Cours du mercredi 5 mars 2003
Suites et fonctions : premières définitions, premiers résultats
1. Convergence d’une suite réelle, continuité d’une fonction en un point On définit la convergence d’une suite vers un réel avec ,n0, que cela plaise ou non. De même, la continuité d’une fonction est définie avec le couple infernal , . On observe que l’axiome d’Archimède implique la convergence vers 0 de suites simples comme
0
1 n n
. Démonstration de la continuité d’un polynôme en un point. Démonstration de la continuité de la fonction sinus en un point. Divergence de
1 n
, discontinuité en 0 de E.
2. Structures de l’ensemble des suites et de celui des fonctions continues en un point L’ensemble des suites réelles, noté , peut être muni d’une loi interne , et d’une loi externe qui ont les mêmes propriétés que les lois de même notation sur
2 3
ou
. Cela aidera à la formalisation ultérieure de la notion d’espace vectoriel. De même, l’ensemble Sc des suites convergentes, partie de , est stable pour ces deux lois, et l’application Sc qui associe à une suite convergente sa limite vérifie
lim un vn lim un lim vn et
lim un lim un , tout comme une application linéaire. On peut en outre définir une loi interne un vn u vn n , et on a encore
lim un vn lim un lim vn .
Notons enfin que si vn ne s’annule pas, il est permis de définir
n n
n n
u u
v v
, on a alors, si
lim vn 0, la relation
lim lim
lim
n n
n n
u u
v v
.
De même, on met en évidence la structure d’espace vectoriel des fonctions continues en un point, et de C I .
3. Lien entre convergence de suites et continuité f I: est continue en a I si et seulement si pour toute suite un d’éléments de I convergeant vers a, la suite
f un
converge vers f a! .
Si la suite un est définie par u0 et un"1 f u n , si un converge vers l et si f est continue enl, alors f l# l. Exemple de un"1 cosun vu en TD.
