Limites des fonctions numériques - Exercices

Exe dan 1) ‐     Exe 1)  2)  3)  4)      Exe 1) 9       Exe 1) 2 2) 0 3)  4) − 5)  6) 0 7) 

8)  9) à     Exe 1) 

2) 

3) a      Exe

x 1 2

lim



asy  

2C ^B

^(ex

ercice 165  ns les cas suiv

‐‐‐       2) en 1 

ercice 166  lim f(x) 2x 0

   ; l

xlim f(x) n'ex2_



xlim f(x) 22

   ; 

xlim f(x)0_

  

ercice 168  9 ; 2) 12 ; 3) n

ercice 169   2 ; courbe priv 0 ; courbe priv

5

12 ; courbe p

−8 ; courbe pr 4

3 ; courbe p

0 ; courbe priv 1

4 ; courbe p

9

8 ; courbe pr

à gauche : −1 

ercice 171  

x 2 3

lim 5

 3x 2



  

x 2 3

lim 5 3x 2

   n’e asymptote ve

ercice 172  

1 2

m 3

 1 2x 



ymptote vertic

. Limite

xercices et cor

vants le calcul        3) en −1, e

lim f(x) 1x 1

   ;  lix



iste pas ; 

xlim2



xlim f(x) 21

   ;

 ; 

xlim f(x)0_

  

n’existe pas ; 4

vée du point ( vée du point ( privée du poin rivée du point

rivée du point vée du point ( rivée du point

rivée du point

; à droite : 1 ;

  et  

x 2 3

lim_^ 3

existe pas, car

erticale d’équa

  et  

x 1 2

lim 3

 1 2

 

cale d’équatio

es des f

rrigés)

 

de la limite n en 0 

m f(x) 02

   

m f(x) 22_   ; 

xli



 lim f(x) 0x 0

   ; 

 ; 

x 1lim f(x)_

 

4) 2 ; 5) 1 2; 6) 

(−1 ; 2)  (1 ; 0)  nt (3

2 ;  5 12)  t (2 ; −8) 

t (−1 ; 4 3)  (2 ; 0)  t (2 ; 1

4)  t (2 ; 9

8) 

; courbe sans 

5 3x 2 

  

r 

x 2 3

lim 5

3x 2

   ≠

ation x = 2 3 

2x  donc

on x = 1 2 

fonctio

’a pas de sens

m f(x) 11_

   ;

xli



lim f(x)x 1

  

0 ; 

x 1lim f(x)_

 

0 

point d’abscis

≠  

x 2 3

lim 5

3x 2

 

c   1 x 2

lim 3 1 2x

   n

ons num

s car a  dom

im f(x)1_ 1

  

 

2 

sse 2      

n’existe pas. 

mérique

m f et a n’est p

es 

as une borne de dom f : 

E1 1 

2C B. Limites des fonctions numériques 

(exercices et corrigés)

  E2 

 

Exercice 174 

1) −∞ /  A.V. : x = − 3        4) 2x / courbe privée du point (0 ; 2x)  2) en 

2



: −∞ /  en  2



: +∞ / A.V. : x =  2

    5) en 2⁺ : −∞ / en 2⁻ : +∞ / A.V. : x = 2 

3) en  4



 : −∞ /  en  4



 : +∞ / A.V. : x =  4

  6) −∞ / A.V. : x = 3   

 

Exercice 175 

1 : B   /   2 : C   /   3 : A, E   /   4 : D   

 

Exercice 177 

1)  4 / courbe privée du point (0 ; 4)     4) −1 / courbe privée du point (0 ; −1)  2)  1 / courbe privée du point (0 ; 1)     5) −¹

2/ courbe privée du point (0 ; −¹ 2)  3) ²

3/ courbe privée du point (0 ;²

3)     6) en 

2



: +∞ /  en  2



: −∞ / A.V. : x =  2

     

Exercice 182 

1) xlim f(x) 2 et xlim f(x) 2

          3) 

xlim f(x) 1 et lim f(x)x

     

2) xlim f(x) 2 et xlim f(x) 1

           4) 

xlim f(x) et lim f(x) n'existe pasx

     

 

Exercice 183 

1) xlim f(x) et lim f(x)x

      

2) xlim f(x) 2 et xlim f(x) 2

    / A.H.G. : y = 2 et A.H.D : y = 2  3) xlim f(x) 2 et xlim f(x) 2

    / A.H.G. : y = 2 et A.H.D : y = 2  4)  les fonctions périodiques n’ont pas de limite en l’infini  5) xlim f(x) 0 et xlim f(x) 0

    / A.H.G. : y = 0 et A.H.D : y = 0  6) xlim f(x) 0 et xlim f(x) n'existe pas

    / A.H.G. : y = 0 

7) x x

1 1

lim f(x) et lim f(x)

2 2

    / A.H.G. : y = ¹

2 et A.H.D : y = ¹

2  8) xlim f(x) 4 et lim f(x) 4x

     / A.H.G. : y = −4 et A.H.D : y = 4   

9) x x

5 3 5 3

lim f(x) et lim f(x)

3 3

     / A.H.G. : y = ^{5 3}

3 et A.H.D : y = −^{5 3} 3   10)xlim f(x) 3 et xlim f(x) 3

     / A.H.G. : y = −3 et A.H.D : y = 3  11)xlim f(x) 4 et lim f(x) 4x

     / A.H.G. : y = −4 et A.H.D : y = 4       

Exercice 185 

1) • A.V. : x = −1 avec 

xlim f(x)1_ et xlim f(x)1_

      

• A.H.G. et A.H.D. : y = 1 avec 

xlim f(x) 1 et xlim f(x) 1

     

2) • A.V. : x = 1 avec 

x 1lim f(x)_ et lim f(x)x 1_

      

• A.O.G. et A.O.D. : y = x avec 

xlim [f(x) x] 0 et xlim [f(x) x] 0

       

3) • A.V. : x = −2 avec 

xlim f(x)2_ et xlim f(x)2_

      

• A.V. : x = 1 avec 

x 1lim f(x)_ et lim f(x)x 1_

      

• A.H.G. : y = 1 avec 

xlim f(x) 1

   

• A.H.D. : y = −3 avec 

xlim f(x) 3

    

2C B. Limites des fonctions numériques 

(exercices et corrigés)

  E3 

Exercice 186 

1) •xlim f(x) et lim f(x)x

       pas d’A.H. 

2) •xlim f(x) 3 et xlim f(x) 3

     donc  A.H.G. et A.H.D. : y = 3 

• 

xlim f(x)2_ et xlim f(x)2_

     donc A.V. : x = −2  3) •xlim f(x) 5 et xlim f(x) 5

     donc A.H.G. et A.H.D. : y = 5 

• 

xlim f(x)0_ et lim f(x)x 0_

     donc A.V. : x = 0  4) •xlim f(x) et lim f(x)x

       pas d’A.H. 

• xlim f(x)2_ et xlim f(x)2_

     donc A.V. : x = −2 

• 

x 2lim f(x)_ et lim f(x)x 2_

     donc A.V. : x = 2  5) • fonction périodique  pas d’A.O. ni d’A.H. 

• 

xlim f(x)(k )_ et xlim f(x)(k )_

        donc  A. V. : x = kπ , k   

• 

x ( k ) x ( k )

2 2

lim f(x) et lim f(x)

 

 

     

    donc  A. V. : x = 

2

+ kπ , k   

6) • fonction périodique  pas d’A.O. ni d’A.H. 

•  3 3

x ( k ) x ( k )

4 4

lim f(x) et lim f(x)

 

 

     

    donc  A. V. : x = ³

4

+ kπ , k   

7) •xlim f(x) 0 et xlim f(x) 0

     donc  A.H.G. et A.H.D. : y = 0 

• 

xlim f(x)2_

   donc A.V. : x = −2 

• 

x 2lim f(x)_

   donc A.V. : x = 2 

8) • fonction périodique  pas d’A.O. ni d’A.H. 

•  k k

x ( ) x ( )

2 2

lim f(x) et lim f(x)

 

 

 

    donc  A. V. : x = ^k

2

, k   

• 

x ( k ) x ( k )

4 2 4 2

lim f(x) 0 et lim f(x) 0

 

   

   

   donc  courbe privée des points ( k

4 2

 

  ; 0) avec  k  

 

Exercice 189 

1) x x x

lim f(x) , lim f(x) 1  et  lim [f(x) x] 3

    x       donc A.O.G. et A.O.D. : y = x – 3 

2) x x x

lim f(x) , lim f(x) 1  et  lim [f(x) x] 2 x

         donc A.O.G. et A.O.D. : y = x + 2 

3) xlim [f(x) (2x 1)] 0

     donc A.O.G. et A.O.D. : y = 2x – 1 

4) xlim f(x) 2

   donc pas d’A.O. (mais A.H.G. et A.H.D. : y = 2) 

5) •x x x

lim f(x) , lim f(x) 2  et  lim [f(x) 2x] 2 x

          donc A.O.G. : y = −2x + 2 

•x x x

lim f(x) , lim f(x) 2  et  lim [f(x) 2x] 2

    x       donc A.O.D. : y = 2x – 2 

6) dom f = [−2 ; 2], donc pas définie à l’infini  pas d’A.O. 

7) xlim f(x) 0

   donc pas d’A.O. (mais A.H.G. et A.H.D. : y = 0) 

 

Exercice 190 

A4 / B1 / C6 / D5 / E3 / F2   

 

Pour s’autocontrôler…  

(corrigé dans le livre)   

exercices 193, 194, 196, 197, 198 

 

Qu

Exe Dé

    Exe Ass Do f(x  

   

2C ^B

^(ex

uelques exe

ercice A  terminer dom



limites

ercice B  socier express

nner ensuite  )= x 1 ¹

 x



. Limite

xercices et cor

ercices supp

m f, les limites 

s en :, −1⁻

sions analytiq l’expression a 2       g(x)=  

 

 

es des f

rrigés)

 

plémentaire

aux « endroit

−, −1⁺, −1, 0,

ues et graphe analytique ma

x 1 1

 x 2

   

 

 

 

fonctio

es 

ts » indiqués a



 

es, sachant qu anquante. 

 h(x) =x 1 

ons num

ainsi que le ge

u’une des six e 1

x 2

       i(x)



 

mérique

enre et une éq



 lim

expressions an )=x 1 ¹

 x 2



es 

quation des as

mites en :

nalytiques ne 

2       j(x)=x

symptotes : 

, −1, 2⁻, 2⁺, 2,

correspond p 1 1

 x 2

      k

 

 

E4

 

, 3,

as à un graph k(x)=x 1

 x



4 

he.  

1

2 

 

 

Exe Esq a) d

xlim



xlim



  b) d

xlim



          Co

 

xlim



A.H  

 

xlim



A.H     Co

•Le Un  

•Le Po  

 

 

 

 

  pro

    Co

2C ^B

^(ex

ercice C  quisser un gra

dom f =  \ {−

m f(x) 2

  / 

xlim



m f(x)

  /

x

dom f =  \ {−

m f(x) 2

  / 

xlim



rrigé A  dom f =  \ {−

m f(x) 2

   / 

x

H.G. : y = −2 /  dom f =  \ {−

m f(x) 2

  / 

xlim



H.G. : y = 2 / A

rrigé B  es fonctions so

e équation de e domaine de

ur les fonction A.O. : y = x – 1 A.O. : y = x + 1 A.O. : y = x + 1 A.O. : y = x + 1 A.O. : y = −x − oposition : l(x) A.O. : y = x + 1 rrigé C  

. Limite

xercices et cor

aphe possible 

−2 ; 1}  

2

m f(x)_

  / 

x

lim f(x) 1

 x   /

−4 ; −3 ; 2} / f(

m f(x) 14

  / 

xli



−1} 

xlim f(x)1_

  

A.V. : x = −1 /

−1 ; 2} 

m f(x)1

  /

xl A.V. : x = −1 / A

ont toutes so e l’A.O. des fo s 6 fonctions  ns f et g cette 1 / A.V. : x = − 1 / A.V. : x = 2 1 / A.V. : x = − 1 / A.V. : x = −

− 1 / A.V. : x =  )=  x 1 ¹

  x

 1 / A.V. : x = 2

es des f

rrigés)

 

et indiquer le

xlim f(x)2_

  

/xlim [f(x) x]

 

(0) = −2  m f(x)3_

  /

/ xlim f(x)1_

  

/ A.O.D. : y = x

x 2lim f(x)_

  / A.V. : x = 2 / A

us la forme ax onctions f, g, h

est  privé d’

 valeur est 2 e

−2  fonction

2  fonction f

−2  fonction

−2  fonction

−2  aucune

1

2 ou m(x) = 

2  fonction f

   

fonctio

e genre et une

/

x 1lim f(x)_

  

] 3  

xlim f(x)3_

  

/

xlim f(x) n1



x 

/ x 2lim f(x)_

  

A.O.D. : y = x −

x + b +  ϕ(x) av h et i est donc 

une valeur a : et pour les aut

 j ou k  on a

f ou g  on a 

 h ou i  on a

 h ou i  fonc

e des fonction x 1 1

  x 2

 f ou g  fonct

       

ons num

e équation des

/

x 1lim f(x)_

 

/

xlim f(x) 10_

 

n'existe pas/

/

lim f(x) n'ex 2



− 1 

vec xlim (x)

  y = x + 1 et ce : le dénomina tres −2. 

a j(0) = −0,5 et f(0) = 0,5 et g a h(0) = 1,5 et ction i (car h e s 

2  l(0) = −0, tion f (car g es

mérique

s asymptotes 

  

1 /xlim f(x)0_

  

lim f(x) 1x 0

  /

xli



existe pas/ limx



0, donc y =  elle des foncti ateur s’annule

t k(0) = −1,5  g(0) = 1,5  fo

t i(0) = 0,5  f est déjà prise) 5 et m(0) = −1 st déjà prise)

es 

de la fonction

2 /lim f(x)x 2

  

im f(x)

   

m f(x) 33  /

xlim



ax + b est une ons j et k a co  en a et l’A.V.

 fonction j 

onction g  fonction h   ) 

1,5  fonctio

 

n f dans les ca

/

xlim [f(x)

 

m f(x)

   

e équation de omme équatio

. a comme éq

n m 

E5

s suivants.  

(x 2)] 0

  

e l’A.O. 

on y = x – 1. 

uation x = a.

5