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D109-Balade sur le cercle

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Academic year: 2022

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(1)

D109-Balade sur le cercle Solution

Il y a une infinité de solutions.

Considérons un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O.

d étant le diamètre du cercle, on a les relations suivantes : AB = d * sin(AOB/2)

BC = d * sin(BOC/2) CD = d * sin(COD/2) AC = d * sin(AOC/2) BD = d * sin(BOD/2) AD = d * sin(AOD/2)

Si les sinus sont des nombres rationnels, une valeur adéquate de d permet d’obtenir des valeurs entières pour les segments AB, BC, CD, AC, BD et AD.

Fixons nous par exemple les valeurs suivantes établies avec des triangles rectangles pythagoriciens :

sin (AOB/2)=3/5, cos (AOB/2)=4/5 sin (BOC/2)=5/13, cos (BOC/2)=12/13 sin (COD/2)=7/25, cos(COD/2)=24/25

On s’assure qu’avec ces valeurs rationnelles, il en est de même pour sin(AOC/2)=sin(AOD/2 + COD/2) et sin(BOD/2) = sin(BOC/2 + COD/2)

(2)

Avec d=325, on obtient une solution parmi bien d’autres :

Diamètre du cercle = 325, AB = 195, BC = 125, CD = 91, AC = 280, BD = 204 et AD = 315

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