D1840. Cocyclit´ e ` a r´ ep´ etition
Q1 :
Soient P, Q, R, S les projections orthogonales deD sur les cˆot´es du quadri- lat`ereABEC.
D,S,C etRappartiennent au cercleΓ1de diam`etreDC(angles droits enR et S).
Γ1et Γ2, cercle circonscrit `a AEC, ontC et T en commun. Leur axe radical CT coupeAD enU.
U T ×U C= U D2=U E×U A(puissance de U)
CE×CR =CD2 =CA×CS(relation dans les triangles rectangles)
⇒ A,S,E etRsont co-cycliques (cercleΓ3)
DoncU est le point commun aux axes radicaux deΓ1,Γ2et Γ3.
U E×U A=U D2 ⇒ la position deU ne d´epend pas de celle deC, et P Qpasse aussi parU.
On peut maintenant ´ecrire : U P ×U Q=U D2=U R×U S.
⇒ P,Q,RetSsont co-cycliques, et il en va de mˆeme pour les sym´etriques deD par rapport aux cˆot´es du quadrilat`ere.
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Q2
On a les alignements :
D,P etK sur la m´ediane deABD issue deD D,QetJ sur la m´ediane de ACDissue deD
P, GetQsur la parall`ele `aBC au tiers de la hauteurAD plusBXQetCXP, par construction.
Les couples de droitesBQ/CJ et BJ/CK sont des droites homologues d’un faisceau en homographie dont les homologuesBD/CDsont confondues :
⇒ D,X et Gsont align´es.
KI ´etant parall`ele `a AC, il r´esulte de l’alignement DXG que P R est aussi parall`ele `aAC.
DoncP,QetRsont homoth´etiques deK,J etI (centreD, rapport 2/3), et P, Qet Rsont sur le cercle homoth´etique du cercle d’Euler de ABC dans la mˆeme homoth´etie.
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Q3
S centre du cercle circonscrit `a AGJ se trouve `a l’intersection des m´ediatrices deAGet deGJ, et on a des situations ´equivalentes pour les autres centresT, U,V,W etX.
On m`ene parGles perpendiculaires aux m´edianes deABC :
P2Q3⊥AG,P3Q1⊥BGetP1Q2⊥CG, formant le triangleP QR.
La distance deG`a chaque cˆot´e du triangle est proportionnelle `a la longueur de ce cˆot´e :
aveca=QR, b=P R,c=P Qet S superficie du triangle, le rapport est k= 2S
a2+b2+c2 (cf G´eom´etrie analytiquedeJean-Denis Eiden) Gest le point de Lemoine du triangleP QRet on a les ´egalit´es :
GQ1×GP2=GR1×GP3 =GR2×GQ3= a2b2c2 (a2+b2+c2)2
Donc les 6 pointsQ1,R1,R2,P2, P3et Q3 sont co-cycliques, et les trap`ezes Q3Q1R1R2,R1R2P2P3et P2P3Q3Q1sont isoc`eles.
Si, au lieu des droites passant parG, on consid`ere les m´ediatrices deGI,GJ, GK, la droite R1R2 est remplac´ee par SU qui lui est parall`ele, et de mˆeme pour V X etW T.
Les trap`ezes ST U W , SU V X et T V XW sont isoc`eles et, de proche en proche, les 6 points sont co-cycliques.
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