Propriétés des tétraèdres conjugués dans les surfaces du second degré et solution de la question 524 (Faure)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

P AINVIN

Propriétés des tétraèdres conjugués dans les surfaces du second degré et solution de la question 524 (Faure)

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 19 (1860), p. 290-298

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PROPRIÉTÉS DES TETRAEDRES CONJUGUÉS DANS LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

et solution de la question 5 2 4 (Faure) ;

PAR M. PAINVIN, Professeur.

1. Un tétraèdre est dit conjugué lorsque chacun de ses sommets est le pôle du plan qui passe par les trois autres.

Je désignerai par Mt, M8, M3, M4 les quatre sommets d'un semblable tétraèdre, et par (xu /1 ? zx ), ( x2, y ^ zt)

<&»)? (r4?JK45 ^4) leurs coordonnées respectives.

1 °. Surfaces à centre.

2. Prenons, par exemple, l'ellipsoïde

Posons

X'

Xi

z2

« 2 _ i _

7 3

z, a.

X* o u <7, = a 2 = az — aK == 1,

c l

Si Ton se rappelle que l'équation d'un plan passant par les trois points M², M³, M⁴ peut se mettre sous la forme

X X2

y y*

z z.

qu'on*identifie cette équation avec celle du plan polaire

du point Mj, savoir :

et qu'on opère de la même manière pour les quatre som- mets Mi, M*, M³, M^M on obtient les douze relations sui- vantes

(3)D^r*^r = - * ' ^ , D , .^{r r}= - 6 ' ^ , D,t^r = -c>^d-2, dxr dyr dzr

où

r = i, 2, 3, 4-

Remarquons tout de suite que D est égal à six fois le volume du tétraèdre Mi M² M³ M⁴ ; D^t à six fois le volume du tétraèdre OM^a M³ M^k ; D^s à six fois le volume de OM8MtMt, etc. ; O est le centre de l'ellipsoïde.

3. Les formules bien connues du développement d'un déterminant au moyen de ses déterminants dérivés, ap- pliquées au déterminant D, en ayant égard aux relations (3), nous conduisent aux égalités suivantes :

(4)

1

(5)

(6)

(8) ' D,

D, D D,

( '•? + y\ +

„•-

S — : i

D, 4- D2^

4-D2

— I 2

, 2 , 3

D,

4 -

4 - H- r2j

x2z

, 3 ,

» 4 ;

+ D,4-D⁴ = D;

D³.rJ + D⁴^-f.a«D D32j4-D4 zj + c ' E , 4- D3.r3j.5 4-D4a*4>

24 - D3^ z34 - D4x4 <

4;

= o,

= o ,

> = o ;

'4=O,

Les six dernières relations (8) sont suffisantes pour exprimer que le tétraèdre Mj M2 M3 M4 est conjugué; car elles indiquent que le plan polaire d'un quelconque de ses

sommets passe par les trois autres.

4. Cherchons maintenant l'équation de la sphère cir- conscrite au tétraèdre en question. Si,

x7 -h j2 -f- z1 2 ny 4- q ~ o étant l'équation de cette sphère, on exprime qu'elle passe par les quatre sommets, l'élimination de in, n, /?, q entre les cinq équations obtenues nous donnera pour l'é- quation de la sphère circonscrite

.r' -f- y- -

(9)

on a pose

27

2J2

2 r-,

1 I 1

) . = 1 , 2 , 3 , 4 .

On voit facilement qu'en représentant par X, Y, Z les coordonnées du centre de la sphère et par L2 le carré de la tangente menée de l'origine à cette sphère, on aies re- lations suivantes :

( i l )

2 0X = r )

2 D Y = r

dj\ dy2 dyz dzA

dD r/D

2dV

2DZ = rî — + r; h ³ h J

dzK dz-y dz2

- D L2= r] D, +- r\ D, + rj D3 -h rj D4<

5. Les formules que je viens d'établir permettent de constater de nombreuses propriétés relatives aux tétraè- dres conjugués. Je signalerai les suivantes.

l^es égalités (5), ajoutées membre à membre, donnent (12) D. r; -+- Dtr\ 4- D³ r] -f-D⁴ r] -+- D (a» + £²-f- c>) = o.

D'où

THÉORÈME I. Désignant par V le volume d'un té->

traedre conjugué M^t M^s M³ M⁴, par V^t ce/m de OM2M3M4, par V2 celui de OM3 M4 M4, etc., on aura entre ces volumes la relation constante

V {a> + b*-+- c2) = V, . Ö M ! + V2.ÔM22 4- V3.OM3 -h V4 . o E - Les volumes VM V2, V3, V4 doivent être affectés d'un signe tel, que leur somme soit égale V ( 4 ) ; O est le centre de l'ellipsoïde.

6. Le déleiminant Ü peut s'écrire des deux manières suivantes :

J) ~- abc

a a

b z5

D — abc b b f.^{1 z}* _

c r c c I 1 i i

'^T[ 'II '£l 'II a a a a ZL -IÎ 11 -îi

b b b b Z\ Z2 Z3 24

c c c r

— 1 — 1 — 1 — 1

Effectuons par colonnes la multiplication de ces deux de*

terminants; en faisant intervenir les relations (7) et (8), on trouve

D a b c ^ ^ D, D2 D3 D4

On en conclut que

THÉORÈME II. Entre les volumes Y, V^l9 V², V⁸, ¥4 et le tétraèdre construit sur les axes de l'ellipsoïde, on a la relation constante

7. Eu égard à la relation (12), la dernière des égali- tés (11) nous donne

(i3) L* = a ' + £* 4-c², d'où

THÉORÈME III. Le carré de la tangente menée du centre de Vellipsoïde à la sphère circonscrite à un té- traèdre conjugué quelconque est constante et égale à

C*est la généralisation du beau théorème énoncé par M. Faure sur les coniques (p. 234) (*)•

8. Si l'on multiplie les égalités (11) par xⁿ y^o z^t, i, respectivement, et qu'on ajoute les résultats, on obtient les quatre relations suivantes :

| 1 (XJP, 4- Y Y, -+- 1zt) = ri 4- "2 4- !>2 4- c\

\ / = i, 2, 3, 4.

D'où

THÉORÈME IV. Si l on se donne un point fixe, M4 par exemple, les centres des sphères circonscrites aux tétraè-

(*) Origine de tout ce travail. 1M.

dres conjugués en nombre infini, ayant un de leurs som- mets au point fixe, seront constamment dans un plan perpendiculaire à OM4 et à une distance de Vorigine égale à

0M4* H- a1 -+- b* + c2

2°. Surfaces dénuées de centre,

9. Prenons, par exemple, le paraboloïde elliptique

•£-_) 2X r r o.

P 7

Conservant toujours les notations ( i ) , ( a ) , les conditions q u i expriment que le tétraèdre Mj M8 M8 M4 est conju*

gué p o u r r o n t s'écrire

(i5) i u^r~* x^r—~, -— = — - — — » - 7 - = r~ 1'

\ dxr dyr . /? </.rr dzr q d.TrJ où

r = i , 2, 3, 4.

_ r/D fl?D r/D dD

Remarquons encore que — -> — •> — ? — representent le double de la projection sur le plan des xy des triangles M2 M3 M*, M3 M, Mt, M4 M, M2, Mt M2 M3.

10. Les formules relatives aux déterminants, combi- nées avec les relations (i5), nous donneront ici

dD dD ^D ^ 2 J

v dxt dXi dx$ dzA

1 , dli 2 dû 2 rfD , rfD _

, . 1 . ^ D

(i8)

(

dB dB dB </D_

dB dB dB dB_

dB dB dB dB B

[ rz=i, 2, 3 , 4 ;

(20) *' *' P 7 r, s=i, 2, 3, 4; r>s.

11. Les égalités (17), ajoutées membre à membre, con- duisent à

j dB , dB , dD 2 r/D

' ^/A', 2 rfjTj 3 dx3 4 /:/j74

D'où

THÉORÈME V. Désignant par V /e volume d'un té- traèdre conjugué M1M2M3M4, par Si, S2, S3, S4 les projections, sur le plan des yz^ des faces M2 M3 M4, M3M4Mi, M4 Mi M2, Mt M2 M3, on a entre ces quanti- tés la relation constante

OM3 +S4.ÖM<—O.

Les surfaces Sl 9 S2, S3, S4 doivent être affectées de si- gnes tels, que leur somme soit nulle (16).

12. Le déterminant D peut encore s'écrire sous les

deux formes suivantes :

(m)

= sjpq

±

Z1

x<

slq

I I

— z,

fi

xx 1 I

fp

fi

xz I

I

fp

— z4

~fi

x.

I

I

fp

— z»

~fi

X.

- D

Effectuant, par colonnes, la multiplication de ces deux déterminants et faisant intervenir les relations (19) et (20), on trouve

~"DJ — /"/,/D do dn dn On en conclut que

THÉORÈME \ I . Entre le volume V et les s ut faces S,, S2, S3, S4, on a la relation constante

S,S2S3S4 q

13. La première des relations (11) comparée avec la relation (21) nous donne

2 2

D'où

THÉORÈME VII. Le centre de la sphère circonscrite à un tétraèdre conjugué quelconque est constamment dans un plan perpendiculaire à Vaxe de la surface et à une distance du sommet égale à