D105 – L’inconnue X dans le triangle Solution
On trace la parallèle BD passant par E qui coupe AC en G.
Le calcul de X va se faire en deux étapes : d’abord calcul de l’aire du quadrilatère DFEG puis calcul de l’aire du triangle AEG.
Les triangles CDF et CDB ont même hauteur issue de C. Leur surface est donc
proportionnelle à la longueur de leur base DF et DB et l’on peut écrire : DF/DB = b/(a+b). Il en est de même des triangles CFB et CEB qui ont même hauteur issue de B et pour lesquels on a la relation CE/CF = (a+c)/a.
D’après le théorème de Thalès, GE/DF = CE/CF = (a+c)/a et comme le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré du coefficient d’homothétie, on a les deux
relations exprimant d’une part l’aire(CGE) = aire(CDF)*(CE/CF) = b.(a +c2 ) /2 a et d’autre 2 part l’aire (DFEG) = aire(CGE) – aire (CDF) = b.(a +c) /2 a - b = bc(2a+c)/2 a 2
Comme GE/DB = GE/DF * DF/DB = (a+c).b/[a.(a+b)] ,on a aire (AEG) / aire(ABD) = (GE/DB) = (a+c2 ) .2 b / [ a(a+b)2 ] (1) 2
Or aire (ABD) = aire(AEG) + aire(BEF) + aire((DFEG) = aire(AEG) + c + bc.(2a+c)/a (2) 2 Des deux identités (1) et (2), on déduit aire (AEG) = b .c.(a+c 2 ) / 2 a .( 2 a - bc) qui est 2 définie si a >bc. 2
Finalement X = aire(AEG) + aire(DFEG) = bc.(2a+b+c) / ( a - bc) qui est toujours définie 2 quand a >bc. 2
Les triplets d’entiers a,b,c distincts tels que X = 4abc obéissent à la relation bc.(2a+b+c) / ( a 2 - bc) = 4abc 4a( a - bc) = 2a + b + c. En supposant par convention b>c, on constate que 2 quel que soit a>1, b = a+1 et c = a –1 sont des solutions de cette équation. Tous les triplets d’entiers consécutifs avec le terme médian pour représenter l’aire du triangle opposé au quadrilatère de surface X répondent donc à la question. Il y a d’autres solutions telles que a = 28, b = 390 et c=2 ….
