￿￿￿ EXEMPLES DE SOUS-GROUPES DISTINGUÉS ET DE GROUPES QUOTIENTS. APPLICATIONS.

��� EXEMPLES DE SOUS-GROUPES DISTINGUÉS ET DE GROUPES QUOTIENTS. APPLICATIONS.

SoitGun groupe etHun sous-groupe deG.

I. Définitions et premières propriétés

I. A. Classes à gauche

Définition d’une classe à gauche, ensemble quotient, indice, théorème deL�������.

I. B. Sous-groupes distingués

Définition groupe distingué, exemples (noyau d’un morphisme ...)

Cas des groupes abéliens (réciproque fausse, cf quaternions), sous-groupe distingué équivaut à réunion de classes de conjugaison

Exemple des sous-groupes d’indice2qui sont toujours distingués Notion de groupe quotient, exemple deZ/nZ

Bijections entre sous-groupes deGcontenantHet sous-groupes deG/H. Exemple des sous- groupes deZ/nZ.

I. C. Liens avec d’autres sous-groupes

Groupe caractéristique, caractéristique implique distingué centre d’un groupe : caractéristique

Commutateurs, groupe dérivé : c’est un groupe caractéristique etG/D(G)est abélien. C’est le plus petit sous-groupe distingué pour lequelG/Hest abélien.

Exemples de groupes dérivés pour le groupe symétrique

Normalisateur deH: plus grand sous-groupe deGdans lequelHest distingué.

I. D. Passage au quotient

Propriété universelle du groupe quotient, isomorphismeG/ker(f)ƒIm(f).

Application au groupe cycliques d’ordren: isomorphes àZ/nZ, isomorphismeR/2fiZƒUde l’exponentielle, déterminant

Théorèmes d’isomorphismes :

• siHest distingué dansG,H^Õest distingué dansG^Õetf :G≠æG^Õtels quef(H)µH^Õ, alors il existef :G/H≠æG^Õ/H^Õunique tel quefi^Õ¶f =f ¶fi.

Exemple deu œ L(E)possédant un sous-espace vectorielF stable : endomorphisme quotientuE/F[MM��, §II.�, p��]. Exemple de l’opérateur par translation dansL^plaissant stable les fcts cstes pp : passage au quotient dansL^p,

• siH µKsont distingués dansG:Hest distingué dansK,K/Hest distingué dansG/H etG/Kƒ(G/H)/(H/K),

• siHest distingué dansG,K < G. AlorsHest distingué dansKH,HflKest distingué dansKetHK/H ƒK/(KflH).

II. Utilisation des sous-groupes distingués

II. A. Groupes simples

Groupes simples. Exemple siGsimple non abélien :D(G) =G.

P�����������. PournØ5,Anest simple.

Application : sous-groupes distingués deSnpourn”= 4:{id},An,Sn. Un groupe infini possédant un sous-groupe strict d’indice fini n’est pas simple.

II. B. Théorèmes de S����

On supposeGfini d’ordren.

Soitpun nombre premier diviseur den. On noteran=p^amoùp-m.

D����������. [p-������,p-����-������ ��S����]

Sinest une puissance dep(m= 1), on dit queGest unp-groupe.

Plus généralement, on appellep-sous-groupe deS����(oup-S����) un sous-groupe deG de cardinalp^a.

T��������. [�������� ��S���� �]Il existe au moins unp-S����dansG.

C����������. Il existe au moins un sous-groupe deGd’ordrepⁱpour toutiœJ1, aK. T��������. [�������� ��S���� �]

(i) SiH < Gest unp-groupe, alors il existe unp-S����Stel queH < S, (ii) Lesp-S����deGsont tous conjugués,

(iii) Notons le nombre dep-S����deG. Alors |met ©1 modp.

C����������. SoitSunp-S����deG. AlorsSCG≈∆Sest l’uniquep-S����deG.

A�����������. Tout groupe d’ordre63ou255n’est pas simple.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���

Agrégation – Leçons ���– Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

II. C. Produits direct et semi-direct

D����������. [������� ������]

• SoitGun groupe etN, H < Gtels queN, Hcommutent,NflH ={1}etG=N H. Alors on dit queGest le produit direct deNparH.

• SoitN etH des groupes. Le produit direct deN etH est le produit cartésienG = N◊H, muni de la loi(n, h).(n^Õ, h^Õ) = (nn^Õ, hh^Õ).

L�����. [����� �������]

Z/mnZƒZ/mZ◊Z/nZsi et seulement sim·n= 1.

D�����������. [������� ����-������]

• SoitGun groupe,N CGetH < Gtel queNflH ={1}etG=N H. Alors on dit que Gest le produit semi-direct deNparH.

• SoitNetHdes groupes et„:H ≠æAut(N). On définit le produit(n, h).(n^Õ, h^Õ) = (n„(h)(n^Õ), hh^Õ)surG=N◊H.(G, .)est alors une groupe appelé produit semi-direct deNparH. On noteG=No„H.

E��������. Sn=AnoZ/2Zet le produit n’est pas direct.

E��������. Groupe diédral

E��������. Contre-exemple :Z/8Zet le groupe des quaternionsH8ne peuvent être écrits comme un produit semi-direct non trivial.

P������������. N o^„Hest bien un groupe dontN = N ◊{1H}est un sous-groupe distingué etH ={1N}◊Hest un sous-groupe, distingué si et seulement si„= 1.

II. D. Théorie des représentations

[Rom��, Ch�, p���] [Ser��, Ch�, p��] [Pey��, §VIII.�.�/VIII.�.�, p���–���]

Caractères de degré1. IsomorphismeG/D(G)\ ƒGˆvia la projection (par passage au quotient) Représentation, caractère associé, produit scalaire sur les fonction centrales, caractères irré- ductibles : famille orthonorméepuisbase orthonormée, exemple des groupes abéliens Cas de la représentation naturelle deG/Npar permutation

flreprésentation deG/N impliquefl = fl¶ fireprésentation de même degré, irréductible si et seulement sifll’est.

Table de caractères, exemple

SoitGun groupe fini. Soient‰1, . . . ,‰rses caractères irréductibles.

L������. Soit‰associé à une représentation(fl, V)deG. Alorsker(fl) = ker(‰) = {gœG|‰(g) =‰(1)}.

P������������. Les sous-groupes distingués deGsont de la formefliœIker‰ioùIµ J1, rK.

A������������. Table des caractères deS4.

III. Le groupe linéaire

Eest unK-espace vectoriel de dimension finien.

Les transvections engendrentSL(E), sont conjuguées deux à deux dansSL(E)pournØ3 Centre deGL(E), deSL(E), groupe (spécial) projectif

PSLn(K)est simple pournØ3 Suite exacte dePGLn(K) Quelques isomorphismes simples

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Treillis de quelques groupes en soulignant les groupes distingués

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Q DécomposerGLⁿ(K)en un produit (semi-)direct.

R GLⁿ(K)ƒSLⁿ(K)oK^úet on a la suite exacte1æSLn(K)æGLn(K) ^detæ K^úæ1.

Q Et pourZ?

R 1æZ æ^ÿ Z æ^fi Z/nZæ1oùÿ:m‘≠ænm

Q SoitEun espace a�ine contenant0. DécomposerGA(E).

R On montre que1æT(E)æGA(E)æGL(E)æ1.

Q Pour les isométries du cube?

R On vérifie queIsom⁺(C)oÈsÍ ƒIsom(C)oùsest une symétrie.

Ici le produit est direct car le groupe est abélien.

Q SoitGun groupe d’ordre300.Gest-il simple?

R Écrivons300 = 2²◊3◊5²et regardons les5-S����. Notons 5leur nombre. On sait que

5 | 12et 5 © 1 mod 5, donc 5 œ {1,6}. SiGest simple, 5 = 6etGagit sur 5. Regardonsf :G≠æ S ₅ ƒS₆. Son noyau ne peut êtreG, c’est donc{1}et les5-sylow sont distingués : contradiction. DoncGn’est pas simple.

�������������

[Lan��] S.L���:Algèbre. Dunod,�^èmeédition,����.

[MM��] R.M�����et R.M������:Algèbre linéaire : Réduction des endomorphismes. De Boeck,

�^èmeédition,����.

[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.

[Pey��] G.P����:L’algèbre discrète de la transformée deF������. Ellipses,����.

[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

����.

[Ser��] J.-P.S����:Représentations linéaires des groupes finis. Hermann,����.

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