D1987. Une variante olympique
Q1:
Angles droits enDet en EIntroduisons le pointG0diam´etralement oppos´e `aGsurγ. Nous allons montrer queD,Ket G0 sont align´es, ce qui validera la proposition pour l’angle enD:
- surγ: F DK\ =F BK(=\ F BA)\ - surΓ: F BA\ = F GA(=\ F GG\0)
et doncF DK\ =F DG\0
La d´emonstration est transposable pour l’angle enE.
Q2:
Sym´etrie deS et T par rapport `a la m´ediatrice deF GLa d´emonstration se d´eroule en 2 ´etapes. La 1`ere consiste `a prouver que les droites joignant les points F et G au centre du cercle associ´e, respectivement O1etO2se croisent sur la m´ediatrice deF G, c’est-`a-dire la droite des centres deΓet γ. La 2`eme ´etape compl`ete la d´emonstration.
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Pour la 1`ere partie, il n’est pas n´ecessaire queΓsoit le cercle circonscrit `aABC.
SoitX l’intersection de BC etF G. X est sur l’axe radical deΓetγ.
XB×XC =XD×XE. BDetECsont li´es dans une homoth´etie de centre X.
SurF G,F U etV Gsont li´es dans la mˆeme homoth´etie, comme sur n’importe quelle s´ecante passant parX. En particulier, les tangentes communes externes aux 2 cercles passent parX, et aussi la droite des centresO1O2.
Les triangles BDO1 et ECO2 sont semblables et isoc`eles; il en est de mˆeme pour les trianglesF U O1et V GO2.
⇒Les droitesDO1 etEO2 se croisent enY sur la m´ediatrice deDEet sont sym´etriques par rapport `a cette droite. Les droitesF O1etGO2se croisent en Z sur la m´ediatrice deF G, soit la droite des centresAO, et sont sym´etriques par rapport `a cette droite.
Nous n’utilisons pour la suite que la sym´etrie par rapport `aAO, et maintenant il est n´ecessaire queAsoit surΓ pour avoir l’´egalit´e des arcsAF et AGsurΓ Nous avons donc F BK\ = GCL\ et pour les angles au centre: F O\1K = GO\2L. La sym´etrie des droitesF O1 etGO2entraˆıne celle des droitesF K et GLqui se coupent enM surAO.
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Autres propri´et´es de la figure (liste non exhaustive et sans d´emonstration) KDet LE se coupent enP
GD etF E se coupent enQ F Det GE se coupent enR P Qest perpendiculaire `a F G P Rest perpendiculaire `a BC
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