

1

. - (E

-11

) une lsbmétrle p a r t i e l l e de A

m

reliant e^ et e .

Solent W - u

4

+ u , J - p -

2eA

+ q deux u n i t a i r e s de

»

» a l * * \

U(p)x U(q) aloru WJV„ (z)J V *(*) W - L

t

^ J é H et est

un élément proche de 1 si H z II est suffisamment p e t i t .

Nous avons donc V (È c ) £ H (lemme 2.1) et le lemme 2.3

donne :