Exercice n °7 sur les suites Exercice 7: ( avec solution ) Soit la suite numérique définie par : 1-

(1)

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Exercice n °7 sur les suites

Exercice 7: ( avec solution )

Soit la suite numérique définie par : ⁰1

 

2 2 1

n n

U

U _ U n IN

 

    



1- Montrer que :



 n IN



Un ¹ 2- Soit la suite numérique définie par : ^VnUn¹



 n IN



a)

Montrer que est une suite géométrique, puis écrire

V

_n en fonction de n.

b)

On pose : W =ln V _n

  

_n  n IN



Montrer que est une suite arithmétique.

c)

Calculer _lim ⁿ

n

n W

 V

 

  

  Correction Exercice 7

1- Montrons par recurrence que :



 n IN



Un¹

∎ Pour n=0 on a : U₀  2 1

∎ Soit



^{n IN}^



supposons que : U_n1 et montrons que : U_n_₁1 On a : U_n 1 2U_n 2 2U_n  1 1 U_n_₁1

Donc on a montré par récurrence que :



 n IN



Un ¹ 2- On a : V_nU_n1

a) Soit V_n_1U_n_1 1 2U_n  1 1 2



U_n1



 

1

: _n 2 _n

Donc  n IN V_  V

D’où (

V

_n) est une suite géométrique de raison q=2 est de premier terme

V

₀

 1

. b) On a : Wn^lnVn



 n IN



Soit W_n_₁lnV_n_₁ln 2V_n lnV_n ln 2 Donc:



 n IN



W_n_1W_nln 2

D’où

 

Wn est une suite arithmétique de raison rln2 est de premier terme _W₀_₀. c) n^lim ⁿ n^lim ₂^{ln 2}n

  

ⁿ ^{ln 2} ⁿ ²ⁿ



n

W n

n n Car n IN W n V

 V 

         

   

 

 

²

2

ln 2 ln 2

2

ln 2 1 ln 2

lim lim lim 0

ln 2

lim 0

n

n n

n n n

n

x x

W n n

n V e e

Car x e

  



 

   

     

     

   

 

  

 

 

Un

 

Vn

 

Vn

 

Vn