E-657 Le rectangle interdit
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Vincent PANTALONI 23 janvier 2011
Enoncé :Sur un échiquier (8 x 8 cases), on marquen cases, en évitant que les centres de 4 des cases marquées ne forment un rectangle à côtés parallèles aux côtés de l’échiquier. Quelle est la plus grande valeur possible den? Même question pour un damier (10 x 10 cases)
Solution :. . . .
1 Échiquier
On peut mettre24 pions sur l’échiquier comme le montre la figure ci-dessous :
J’ai trouvé de nombreuses solutions, celle ci a été trouvée par l’algorithme suivant : Placer trois pions par ligne en commençant par la première de manière à obtenir à chaque ligne le plus grand nombre en base 2 (si un pion=1 et vide=0) de manière à n’obtenir aucun rectangle.
Je prouve qu’on ne peut pas en mettre plus.
Démonstration. Supposons qu’on pose 25 pions, comme il y a 8 lignes et que 25 = 8×3 + 1 le principe des tiroirs m’assure qu’il existe au moins une ligne avec au moins 4 pions. Quitte à réarranger les lignes et les colonnes (cela ne change rien à l’existence ou non d’un rectangle) on peut supposer que c’est la première ligne qui contient quatre pions sur les quatre premières cases comme ci-dessous. On verra ensuite que si il y a plus de 4 pions, c’est pire.
Il reste21 = 7×3pions à placer. Je sépare l’échiquier7×8 restant en deux zones7×4marquées par les rectangles verts et rouge à gauche et à droite. Pour chaque ligne on ne peut pas en mettre
1
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deux dans la zone verte, au plus un soit un maximum de 7 pions en zone verte. Il reste donc à mettre un minimum de21−7 = 14 pions dans la zone rouge.
On distingue deux cas en raisonnant sur la zone rouge où l’on cherche à mettre 14 pions : 1. Si on essaye de mettre exactement deux pions par ligne, alors on aura nécessairement deux
lignes identiques et donc un rectangle car il n’existe que six façons de placer 2 pions parmi 4 cases : 4×32 = 6. Elles sont représentées ci-dessous :
2. Sinon une ligne contient 3 pions dans la zone rouge. On utilise la figure ci-dessous. On pourra mettre au plus un pion par ligne dans la zone bleue soit 6 pions. Il resterait14−3−6 = 5 pions à placer dans la colonne orange mais on ne pourra pas en mettre plus de trois car il n’y a que trois lignes distinctes de deux pions dont un est sur la colonne orange. Soit un maximum de 12 pions dans la zone rouge si il y a une ligne de 3.
Si la première ligne contient non pas 4 mais 5 pions alors la zone rouge mesure3×7et doit contenir un minimum de25−5−7 = 13pions et c’est impossible essentiellement car il n’y a que trois lignes distinctes de 2 pions sur 3 cases. De même si on met 6, 7 voire 8 pions sur la première ligne. Ainsi le maximum est bien de 24 comme annoncé.
2 Damier
En suivant le même procédé, on essaye de répartir le plus équitablement possible les pions par ligne. J’ai essayé de mettre le plus possible de lignes de 4 et les autres avec trois. Au maximum on peut mettre 3 lignes de 4 et donc 7 lignes de 3 ce qui fait33 pions. Comme par exemple sur la figure ci-dessous :
3x4+7x3=12+21=33
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Si on essaye de mettre plus de lignes de 4, on ne peut plus mettre que des lignes de 3, c’est ce qui est illustré sur les figures ci-dessous. Sur la 3eligne si on met les trois dehors de la zone verte dans la zone orange, (comme sur la figure ci-dessus) alors on ne pourra plus mettre d’autre ligne de 4. On est donc forcé de les répartir en 1(ZR)+2(ZO) C’est ce qui a été fait sur la figure①avec les pions verts, bleus et rouges. Les ronds de couleur non grisés montrent les emplacements qui sont condamnés du fait du placement des pions de couleurs. Dans le carré marron j’ai placé les trois lignes possibles de deux pions parmi trois cases.
① ② ③
Sur la figure① On tente donc 5 lignes de 4. On voit que dans le carré marron il n’y a qu’une case de libre par ligne, donc si on met par exemple un pion en première colonne de la ZR (comme le vert) alors en zone orange le coup est forcé. De même pour les bleus et les rouges. Ainsi on ne pourra en dessous du carré marron remplir que trois lignes de 3 en ZR.
Sur la figure②j’ai retiré un pion rouge dans le carré marron, du coup on a la possibilité de mettre une ligne de trois en plus par rapport au cas①mais il en manque encore une. . .
Sur la figure③j’ai retiré un pion bleu dans le carré marron, on peut alors enfin compléter le damier avec des lignes de trois.
J’ai ainsi prouvé qu’on ne pouvait pas mettre plus de trois lignes de quatre si on veut remplir les autres avec 3 pions. C’est pourquoi je pense que le nombre maximum de pions que l’on peut placer sur un damier sans que 4 soient les sommets d’un rectangle est 33.
Je sais que ma preuve n’est pas complète, en particulier pourquoi faudrait-il équilibrer au maximum le nombre de pions par ligne ? Et pourquoi ne pourrait-on pas mettre plus de pions avec une ligne de 5 par exemple. Quelques pistes : on a vu dans le cas précédent de l’échiquier que lorsqu’on place une ligne de 5, alors la "zone rouge" devient encore plus petite et les possibilités pour placer d’autres pions sont alors réduites. Les trois damiers ci-dessus ont 33 pions, on voit sur ces exemples que lorsqu’il y a une différence strictement supérieure à 1 entre deux lignes, on peut déplacer un pion de la ligne ayant le plus de pions pour celle qui en a moins et rééquilibrer.
Autre remarque, j’ai essayé de mathématiser la situation avec des matrices de 0 et de 1 et des matrices de permutation en cherchant une condition pour avoir un bloc 2x2 de 1 dans un coin donné par exemple, mais sans succès. Ou dit autrement, le problème peut se formuler ainsi :
"Combien de 1 peut on mettre au maximum dans une matrice n×n dans Z/2Z sans qu’il soit possible d’en extraire une matrice2×2 de 1."
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