Limites des fonctions numériques

Suites récurrentes - dynamique des populations

Exemple

On abordera les exemples de dynamique des populations suivants : si on note parp_n le nombre d’individus d’une population donnée, les modélisations classiques de l’évolution dep_n en fonction den amènent à considérer les cas des suites récurrentes

p₀ = b

pour tout n≥0, p_n+1 =f(p_n) associées aux fonctions :

x 7→a x; x 7→ a x

e+x; x 7→a x(e−x).

Suites récurrentes - dynamique des populations

Dans le cas oùf : x 7→a x(1−x) on a par exemple pour les cas a=2,6 eta=3,4 les représentations suivantes :

x y

f(x) =2,6x(1−x)

x y

f(x) =3,4x(1−x)

Limites des fonctions numériques

I f :R7→Rfonction numérique définie sur D_f. Définition (limite finie en un point)

Soit`un nombre réel. Lalimite de f en a est égale à` si

∀ε >0, ∃δ >0, ∀x ∈D_f, |x −a|< δ =⇒ |f(x)−`|< ε.

Dans ce cas, on note lim

x→af(x) =`.

Définition (limite +∞ en un point) Lalimite de f en a est égale à +∞ si

∀M ∈R, ∃δ >0, ∀x ∈D_f, |x −a|< δ =⇒ f(x)>M. Dans ce cas, on note lim

x→af(x) = +∞.

Limites des fonctions numériques

I f :R7→Rfonction numérique définie sur D_f. Définition (limite finie en un point)

Soit`un nombre réel. Lalimite de f en a est égale à` si

∀ε >0, ∃δ >0, ∀x ∈D_f, |x −a|< δ =⇒ |f(x)−`|< ε.

Dans ce cas, on note lim

x→af(x) =`.

Définition (limite +∞ en un point) Lalimite de f en a est égale à+∞ si

∀M ∈R, ∃δ >0, ∀x ∈D_f, |x −a|< δ =⇒ f(x)>M.

Dans ce cas, on note lim

x→af(x) = +∞.

Limites des fonctions numériques

Définition (limite −∞en un point) Lalimite de f en a est égale à−∞ si

∀M ∈R, ∃δ >0, ∀x ∈D_f, |x −a|< δ =⇒ f(x)<M.

Dans ce cas, on note lim

x→af(x) =−∞.

Remarque

On dit aussila limite de f(x)quand x tend vers a plutôt quela limite de f en a

Limites des fonctions numériques

Remarque

Au lycée : la limite def enaest égale à`si tout intervalle ouvert I qui contient`contient toutes les valeurs f(x) lorsque x est

suffisamment proche de a.

Exemple

On a les limites classiques suivantes :

x→0lim

sin(x)

x = 1; lim

x→0

1−cos(x)

x² = ¹₂; lim

x→0 ln(1+x)

x =1;

∀α∈R, lim

x→0

(1+x)^α−1

x = α

Par contre la fonction définie surR^∗ parx 7→cos ¹_x

n’a pas de limite en 0.

Limites des fonctions numériques

Remarque

Au lycée : la limite def enaest égale à`si tout intervalle ouvert I qui contient`contient toutes les valeurs f(x) lorsque x est

suffisamment proche de a.

Exemple

On a les limites classiques suivantes :

x→0lim

sin(x)

x = 1; lim

x→0

1−cos(x)

x² = ¹₂; lim

x→0 ln(1+x)

x =1;

∀α∈R, lim

x→0

(1+x)^α−1

x = α

Par contre la fonction définie surR^∗ parx 7→cos _x¹

n’a pas de limite en 0.

Limites des fonctions numériques

Définition (limite par valeurs supérieures ou inférieures) Dans cette définition`est un nombre réel, ou+∞ ou −∞.

Lalimite de f en a par valeurs supérieure est égale à `si la restriction de f à [a,+∞[ a pour limite`quand x tend vers a :

x→alim

x≥a

f(x) = ` ou lim

x→a⁺f(x) = `

Lalimite de f en a par valeurs inférieures est égale à ` si la restriction de f à ]− ∞,a] a pour limite l quand x tend vers a :

x→alim

x≤a

f(x) = ` ou lim

x→a⁻f(x) = `

Limites des fonctions numériques

Définition (limite par valeurs supérieures ou inférieures) Dans cette définition`est un nombre réel, ou+∞ ou −∞.

Lalimite de f en a par valeurs supérieure est égale à `si la restriction de f à [a,+∞[ a pour limite`quand x tend vers a :

x→alim

x≥a

f(x) = ` ou lim

x→a⁺f(x) = `

Lalimite de f en a par valeurs inférieures est égale à ` si la restriction de f à ]− ∞,a] a pour limite l quand x tend vers a :

x→alim

x≤a

f(x) = ` ou lim

x→a⁻f(x) = `

Limites des fonctions numériques

Définition (limite en+∞)

Soit l un nombre réel. Lalimite de f en +∞ est égale à`si

∀ε >0, ∃A∈R, ∀x >A, |f(x)−`|< ε.

Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) =`.

Lalimite de f en +∞ est égale à +∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x >A, f(x)>M. Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) = +∞.

On dit quela limite de f en +∞ est égale à −∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x >A, f(x)<M. Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) =−∞.

Limites des fonctions numériques

Définition (limite en+∞)

Soit l un nombre réel. Lalimite de f en +∞ est égale à`si

∀ε >0, ∃A∈R, ∀x >A, |f(x)−`|< ε.

Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) =`.

Lalimite de f en +∞ est égale à +∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x >A, f(x)>M.

Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) = +∞.

On dit quela limite de f en +∞ est égale à −∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x >A, f(x)<M. Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) =−∞.

Limites des fonctions numériques

Définition (limite en+∞)

Soit l un nombre réel. Lalimite de f en +∞ est égale à`si

∀ε >0, ∃A∈R, ∀x >A, |f(x)−`|< ε.

Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) =`.

Lalimite de f en +∞ est égale à +∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x >A, f(x)>M.

Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) = +∞.

On dit quela limite de f en +∞ est égale à −∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x >A, f(x)<M.

Dans ce cas, on note lim

x→+∞f(x) =−∞.

Limites des fonctions numériques

Définition (limite en−∞)

Soit l un nombre réel. Lalimite de f en −∞ est égale àl si

∀ε >0, ∃A∈R, ∀x <A, |f(x)−l|< ε.

Dans ce cas, on note lim

x→−∞f(x) =l . Lalimite de f en −∞ est égale à +∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x <A, f(x)>M.

Dans ce cas, on note lim

x→−∞f(x) = +∞.

On dit quela limite de f en −∞ est égale à −∞ si

∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x <A, f(x)<M.

Dans ce cas, on note lim

x→−∞f(x) =−∞.

Limites des fonctions numériques

Exemple

x→+∞lim ln(x) = +∞; lim

x→−∞e^x =0; lim

x→+∞e^x = +∞;

∀α, lim

x→+∞

1+α

x x

=e^α

Limites des fonctions numériques

Opérations sur les limites

On désigne parasoit un nombre réel, soit+∞ ou −∞.

Si la quantité de droite existe :

I lim

x→af(x) +g(x) = lim

x→af(x) + lim

x→ag(x)

I lim

x→af(x)g(x) = lim

x→af(x)× lim

x→ag(x)

I lim

x→a

f(x)

g(x) = limx→af(x) lim_x→ag(x)

Limites des fonctions numériques

Croissances comparées entre polynômes, logarithme et exponentielle

Pour toutα >0 lim

x→0⁺x^αln(x) =0; lim

x→+∞

ln(x) x^α =0;

x→−∞lim x^αe^x =0; lim

x→+∞

e^x

x^α = +∞.

Exemple

Par exemple, lim

x→+∞

ln(x)

x =0 et lim

x→0⁺x ln(x) =0

Limites des fonctions numériques

Exemple

Comme pour les suites, la limite du quotient de deux polynômes est donnée par la règle :

x→+∞lim

a_kx^k +a_k−1x^k−1+. . .+a₀

b_px^p+bp−1x^p−1+. . .+b₀ = lim

x→+∞

a_kx^k

b_px^p = lim

x→+∞

a_k b_px^k−p.

Limites des fonctions numériques

Composition des limites

Soitaet `désignant chacun soit un nombre réel, soit +∞ ou −∞.

Si on suppose que

x→alimf(x) =`

et queg a une limite en`, alorsg ◦f a une limite ena :

x→alim g◦f(x) = lim

x→a g(f(x)) = lim

y→` g(y).

Exemple

On considèref :x 7→2x, alors

x→alimg ◦f(x) = lim

x→ag(2x) = lim

x→2ag(x). et

x→+∞lim h◦f(x) = lim

x→+∞h(2x) = lim

x→+∞h(x).

Limites des fonctions numériques

Composition des limites

Soitaet `désignant chacun soit un nombre réel, soit +∞ ou −∞.

Si on suppose que

x→alimf(x) =`

et queg a une limite en`, alorsg ◦f a une limite ena :

x→alim g◦f(x) = lim

x→a g(f(x)) = lim

y→` g(y).

Exemple

On considèref :x 7→2x, alors

x→alimg ◦f(x) = lim

x→ag(2x) = lim

x→2ag(x).

et

x→+∞lim h◦f(x) = lim

x→+∞h(2x) = lim

x→+∞h(x).

Limites des fonctions numériques

Exemple

On peut par exemple retrouver la limite

x→+∞lim

1+α x

x

=e^α à partir de la limite

x→0lim

ln(1+x)

x = 1

Limites des fonctions numériques

lien avec les suites

On désigne par`soit un nombre réel, soit+∞ ou −∞.

Soit(x_n)n une suite qui tend vers `, sif a une limite en `, alors la suite(f(x_n))n∈N tend vers la limite def en`:

n→+∞lim f(x_n) = lim

y→`f(y).

Exemple

En se rappelant que lim

x→0 sin(x)

x =1 on peut obtenir

n→+∞lim nsin

2π

n

= lim

n→+∞ntan

2π

n

=2π

Limites des fonctions numériques

lien avec les suites

On désigne par`soit un nombre réel, soit+∞ ou −∞.

Soit(x_n)n une suite qui tend vers `, sif a une limite en `, alors la suite(f(x_n))n∈N tend vers la limite def en`:

n→+∞lim f(x_n) = lim

y→`f(y).

Exemple

En se rappelant que lim

x→0 sin(x)

x =1 on peut obtenir

n→+∞lim nsin

2π

n

= lim

n→+∞ntan

2π

n

=2π

Limites des fonctions numériques

Théorème (des gendarmes)

Soitaun nombre réel (ou+∞ ou −∞) etI un intervalle ouvert qui contienta(ou de la forme ]b,+∞[ sia= +∞, ou ]− ∞,b[ sia=−∞). On suppose

∀x ∈I, f(x)≤g(x)≤h(x) Sif eth ont la même limite en a, alors

x→alimf(x) = lim

x→ag(x) = lim

x→ah(x) Exemple

On peut ainsi calculer lim

x→0xsin

1

x

.

Limites des fonctions numériques

Remarque (Cas des limites à gauche et à droite) Dans le cas oùa∈Ret

∀x ∈I ∩[a,+∞[, f(x)≤g(x)≤h(x) on obtient

x→alim⁺f(x) = lim

x→a⁺g(x) = lim

x→a⁺h(x).

Limites des fonctions numériques

Théorème (de comparaison des limites)

Soitasoit un nombre réel (ou +∞ ou −∞) et I un intervalle ouvert qui contienta(ou ]b,+∞[ ou ]− ∞,b[ ). On considère f etg pour lesquelles

∀x ∈I, f(x)≤g(x) Sif etg ont chacun une limite ena, alors :

x→alimf(x) ≤ lim

x→ag(x)

Exemple

Par exemple sif(x)≥0 pour toutx ∈I alors lim

x→af(x)≥0.

Etude des asymptotes

Définition

Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. On dit que f a pourasymptote verticale la droite d’équation x =a si

x→alimf(x) = +∞ ou lim

x→af(x) =−∞

Exemple

On considère les fonctionsx 7→ln(x) etx 7→ ¹_x.

Etude des asymptotes

D’un point de vue général, la droite d’équationy =ax +b est une asymptoteà la courbe représentative de f en+∞ (ou−∞) si

x→+∞lim f(x)−(ax +b) =0 (ou lim

x→−∞f(x)−(ax+b) =0)

Etude des asymptotes

Définition

Soit b∈R. On dit que f a pour asymptote horizontale en+∞

la droite y =b si lim

x→+∞f(x) =b.

De même, f a pourasymptote horizontale en−∞ la droite y =b si lim

x→−∞f(x) =b

Exemple

La fonctionx 7→ ¹_x a pour asymptote horizontale en−∞et en +∞

la droitey =0.

Etude des asymptotes

Définition

Soit f ayant pour limite±∞en+∞.

On dit que f a pourdirection asymptotique en+∞ la droite d’équationy =0 si lim

x→+∞

f(x) x =0.

On dit que f a pourdirection asymptotique en+∞ la droite d’équationx =0si lim

x→+∞

f(x)

x = +∞ ou lim

x→+∞

f(x)

x =−∞.

On définit de la même manière les notions de direction asymptotique en−∞

Exemple

La fonctionx 7→ln(x) a pour direction asymptotique en+∞ la droite d’équationy =0.

La fonctionx 7→x³ a pour direction asymptotique en+∞ et en

−∞la droite d’équation x =0.

Etude des asymptotes

Définition

f a pourasymptote en +∞ la droite d’équation y =ax+b si

x→+∞lim f(x)

x = a et lim

x→+∞f(x)−ax =b

où a est un nombre réel non nul et b est nombre réel. De même, on dit que f a pourasymptote en −∞ la droite d’équation

y =ax+b si

x→−∞lim f(x)

x = a et lim

x→−∞f(x)−ax =b où a est un nombre réel non nul et b est nombre réel.

Etude des asymptotes

Exemple

La fonctionx 7→ ^x_1+|x|^2+2x a pour asymptote en +∞ la droite d’équationy =x+1 et pour asymptote en−∞ la droite d’équationy =−x−3 :

y = ^x_1+|x|^2+2x y =x +1 y =−x−3

−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4

−2

−1 1 2 3 4 5

0 x

y

Etude des asymptotes

Exemple

La fonctionx 7→ ^x_1+|x|^2+2x a pour asymptote en +∞ la droite d’équationy =x+1 et pour asymptote en−∞ la droite d’équationy =−x−3 :

y = ^x_1+|x|^2+2x y =x +1 y =−x−3

−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4

−2

−1 1 2 3 4 5

0 x

y