D1829. Le ballet des inscrits
Les bissectrices int´erieures issues de A, B, C recoupentΓ en A’, B’, C’, et les bissectrices ext´erieures en A”, B”, C”. XYZ est le triangle form´e par les bissec- trices ext´erieures.
D’apr`es le th´eor`eme de Miquel, les cercles circonscritsΓa,ΓbetΓcont un point commun I. Dans le cas particulier consid´er´e, I est l’orthocentre de XYZ et le centre du cercle inscrit dans ABC. Les triangles ABZ, BCX et CAY sont sem- blables :
AY C\ =π−\CIA=A\0IC =XBC\ =ABZ\ (mˆeme chose pour les autres angles)
AB\0C =π−\CIA= XBC\ +ABZ\ = 2 ×AY C\ Donc les centres deΓa,Γb etΓc sont les points A’, B’, C’.
Dans la figure compl`ete (page suivante), nous avons le quadrilat`ere ABCP in- scrit dansΓ, et on sait que les centres des cercles inscritsI,Ia,IbetIcforment un rectangle (cela se montre par les angles au centre et inscrits) : le cercle cir- conscrit `aIcIaIb passe par I.
En vertu de la propri´et´e pr´ec´edente du centre du cercle inscrit,I etIb sont sur le cercle de centre B’ passant par A et C,IaetIb sur le cercle de centre F sur Γpassant par P et C (point fixe du cercle circonscrit `aP IaIb),Iaet Ic sur le cercle de centre E surΓ passant par P et B (point fixe du cercle circonscrit `a
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P IaIc), etI etIc sur le cercle de centre C’ passant par A et B.
Chaque sommet du quadrilat`ere pr´esente 2 alignements entre un sommet du rectangle interne et le milieu de l’arc oppos´e deΓ: (A,Icet E), (A,Ib etF), (B,I et B0), (B, Ia etF), (C, I et C0), (C,Ia etE), (P,Ib etB0) et (P, Ic etC0).
D ´etant la 2`eme intersection deΓavec le cercle circonscrit `aP IbIc, on a : I\bDIc= I\bP Ic =B\0P C0= 1/2 CP B\ =CDA\00
Le point D est align´e avec I et A”, donc fixe.
Quand P d´ecrit l’arc BC, Ia d´ecrit l’arc de cercle centr´e en A” et passant par B et C (en application de la propri´et´e d´emontr´ee au d´ebut) qui appartient donc au cercle de diam`etre YZ.
U, V et W sont les milieux deIbIc,IaIcetIaIbrespectivement. Les droites B’E et C’F sont orthogonales et les cˆot´es du rectangle interne leurs sont parall`eles.
B’E porte U et V; C’F porte U et W. Par cons´equent, U d´ecrit un arc du cercle de diam`etre B’C’, V un arc du cercle de diam`etre B’Z et W un arc du cercle de diam`etre C’Y. Les limites des arcs sont atteintes quand P est en B ou en C : il s’agit de B, de C ou des milieux M et N des segments IB et IC.
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