Sous-groupes paraboliques et représentations de groupes branchés

Article

Reference

Sous-groupes paraboliques et représentations de groupes branchés

BARTHOLDI, Laurent, GRIGORCHUK, Rostislav

Abstract

Let G be a branch group (as defined by Grigorchuk) acting on a tree T. A parabolic subgroup P is the stabiliser of an infinite geodesic ray in T. We denote by $ ho_{G/P}$ the associated quasi-regular representation. If G is discrete, these representations are irreducible, but if G is profinite, they split as a direct sum of finite-dimensionalrepresentations $ ho_{G/P_{n+1}}ominus ho_{G/P_n}$, where P_n is the stabiliser of a level-n vertex in T. For a few concrete examples, we completely split $ ho_{G/P_n}$ in irreducible components.

$(G,P_n)$ and $(G,P)$ are Gelfand pairs, whence new occurrences of abelian Hecke algebra.

BARTHOLDI, Laurent, GRIGORCHUK, Rostislav. Sous-groupes paraboliques et

représentations de groupes branchés. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. I, Mathematics , 2001, vol. 332, no. 9, p. 789-794

DOI : 10.1016/S0764-4442(01)01946-2 arxiv : math/0012175v1

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:12355

Disclaimer: layout of this document may differ from the published version.

1 / 1

arXiv:math/0012175v1 [math.GR] 18 Dec 2000

Sous-groupes paraboliques et représentations de

groupes branhés

Laurent BARTHOLDI, Rostislav I. GRIGORCHUK

SetiondeMathématiques,UniversitédeGenève,CP240,1211Genève24,Suisse

Adresseéletronique: Laurent.Bartholdimath.unige.h

SteklovInstituteofMathematis,Gubkina8,Mosow117966,Russia

Adresseéletronique: grigorhmi.ras.ru

(Transmisle15mai2000)

Résumé. Soit

G

^{ungroupebranhé(ausensde[Gri00℄)agissantsurunarbre}

T

.Unsous- groupeparabolique

P

^estlestabilisateurd'unrayongéodésiqueinnide

T

. On note

ρ _G/P

^lareprésentationquasi-régulièreassoiée.

Si

G

^{est disret, es} représentations sont irrédutibles, mais si

G

^{est proni,}

ellessedéomposentenunesommediretedereprésentationsdedimensionnie

ρ _{G/P n+1} ⊖ ρ _G/P n

,où

P n

^estlestabilisateurd'unsommetdeniveau

n

^de

T

^.

Pour quelques exemplesonrets, on déomposeomplètement

ρ _G/P n

enom-

posantes irrédutibles.

(G, P n )

^et

(G, P)

^{sont despaires de Gelfand, d'où de}

nouvellesourenesd'algèbresdeHekeabéliennes.

Paraboli Subgroups and Representations of Branh

Groups

Abstrat. Let

G

^{beabranhgroup(inthesenseof[Gri00 ℄)atingonatree}

T

^.Aparaboli

subgroup

P

^{isthestabiliserofaninnitegeodesirayin}

T

^{. Wedenoteby}

ρ _G/P

theassoiatedquasi-regularrepresentation.

If

G

^{isdisrete,these} representationsareirreduible,butif

G

^{ispronite,they}

splitasadiretsumofnite-dimensionalrepresentations

ρ _G/P n +1 ⊖ ρ _G/P n

,where

P n

^{isthestabiliserofalevel-}

n

^vertexin

T

^.

For a fewonrete examples, weompletelysplit

ρ _G/P n

inirreduible ompo-

nents.

(G, P n )

^and

(G, P )

^{areGelfandpairs,whenenewourrenesofabelian}

Hekealgebra.

Abridged English Version

We initiate in this paperthe study of unitaryrepresentations of groupsof branh and

fratal nature. The importane of this lass of groups was madelear in [Gri00, Bar00a℄

andthenumerouspapersitedtherein.

Abranh group is agroup

G

^{ating niely ona}

d

^{-regular rootedtree}

T

^{, withanite-}

index subgroup

K

^suhthat

K ^d

^{embeds in}

K

^{by atingon the}

d

^{subtrees belowtheroot}

of

T

^{. We introdueparabolisubgroups}

P

^{,whih are}stabilizersof inniteraysin

T

^,and

Classiationmathématique1991. 20F50,20C12,11F25,43A65.

Phrasesetmotslés. Groupefratal;Groupebranhé;Sous-groupeparabolique;Représentationquasi-

régulière;AlgèbredeHeke;PairedeGelfand.

Les auteurs remerient le Fonds National Suisse pour la Reherhe Sientique et l'Université

HébraïquedeJérusalem.

NoteprésentéeparMikhaelGromov

^{2000Aadémie desSienes}

establish that they are weakly maximal. We then study the orresponding quasi-regular

representations

ρ _G/P

^.

If

G

^{is adisretebranh group,these} representationsare irreduible. If

G

^{is apronite}

branhgroup,

ρ G/P

^{isadiretsumofthetrivial}representationandofthenite-dimensional representations

ρ G/P n +1 ⊖ ρ G/P n

,where

P n

^{isthestabilizerofalevel-}

n

^{vertexinthetreeon}

whih

G

^ats.

Weformulateourresultsbyfousingexpliitlyonafew typialexamples,oneofwhih,

Γ

^{, is therstourreneof a}torsion-freebranh group. The fatsknownof ourexamples areassembledin thefollowingtable:

G G ˜ Γ K Γ K Γ

Just-innite

+ + + + − − +

Just-nonsolvable

+ + + + + + +

Branh

+ + + + − − +

WeakBranh

+ + + + + + +

Fratal

+ + + − + + +

CongrueneProperty

+ + + +

^{? ?}

+

Torsion

+ − − − − − +

(1)VirtuallyTorsion-free

− − + + + + −

(2) Intermediategrowth

+ + + + + + +

(3) Finitely

L

^-Presented

+ + + + + + +

(4) FiniteWidth

+ + + +

^{? ?}

−

Property(1) ranksamong themain ontributionsof this note. (2) isstudied in [Gri83,

Bar00b℄. (3)isstudiedin[Lys85,BG99,Bar00℄. (4),onjeturedfor

G

asearlyas1989by theseondauthor,isstudiedin[Roz96,BG00,Bar00d℄. Athoroughtreatmentof

G

appears in[Har00℄.

Forthese examples,weompletelysplit thequasi-regularrepresentations

ρ G/P n

in irre-

duible omponents.

(G, P n )

^and

(G, P )

^{areGelfand pairs,givingnewinstanesofabelian}

Hekealgebra.

1. Introdution

Nousamorçonsdansetartilel'étudedesreprésentationsunitairesdegroupesfratalset

branhé. L'importanedeettelassedegroupesaétémiseenévidenedans[Gri00,Bar00a℄

etlesnombreusesréférenesquis'ytrouvent.

Nousdénissonsdessous-groupesparaboliques

P

^{,démontronsleurmaximalitéfaible,et}

étudionslesreprésentationsquasi-régulières

ρ G/P

^assoiées.

Si

G

^{est un groupebranhé disret, es} représentationssontirrédutibles. Si

G

^{est un}

groupebranhéproni,

ρ G/P

^{est lasommedirete dela}représentationtrivialede

G

^etdes

représentationsdedimensionnie

ρ G/P n +1 ⊖ ρ G/P n

,où

P n

^estlestabilisateurd'unsommet deniveau

n

^{dansl'arbresurlequel}

G

^agit.

Nousavonsformulé nosrésultats ennous onentrantsurquelques exemplestypiques ;

l'un d'eux,

Γ

^{, est le premierexemple de groupebranhé} virtuellement sanstorsion. Nous donnonsplusdedétailsdans[BG99℄.

Nousdéomposonsomplètementlesreprésentations

ρ G/P n

enomposantesirrédutibles.

Pour es exemples,

(G, P n )

^et

(G, P )

^{sontdes pairesde Gelfand, produisantde nouvelles}

ourrenesd'algèbresdeHekeabéliennes.

2. Définitions prinipales

Lesgroupesquenousonsidéronssonttousdessous-groupesdugroupe

Aut (T )

d'automorphismes d'un arbre régulier

T

^{. Soit}

Σ = {1, . . . , d}

^{un alphabet ni. L'ensemble des sommetsde}

l'arbre

T Σ

^{estl'ensembledessuitesniessur}

Σ

^{;deuxsuitessontreliéesparunearêtesiune}

suitepeutêtreobtenueàpartirdel'autreparajoutàdroited'unelettrede

Σ

^{. Larainede}

l'arbreest lasuitevide

∅

^{,etlesdesendantsdusommet}

σ

^sonttousles

σs

^,pour

s ∈ Σ

^.

Choisissonsun ensemble

Σ

^{, et soit}

T = T Σ

^{. Pour tout} sous-groupe

G < Aut (T )

^{, soit}

Stab _G (σ)

^lesous-groupede

G

^onstituédesautomorphismesxantlasuite

σ

^,etsoit

Stab _G (n)

lesous-groupede

G

^{onstituédessuitesxanttouteslessuitesdelongueur}

n

^:

Stab _G (σ) = {g ∈ G| gσ = σ}, Stab _G (n) = \

σ∈Σ ⁿ

Stab _G (σ).

Les

Stab _G (n)

^sontdessous-groupesdistinguésd'indienidans

G

^{;enpartiulier}

Stab _G (1)

est d'indieauplus

d!

^{. Soit}

G n

^{le quotient}

G/ Stab _G (n)

^{. Si}

g ∈ Aut (T )

^{xela suite}

σ

^,on

note

g |σ

^l'élémentorrespondantde

Aut (T )

^{assoié àlarestritionauxsuitesommençant}

par

σ

^{, e qui s'érit en formules}

σg |σ (τ ) = g(στ)

^{. Comme le sous-arbre en-dessous de}

n'importequel sommetest isomorpheàl'arbreinitial

T Σ

^{, onobtientainsiune appliation}

ψ :

( Stab _{Aut (T )} (1) → Aut (T ) ^Σ h 7→ (h |1 , . . . , h |d )

(1)

quiest unisomorphismedegroupes.

Un sous-groupe

G < Aut (T )

^est sphériquement transitif si l'ation de

G

^sur

Σ ⁿ

^est

transitivepourtout

n ∈ N

. Onsupposeratoujoursqueetteonditionestsatisfaite.

G

^{est fratal si pourhaque sommet}

σ

^de

T Σ

^{on a}

Stab _G (σ) |σ ∼ = G

^{, où} l'isomorphisme est induitparl'identiation de

T Σ

^{ave lesous-arbreenrainéen}

σ

^{. Onaalorspourtout}

n

^uneinjetion

Stab _G (n) < G ^{d n}

^.

Si

σ

^{est unesuiteet}

g ∈ Aut (T )

^{est un}automorphisme,onnote

g ^σ

^{l'élémentde}

Aut (T )

agissantomme

g

^{surlessuitesommençantpar}

σ

^,et trivialementsurlesaures:

g ^σ (στ) = σg(τ)

^{, et}

g ^σ (τ) = τ

^si

τ

^{neommenepaspar}

σ

^.

Soit

G < Aut (T )

^{ungroupeagissantdèlement et}sphériquementtransitivementsur un arbre enrainé

T Σ

^{. Le}stabilisateur rigide de

σ

^est

Rist _G (σ) = {g ^σ | g ∈ G} ∩ G

^{, et onnote}

Rist _G (n) = Q

σ∈Σ ⁿ Rist _G (σ)

^.

Dénitions. Soit

G < Aut (T )

^ungroupesphériquementtransitif.

1.

G

^estrégulièrement branhé s'ilpossèdeunsous-groupe

K < Stab _G (1)

^d'indienitel

que

K ^Σ < ψ(K)

^.

2.

G

^{estbranhé si}

Rist _G (n)

^{estd'indienidans}

G

^pourtout

n

^.

3.

G

^{estfaiblementbranhé sitousses}stabilisateursrigides

Rist _G (σ)

^sontinnis.

4.

G

^{estrugueux sitousses}stabilisateursrigidessontnis.

Remarquonsque,pourlesgroupesfratals,1implique2implique3dansladénition i-

dessus,et qu'un groupeest soit faiblementbranhésoit rugueux. Remarquonsaussiqu'en

prinipeesnotionsdépendentduhoixde

T

^{etdel'ationde}

G

^.

Toutesesdénitionssontaussivalablesdanslaatégoriedesgroupespronis,maisdans

e as il faut onsidérer

Aut (T )

^{omme ungroupeproni ave satoplogie naturelle,et}

G

doitêtreunsous-groupefermé.

3. Exemples prinipaux

Commeexempledegroupesrugueux,ilya

Z

,

D ∞ = Z /2 ∗ Z /2

^{etlegroupedel'allumeur}

deréverbères

Z /2≀ Z

. Onsefoaliseiipluttsurlesgroupesbranhésetfaiblementbranhés.

3.1. Le groupe

G

. Ce groupea été déni parle seond auteur en 1980 [Gri80℄, et agit sur l'arbre

T 2

^{. Soit}

a

l'automorphisme de

T 2

^{permutant les deux branhes à la raine.}

Soitréursivement

b

l'automorphismeagissantomme

a

^{surlabranhegauheet omme}

c

surla branhedroite,

c

l'automorphismeagissantomme

a

^{àgauheet omme}

d

^àdroite,

et

d

l'automorphisme agissant trivialement à gauhe et omme

b

^{à droite. En formules,}

ψ(b) = (a, c)

^,

ψ(c) = (a, d)

^et

ψ(d) = (1, b)

^{. Soit}

G

legroupeengendrépar

{a, b, c, d}

^{. (Un}

quelquonquedesgénérateurs

{b, c, d}

^{peutêtreomis,ar}

{1, b, c, d}

^{est legroupedeKlein.)}

3.2. Legroupe

G ˜

. Cetautregroupeaétédéniparlesauteursdans[BG00℄,etagitaussi sur

T 2

^{. Avelamêmenotationquei-dessus,ondénit}

˜ b, ˜ c, d ˜

^par

ψ(˜ b) = (a, ˜ c)

^,

ψ(˜ c) = (1, d) ˜

et

ψ( ˜ d) = (1, ˜ b)

^{. Soit}

G ˜

legroupeengendrépar

{a, ˜ b, ˜ c, d} ˜

^. Clairement,tousesgénérateurs sontd'ordre

2

^et

{ ˜ b, ˜ c, d} ˜

^{engendreungroupeabélien}élémentaired'ordre

8

^{. Aussi,}

G ˜

apour sous-groupe

G = ha, ˜ b˜ c, c ˜ d, ˜ d ˜ ˜ bi

^{. Soit}

K ˜

lesous-groupenormal

h[a, ˜ b], [a, d]i ˜ ^{G ˜}

^de

G ˜

.

3.3. Le groupe

Γ

^{. Les troix groupes suivants sont des} sous-groupes de

Aut (T 3 )

^{. Soit}

a

l'automorphisme de

T 3

^{permutant yliquement les trois branhes} supérieures. Soit

r

l'automorphisme de

T 3

^déni réursivement par

ψ(r) = (a, 1, r)

^{. Soit}

Γ

^lesous-groupede

Aut (T 3 )

^engendrépar

{a, r}

^{. Soit}

K

^lesous-groupenormal

har, rai

^de

Γ

^.

3.4. Le groupe

Γ

^{. Soit}

s

l'automorphismede

T 3

^déniréursivementpar

ψ(s) = (a, a, s)

^,

et soit

Γ

^le sous-groupe de

Aut (T 3 )

^{engendré par}

{a, s}

^{. Soit}

K

^le sous-groupe normal

hsa ⁻¹ , a ⁻¹ si

^de

Γ

^.

3.5. Legroupe

Γ

^{. Soit}

t

l'automorphismede

T 3

^déniréursivementpar

ψ(t) = (a, a ⁻¹ , t)

^,

et soit

Γ

^lesous-groupede

Aut (T 3 )

^{engendré par}

{a, t}

^{; il aété étudié dans lesannées 80}

parNarainGuptaandSaidSidki[GS83a,GS83b℄.

4. Propriétésalgébriques

Nous résumons les propriétés prinipales de nos exemples dans le tableau i-dessous.

Remarquonsquetous esexemples sontrésiduellement nis. Un pointd'interrogation(?)

indiquequelapropriétén'estpasonnuepouregroupe.

Rappelonsqu'ungroupe

G

^{estjuste-innis'ilestinni,maisquetouslesquotientspropres}

sont nis.

G

^est juste-non-résoluble s'il n'est pas résoluble, mais que tous ses quotients propres le sont.

G

^{a la propriété de ongruene si tout} sous-groupe de

G

^{d'indie ni}

ontient

Stab _G (n)

^pourunertain

n

^.

G

^aroissane intermediaire sipourunequelonque métriquedes motssur

G

^{le volume desboulesroîtàuntauxplusrapide quepolynmial}

mais pluslent qu'exponentiel.

G

^{est delargeur nie s'il existe une borne uniforme sur le}

rangdesquotients

γ n (G)/γ n+1 (G)

^{desasuiteentrale}desendante.

G

^estde

L

-présentation nies'ilpeutêtreprésentéparunensembleni

S

^degénérateursetlesitéréesd'unensemble niderelationsparunensemblenidesubstitutionssur

S

^.

G G ˜ Γ K Γ K Γ

Juste-inni

+ + + + − − +

Juste-non-résoluble

+ + + + + + +

Régulièrementbranhésur

h[a, b]i ^G K ˜ Γ ^′ Γ ^′ − − Γ ^′

Faiblementbranhé

+ + + + + + +

Fratal

+ + + − + + +

Propriétédeongruene

+ + + +

^{? ?}

+

Torsion

+ − − − − − +

(1)Sous-groupesanstorsiond'indie

∞ ∞

^{3 1 3 1}

∞

(2) Croissaneintermédiaire

+ + + + + + +

(3)

L

-présentationnie

+ + + + + + +

(4) Largeurnie

+ + + +

^{? ?}

−

La propriété (1) fait partie des ontributions majeures de ette note. (2) est étudiée

dans[Gri83,Bar00a℄. (3)est étudiée dans[Lys85,BG99,Bar00℄. (4),onjeturéepour

G

dès1989parleseondauteur,estétudiéedans[Roz96,BG00,Bar00d℄. Laréférene[Har00℄

dévoueunhapitreentierà

G

.

5. Sous-groupesparaboliques

Soit

T = Σ ^∗

^{unarbreenrainé. Un rayon}

e

^dans

T

^{estunegéodésiqueinniepartantde}

larainede

T

^{, oudemanière}équivalenteunélémentde

∂T = Σ ^N

^.

Soit

G < Aut (T )

^unsous-groupequelonqueetsoit

e

^unrayon.Lesous-groupeparabolique assoié est

P e = Stab _G (e)

^.

Lespointssuivantsméritentune attentionpartiulière:

• T

e∈∂T P e = T

g∈G P ^g = 1

('est-à-direque

P

^{aunnoyautrivial).}

•

^Soit

e = e 1 e 2 · · · ∈ Σ ^N

^{unrayoninniestsoient}

P n = Stab _G (e 1 . . . e n )

^lessous-groupes

stabilisantunpointdeniveau

n

^{. Alorsles}

P n

^sontd'indie

d ⁿ

^dans

G

^(puisque

G

^agit

transitivementsur

Σ ⁿ

^{)et satisfont}

P e = T

n∈ N P n

^.

• P

^{estd'indieinnidans}

G

^{,etalamêmeimageque}

P n

^{danslequotient}

G n

^.

Soit

G

^{ungroupebranhé,etsoit}

H

^unsous-groupequelonque.

H

^{estfaiblementmaximal}

si

H

^{estd'indieinnidans}

G

^{,maissitousles}sous-groupesde

G

^{ontenantstritement}

H

sontd'indienidans

G

^{. (Onremarquequetout}sous-groupeinnidetypenipossèdedes sous-groupesfaiblementmaximaux,parlelemmedeZorn).

Théorème 1. Soit

P

^un sous-groupe parabolique d'un groupe régulièrement branhé

G

^.

Alors

P

^{estfaiblementmaximal.}

Si

G

^{estungroupebranhé,le}sous-groupeparabolique

P

^{peutêtredéomposéexpliite-}

ment en une extension sindée itérée par des groupesnis. Par exemple, pour le groupe

prototypique

G

du paragraphe 3.1 pour lequel

d = 2

^{, on pose}

e = dd . . .

^et

P = P e

^,

obtenantle

Théorème 2.

P/P ^′

^{est un}

2

^-groupeinni élémentaire, engendré parles imagesde

c

^,

d

^et

desélémentsde la forme

(1, . . . , 1, (ac) ⁴ )

^dans

Rist _G (n)

^{pour tout}

n ∈ N

. Onala déompo- sition suivante:

P =

B ×

K × (K × . . . ) ⋊ h(ac) ⁴ i

⋊ hb, (ac) ⁴ i

⋊ hc, (ac) ⁴ i,

oùhaquefateur

B, K, K, . . .

^deniveau

n

^dansladéompositionagitsurlesous-arbrejuste sous

e n

^{mais ne ontenant pas}

e n+1

^.

B

^{estii la lture normalede}

b

^,et

K

^{estla lture}

normalede

[a, b]

^.

6. Représentations quasi-régulières

Si

H

^{est un} sous-groupe du groupe disret

G

^{, on note}

ρ G/H

^la représentation quasi- régulièrede

G

^sur

ℓ ² (G/H)

^;si

H = 1

^,elleestlareprésentationrégulièregauhede

G

^.

Leommensurateur dusous-groupe

H

^de

G

^est

comm G (H) = {g ∈ G| H ∩ H ^g

^{estd'indienidans}

H

^et

H ^g }.

Defaçonéquivalente,

comm G (H)

^{estl'ensembledes}

g ∈ G

^{telsqueleslassesàdroite}

gH

et

g ⁻¹ H

^{ontdesorbitesniesdans}

{kH} k∈G

^{pourl'ationde}

H

^sur

G/H

^parmultipliation àgauhe.

Un ritère de George Makey arme que, pour un groupe inni

G

^{, la} représentation quasi-régulière

ρ G/H

^estirrédutiblesietseulementsi

comm G (H) = H

^.

Théorème 3. Si

G

^{estungroupedisretfrataletfaiblementbranhé, alors}

comm G (P ) = P

^.

Corollaire4. Il y a une quantité non dénombrable de représentations irrédutibles non-

équivalentesdelaforme

ρ G/P

^,où

G

^{estfratal, faiblementbranhé,et}

P

^estunsous-groupe

Unesituation omplètement diérente seprésentesi

G

^{est ungroupeproni; soienten}

eet

ρ _G/P n

les représentations de dimension nie. Elles forment une tour asendante de

représentations, ave

ρ G/P n+1 = ρ G/P n ⊕ π ^⊥ _n

^{pour des} représentations

π _n ^⊥

^{. On remarque}

aussiquelesous-groupe

P = T

n≥0 P n

^estfermé.

Théorème 5. Soit

G

^{ungroupepronibranhéetsoit}

P

^unsous-groupeparabolique. Alors la représentation quasi-régulière

ρ G/P

^{se déompose en une somme de} représentations de dimension nie:

ρ G/P = M

n≥0

π ^⊥ _n .

Supposons maintenantque e groupeproni branhé est la omplétion pronie

G b

^d'un

groupe disret

G

satisfaisant la propriété de ongruene. Alors les représentations irré- dutiblesde

G b

^sontenorrespondenebi-univoqueavelesreprésentationsirrédutiblesdes groupesnis

G n = G/ Stab _G (n)

^{. Or}

ρ G n

^estunesous-représentationde

ρ G/P n ⊗ · · · ⊗ ρ G/P n

(ave

d ⁿ

^{fateurs), puisque}

Stab _G (n) = T

g∈G/P n P _n ^g

^{. On est ainsi amené à étudier des}

représentations

ρ G/P n

et de leurs omposantes irrédutibles. On poursuit ette étude sur

nosexemplesdebasedanslasetionsuivante.

7. AlgèbresdeHeke et pairesde Gelfand

Considéronsmaintenantlesreprésentationsquasi-régulières

ρ G/P n

dedimensionnie,qui

sefatorisentàtraverslegroupeni

G n

^.

Dénition. Soit

G

^{un groupe et}

H

^un sous-groupe. L'algèbre de Heke (aussi appelée algèbred'intersetion)

H(G, H)

^{estl'algèbre}

End G (ℓ ² (G/H))

^,où

ℓ ² (G/H)

^estun

G

^-module

pourla multipliationà gauhe.

H(G, H)

^{peut êtrepensée ommel'algèbre des fontions}

(H, H)

-biinvariantessur

G

^{,aveleproduitdeonvolution}

(f · g)(x) = X

y∈G

f (xy)g(y ⁻¹ ).

H(G, H)

^{est engendréeparlesfontions}

(H, H)

-biinvariantessur

G

^{,oùdefaçonéquiva-}

lenteparlesdoubleslasses

HgH

^{. Lerésultatsuivantsouligne}l'importanedesalgèbresde Hekedansl'étudedeladéompositiondesreprésentations[CR90,Setion11D℄:supposons

que

H

^{est d'indie ni dans}

G

^{. Alors}

H(G, H)

^{est une algèbre} semi-simple. Il y a une bijetion anonique entre les omposantes irrédutiblesde

ρ G/H

^{et lesfateurs simplesde}

H(G, H)

^{, etpréservantleurs}multipliités.

Ainsi, si

H(G, P )

^{est abélienne, sa} déomposition en

G

^{-modules simples a autant de}

omposantes qu'ily adedoubles lasses

P gP

^dans

G

^{. Les doubles lassesde}

P n

^dans

G

^,

elles, sontdonnées parlesorbites de

P n

^sur

G/P n

^{, ou,en d'autrestermes, parlesorbites}

de

P n

^sur

Σ ⁿ

^{. Celles-ipeuventêtredérites}expliitement:

Lemme6. Pour lesgroupes

G

et

G ˜

,lessous-groupes

P n

^et

P ˜ n

^ont

n + 1

^{orbites dans}

Σ ⁿ

^;

esont

{2 ⁿ }

^etles

2 ⁱ 1Σ ⁿ⁻¹⁻ⁱ

^pour

0 ≤ i < n

^{. Lesorbites desgroupes pronis}

P

^et

P ˜

^dans

Σ ^N

^sont

{2 ^∞ }

^{et les}

2 ⁱ 1Σ ^N

^pourtout

i ∈ N

.

Pour les trois exemples

Γ

^,

Γ

^et

Γ

^{, le} sous-groupe

P n

^a

2n + 1

^{orbites dans}

Σ ⁿ

^{; e sont}

{3 ⁿ }

^etles

3 ⁱ 1Σ ⁿ⁻¹⁻ⁱ

^et

3 ⁱ 2Σ ⁿ⁻¹⁻ⁱ

^pour

0 ≤ i < n

^{. Lesorbitesdesgroupespronis}

P

^dans

Σ ^N

^sont

{3 ^∞ }

^{et les}

3 ⁱ 1Σ ^N

^et

3 ⁱ 2Σ ^N

^{pour tout}

i ∈ N

.

Théorème 7.

ρ G /P n

et

ρ G/ ˜ P ˜ n

se déomposent en somme direte de

n + 1

^omposantes

irrédutibles,une de degré

2 ⁱ

^pourtout

i ∈ {1, . . . , n − 1}

^{etdeuxde degré}

1

^.

ρ Γ/P

^,

ρ _Γ/P

^et

ρ

Γ/P

^{sedéomposentensommediretede}

2n+ 1

^omposantesirrédutibles, deuxde degré

3 ⁱ

^pourtout

i ∈ {1, . . . , n − 1}

^{ettroisde degré}

1

^.

Onavuquel'algèbredeHeke

H(G, P n )

^{est grossomododedimension}

n

^{. Sastruture}

est enore plus laire si on introduit la dénition suivante : soit

G

^{un groupe et}

H

^un

sous-groupe. La paire

(G, H)

^{est une paire de Gelfand si toutes les} sous-représentations irrédutibles de

ρ G/H

^ont multipliité

1

^{. De façon} équivalente,

(G, H)

^{est une paire de}

Gelfandsi

H(G, H)

^{estabélienne.}

Théorème 8. Pour nos inq exemples

(G, P )

^et

(G, P n )

^{sont des paires de Gelfand pour}

tout

n ∈ N

.

Ainsi

H( G , P n ) ∼ = H( ˜ G , P ˜ n ) ∼ = C ⁿ⁺¹

et

H(Γ, P n ) ∼ = H(Γ, P n ) ∼ = H(Γ, P n ) ∼ = C ²ⁿ⁺¹

. On a

H(G, P ) ∼ = C

pour tous les groupes disrets onsidérés, et

H( G, P b ) ∼ = C ^∞

pour leur omplétionpronie.

Referenes

[Bar00a℄ Laurent Bartholdi, Croissane des groupes agissant sur des arbres, Thèse de Dotorat (PhD),

UniversitédeGenève,2000.

[Bar00b℄ Laurent Bartholdi, Croissane des groupes agissant sur des arbres, Ph.D.thesis, Université de

Genève,2000.

[Bar00℄ LaurentBartholdi,

L

-presentationsandbranhgroups,submittedtoJ.Algebra,2000.

[Bar00d℄ LaurentBartholdi,Liealgebrasandgrowthinbranhgroups,preprint,2000.

[BG99℄ LaurentBartholdiandRostislavI.Grigorhuk,OnparabolisubgroupsandHekealgebrasofsome

fratalgroups,submittedtoPro.Conf.Bielefeld,1999,math.GR/9911206.

[BG00℄ LaurentBartholdiandRostislavI.Grigorhuk,Liemethodsingrowthofgroupsandgroupsofnite

width,ComputationalandGeometriAspetsofModern Algebra(MihaelAtkinsonet al.,ed.),

LondonMath.So.Let.NoteSer.,vol.275,CambridgeUniv.Press,Cambridge,2000,pp.127.

[CR90℄ CharlesW.CurtisandIrvingReiner,Methodsofrepresentationtheory.Vol.I,JohnWiley&Sons

In.,NewYork,1990,Withappliationstonitegroupsandorders,Reprintofthe1981original,

AWiley-IntersienePubliation.

[Gri80℄ RostislavI.Grigorhuk,OnBurnside'sproblemonperiodigroups,Funktsional.Anal.iPrilozhen.

14(1980),no.1,5354,Englishtranslation: FuntionalAnal.Appl.14(1980),4143.

[Gri83℄ RostislavI. Grigorhuk, Onthe Milnorproblem of group growth, Dokl.Akad.NaukSSSR 271

(1983),no.1,3033.

[Gri00℄ RostislavI.Grigorhuk, Justinnitebranhed groups,HorizonsinProniteGroups(DanSegal,

MarkusP.F.duSautoy,andAnerShalev,eds.),Birkhaüser,Basel,2000,pp.121179.

[GS83a℄ NarainD.GuptaandSaidN.Sidki,OntheBurnsideproblemforperiodi groups,Math.Z.182

(1983),385388.

[GS83b℄ NarainD. Guptaand SaidN.Sidki,Someinnite

p

^{-groups,AlgebraiLogika 22(1983),no.5,}

584589.

[Har00℄ PierredelaHarpe,Topisingeometrigrouptheory,UniversityofChiagoPress,2000.

[Lys85℄ IgorG.Lysionok,AsystemofdeningrelationsfortheGrigorhukgroup,Mat.Zametki38(1985),

503511.

[Roz96℄ AlexanderV.Rozhkov,Lowerentralseriesof agroupoftreeautomorphisms,Mat.Zametki60

(1996),no.2,225237,319.