Notion de suites

Notion de suites S 1

Notion de suites

Pour reprendre contact n°1 – 3 – 4 p 125

I. Notion de suite numérique A. Notion intuitive

Activité 2 p 126

Intuitivement, une suite numérique est une liste de nombres réels, par exemple la liste 1, 3, 5, 7, 9, etc des entiers naturels impairs rangés dans l’ordre croissant.

On peut noter une telle liste de nombres 𝒖_𝟎, 𝒖_𝟏, 𝒖_𝟐, … , 𝒖_𝒏, 𝒖_𝒏+𝟏, …

On appelle 𝑢₀ le premier terme, 𝑢₁ le 2^ème terme, … et on dit que la suite a pour terme général 𝑢_𝑛.

Définir une telle liste 𝑢₀, 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 c’est associer à 0 un nombre 𝑢₀, à 1 un nombre 𝑢₁, et de façon générale, à chaque entier 𝑛, un nombre 𝑢_𝑛.

Autrement dit, c’est définir une fonction sur l’ensemble N des entiers.

B. Définition Définition

Une suite numérique 𝑢 est une fonction définie sur

N

R

𝒖 ∶

N

R

𝒏 ↦ 𝒖(𝒏) noté 𝑢_𝑛 On note cette suite (𝑢_𝑛)_𝑛∈𝑁 ou (𝑢_𝑛)_𝑛≥0 ou même (𝑢_𝑛)

Exemple

Soit 𝑢 la suite définie sur

N

Il est possible que la suite ne soit définie que pour 𝑛 ≥ 1 ou 𝑛 ≥ 2.

Par exemple, la suite définie sur

N

𝑛 est définie pour 𝑛 ≥ 1. Elle est notée (𝑢_𝑛)_𝑛≥1 et ses premiers termes sont 𝑢₁ = 1, 𝑢₂ = ¹

2, 𝑢₃ = ¹

3

Exercices n°16 – 19 p 141

C. Représentation graphique

Soit (𝑢_𝑛)_𝑛≥0 formée par les entiers impairs rangés dans l’ordre croissant 1, 3, 5, 7…

On peut représenter cette suite de deux façons

 Sur la droite réelle :

on place les réels 𝑢₀, 𝑢₁, 𝑢₂, … sur la droite réelle.

 Dans le plan :

on place les points de coordonnées (𝑛, 𝑢_𝑛)

Exercices n°17 – 18 p 141

Notion de suites S 2 II. Modes de génération d’une suite numérique

A. Suite définie par l’expression de 𝒖_𝒏 en fonction de 𝒏

On peut donner une suite par l’expression du terme général 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛.

Dans ce cas, on sait calculer directement n’importe quel terme de la suite.

Exemples

 Soit la suite 𝑢 définie sur N par 𝑢_𝑛 = (−3)^𝑛. On peut calculer par exemple 𝑢₀ = (−3)⁰ = 1

𝑢₁ = (−3)¹ = −3 𝑢₁₀ = (−3)¹⁰= 59 049

 Soit la suite 𝑣 définie sur N par 𝑣_𝑛 = 2𝑛 + 1.

On peut calculer par exemple 𝑣₀ = 2 × 0 + 1 = 1 𝑣₁ = 2 × 1 + 1 = 3 𝑣₅₀ = 2 × 50 + 1 = 101

Exercices n°20 à 22 – 25 – 26 – 27 p 141 – 142

B. Suite définie par récurrence Définition

Une suite est définie par récurrence quand elle est définie par la donnée de

 Son premier terme

 D’une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant Cette relation est appelée relation de récurrence.

Exemples

Soit la suite 𝑢 définie sur N par le premier terme 𝑢₀ = 4 et pour tout entier 𝑛, 𝑢_𝑛+1 =¹

3𝑢_𝑛+ 1 𝑢₁ =¹

3× 4 + 1 =⁷

3 , 𝑢₂ = ¹

3×⁷

3+ 1 =¹⁶

9 , 𝑢₃ =¹

3×¹⁶

9 + 1 =⁴³

27 , etc…

Remarques

 Quand une suite 𝑢_𝑛 est définie par récurrence, le calcul de 𝑢₅₀, par exemple, nécessite le calcul pas à pas de tous les termes précédents.

 On écrit la relation de récurrence entre 𝑢_𝑛 𝑒𝑡 𝑢_𝑛+1. On aurait aussi pu l’écrire entre 𝑢_𝑛−1 𝑒𝑡 𝑢_𝑛. On aurait 𝑢_𝑛 = ¹

3𝑢_𝑛−1+ 1 pour 𝑛 ≥ 1.

 Une relation de récurrence peut faire intervenir plusieurs termes consécutifs.

Exercices n°28 à 32 p 142 TICE n°33 à 36 p 142 - 143

Notion de suites S 3 III. Suites arithmétiques

Définition

Dire qu’une suite 𝑢 est arithmétique signifie qu’il existe un nombre 𝑟 tel que pour tout entier naturel n, 𝒖_𝒏+𝟏 = 𝒖_𝒏+ 𝒓. Le nombre réel 𝒓 est appelé raison de la suite 𝑢.

Exemple

𝑢 est la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 𝑢₀ = 0 Pour tout entier naturel n, la suite est définie par 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛 + 2.

𝑢₀ = 0, 𝑢₁ = 2, 𝑢₂ = 4, 𝑢₃ = 6…

Propriétés (Expression du terme général)

Si 𝑢 est une suite arithmétique de raison 𝑟, alors pour tous entiers naturels n et p, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝒑+ (𝒏 − 𝒑)𝒓 En particulier, pour tout entier naturel n, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝟎+ 𝒏𝒓

Démonstration

 Cas où 𝒏 ≥ 𝒑

De 𝑢_𝑝à 𝑢_𝑛, on ajoute 𝑛 − 𝑝 fois la raison donc on a 𝑢_𝑛 = 𝑢_𝑝+ (𝑛 − 𝑝)𝑟

 Cas où 𝒏 ≤ 𝒑

Avec la formule précédente, on peut écrire 𝑢_𝑝 = 𝑢_𝑛+ (𝑝 − 𝑛)𝑟 C’est-à-dire : 𝑢_𝑛 = 𝑢_𝑝− (𝑝 − 𝑛)𝑟 = 𝑢_𝑝+ (𝑛 − 𝑝)𝑟

Exemple

𝑢 est la suite arithmétique de raison 3 telle que 𝑢₁₀= 2 Donc 𝑢₂₂= 𝑢₁₀+ (22 − 10)𝑟 = 2 + 12 × 3 = 38

Exercices n°37 à 49 p 143 – 144

Propriété

Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝟏 + 𝟐 + ⋯ + 𝒏 =^{𝒏(𝒏+𝟏)}

𝟐

Démonstration

𝑆 = 1 + 2 + ⋯ + (𝑛 − 1) + 𝑛 𝑆 = 𝑛 + (𝑛 − 1) + ⋯ + 2 + 1

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

2𝑆 = (1 + 𝑛) + (2 + (𝑛 − 1)) + ⋯ + (2 + (𝑛 − 1)) + (𝑛 + 1) Or chacun des 𝑛 termes de cette somme est égale à (𝑛 + 1) 2𝑆 = (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1) + ⋯ + (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1)

Donc 2𝑆 = 𝑛(𝑛 + 1) D’où 𝑆 = ^𝑛(𝑛+1)

2

Exemple

1 + 2 + ⋯ + 100 =^100(100+1)

2 = 50 × 101 = 5 050

Exercices n°50 à 58 p 144 – 145

Notion de suites S 4 IV. Suites géométriques

Définition

Dire qu’une suite 𝑢 est géométrique signifie qu’il existe un nombre 𝑞 tel que pour tout entier naturel n, 𝒖_𝒏+𝟏 = 𝒒 × 𝒖_𝒏. Le nombre réel 𝒒 est appelé raison de la suite 𝑢.

Exemple

𝑢 est la suite géométrique de raison ¹

2 et de premier terme 𝑢₀ = 1 Pour tout entier naturel n, la suite est définie par 𝑢_𝑛+1 =¹

2𝑢_𝑛. 𝑢₀ = 1, 𝑢₁ =¹

2, 𝑢₂ = ¹

4, 𝑢₃ = ¹

8… Propriétés (Expression du terme général)

Si 𝑢 est une suite géométrique de raison 𝑞, alors pour tous entiers naturels n et p, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝒑× 𝒒^𝒏−𝒑 En particulier, pour tout entier naturel n, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝟎× 𝒒^𝒏

Démonstration

 Cas où 𝒏 ≥ 𝒑

De 𝑢_𝑝à 𝑢_𝑛, on multiplie 𝑛 − 𝑝 fois par la raison 𝑞 donc on a 𝑢_𝑛 = 𝑢_𝑝 × 𝑞^𝑛

 Cas où 𝒏 ≤ 𝒑

Avec la formule précédente, on peut écrire 𝑢_𝑝 = 𝑢_𝑛× 𝑞^𝑝−𝑛 C’est-à-dire : 𝑢_𝑛 = ^𝑢𝑝

𝑞^𝑝−𝑛 = 𝑢_𝑝× 𝑞^𝑛−𝑝

Exemple

𝑢 est la suite géométrique de raison 2 telle que 𝑢₁ = 3 Donc 𝑢₁₀ = 𝑢₁× 𝑞¹⁰⁻¹= 3 × 2⁹= 1 536

Exercices n°59 à 65 p 145 – 146

Propriété

Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝟏 + 𝒒 + 𝒒^𝟐+ ⋯ + 𝒒^𝒏 =^{𝟏−𝒒𝒏+𝟏}

𝟏−𝒒

Démonstration

𝑆 = 1 + 𝑞 + 𝑞² + ⋯ + 𝑞^𝑛

𝑞𝑆 = 𝑞 + 𝑞² + ⋯ + 𝑞^𝑛+ 𝑞^𝑛+1

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

𝑆 − 𝑞𝑆 = 1 − 𝑞^𝑛+1 Donc (1 − 𝑞)𝑆 = 1 − 𝑞^𝑛+1 D’où 𝑆 =^{1−𝑞𝑛+1}

1−𝑞

Exemple

1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑛 = 1 − 2^𝑛+1

1 − 2 = 2^𝑛+1− 1

Exercices n°66 à 73 p 146 Exercices n°74 à 76 p 147 Exercices n°105 à 114 p 150 – 151 Prendre des initiatives n°115 à 119 p 152