Bac Blanc février 2018 (Complexes, Fonctions, Espace, Suites, Probabilités)

(1)

Série S

Durée de l'épreuve : 4 h

27 février 2018

Bac Blanc de Mathématiques

---

- Enseignement spécifique -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 : (3 points)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; , ) on considère les points A et B d'affixes

respectives = + et = .

1. a) Déterminer le module et un argument de puis de . b) Interpréter géométriquement ces résultats.

c) En déduire la position des points A et B et les placer dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O ; , ) que vous représenterez sur votre feuille.

2. Justifier que le triangle OAB est isocèle et rectangle.

3. On considère l'équation (E) suivante :

(E) : = 0

Montrer que l'une des solutions de (E) est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit à OAB.

~u ~v zA (cos i sin ) zB -p

2 +ip 2

z²¡p 6z+ 2

zA zB

¼ 2 ^¼₄ 4

~ u ~v

(2)

On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

Au début de l'an , on comptait tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite ( ) définie par :

où pour tout entier naturel , modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année . 1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année puis de l'année . 2. On admet que, pour tout entier naturel , et appartiennent à l'intervalle [ ; ].

a) Montrer que, pour tout entier naturel on a : ≤ ≤ b) Montrer que, pour tout entier naturel on a : ≤ ≤

c) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on en déduire sur l'avenir de la population de tortues ? 3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil

critique de individus, alors l'espèce est menacée d'extinction.

On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année pour laquelle il reste au moins tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence.

← ←

Tant que ……… faire :

………

Fin tant que Afficher … Partie B :

Au début de l'année , il ne reste que tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite ( ) définie par :

où pour tout entier naturel ≥ , modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année . 1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année puis de l'année .

2. On admet que, dans ce modèle, la suite ( ) est croissante et convergente. On appelle l sa limite.

Montrer que l vérifie :

l = l ( – l ) 3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction?

un

½ u0 = 0,3

u_n+1= 0,9u_n(1¡u_n)

n un 2000 +n

2001 2002

n un 1¡un

n un+1 0,9un

n un 0,3£0,9ⁿ un

u n

2010 32

vn

½ v₁₀ = 0,032

vn+1 = 1,06vn(1¡vn)

n 10 vn 2000 +n

2011 2012

vn

0 0

0 0,3 30

30

0 1

2000 300

1,06 1

(3)

Un protocole de traitement d'une maladie, chez l'enfant, comporte une perfusion longue durée d'un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :

= ( – ) où :

• désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre.

• désigne le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure.

• le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure.

• un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.

Le paramètre est spécifique à chaque patient.

En médecine, on appelle « plateau » la limite en +∞ de la fonction . Partie A : Etude d'un cas particulier

La clairance d'un certain patient vaut et on choisit un débit égal à . Dans cette partie, la fonction est donc définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :

= ( – )

1. Etudier le sens de variation de la fonction sur [0 ; +∞[.

2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à . Le traitement de ce patient est-il efficace ? Partie B : Détermination d'un traitement adéquat.

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d'être efficace, c'est-à-dire au plateau d'être égal à .

Au préalable, il faut déterminer la clairance de ce patient.

A cette fin, on règle provisoirement le débit à , avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.

On rappelle que la fonction est définie sur l'intervalle [ ; +∞[ par : = ( – ) 1. Détermination de la clairance.

Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur . Au bout de heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament. Elle est égale à .

a) Soit la fonction définie sur [ ; +∞[ par = ( – ) – . Justifier que la clairance du patient vérifie = .

b) On admet que est strictement décroissante sur [ ; +∞[.

Démontrer que l'équation = admet une unique solution sur l'intervalle [ ; +∞[.

c) Donner une valeur approchée à près de cette solution. Interpréter ce résultat.

2. Réglage du débit.

a) Déterminer la limite l de la fonction en +∞ en fonction du débit et de la clairance .

b) La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite l . Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être égale à . En déduire le débit , à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est la valeur déterminée dans la question 1.

d C(t) a 1

C

C t d a

a

C

a 7 d 84

C(t) 1

C

12 C

15

15 a

d 112 C

C(t) ^d_a 1

µmol.h^-1 112

µmol.L^-1 6,8

6

10^-2

C d a

µmol.L^-1 15

d

e

⁸⁰^-a ^t

e

⁸⁰^-7 ^t

e

⁸⁰^-a ^t

112 1 f

0

a f(a) 0

5 f

0 5

f(x)

e

⁴⁰^-3 ^x 6,8x

f(x)

(4)

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; , , ).

On considère deux droites et définies par les représentations paramétriques suivantes :

: avec ∈ R : avec ∈ R

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite ∆ qui soit à la fois sécante avec et et orthogonale avec ces deux droites.

Partie A :

1. On pose A le point de de paramètre = et B le point de de paramètre = . Déterminer les coordonnées de A et B.

2. Donner un vecteur directeur de et un vecteur directeur de . Les droites et sont elles parallèles ? Sont-elles coplanaires ? Partie B :

Soit p le plan passant par A et dirigé par les vecteurs et . On admet que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.

1. Préciser la position relative de la droite et du plan p.

2. Déterminer une représentation paramétrique de p.

3. Démontrer que la droite coupe le plan p au point C(3 ; 3 ; 5).

Partie C :

Soit ∆ la droite dirigée par le vecteur et passant par C.

1. Déterminer une représentation paramétrique de ∆.

2. Soit D le point d'intersection des droites ∆ et . a) Déterminer les coordonnées de D.

b) Les triangles ACD et BCD sont-ils rectangles ? 3. Expliquer pourquoi ∆ répond au problème posé.

~i ~j ~k d1 d2

t 8<

:

x= 2 +t y = 3¡t z= t d1

8<

:

x= -5 + 2t⁰ y= -1 +t⁰ z = 5

d2 t⁰

d1

d2

d₁ t 0 d₂ t⁰ 0

~

u₁ d1 u~₂ d2

d1 d2

~u 0

@1 -1

1 1 A ~v

0

@1 -2 -3

1 A

~u ~v

d1

d2

~v

d₁

(5)

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A :

La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de %. À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à .

• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est .

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

• A l'évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A »

• C l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que P(C) =

2. À l'issue de la production, on constate que % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.

Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est le double de celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B : QCM

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapportent aucun point.

On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.

Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d'une couche de cire comestible. Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.

Lorsqu'il est produit par la machine A, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à .

1. Sur un échantillon aléatoire de bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'au moins bonbons soient déformés ?

a) b) c) d) On ne peut pas répondre car il manque des données

La machine A produit un tiers des bonbons de l'usine. Le reste de la production est assuré par la machine B.

Lorsqu'il est produit par la machine B, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à . Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l'ensemble de la production. Celui- ci est déformé.

2. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit produit par la machine B ?

a) b) c) d)

85

100

0,98 0,95

x

0,03x+ 0,95

96

50 2

0,26 0,08 0,92

0,02

0,05

0,05 0,67 0,83 0,44

(6)

Série S

Durée de l'épreuve : 4 h

27 février 2018

Bac Blanc de Mathématiques

---

- Enseignement de spécialité -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; , ) on considère les points A et B d'affixes

respectives = + et = .

1. Déterminer le module et un argument de puis de . b) Interpréter géométriquement ces résultats.

(E) : = 0

~u ~v zA 2(cos ^¼₄ i sin ^¼₄) zB -p

2 +ip 2

zA zB

~ u ~v

z²¡p 6z+ 2

(7)

On considère la suite définie par son premier terme = et, pour tout entier naturel , par : =

1. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a : =

2. Démontrer que, pour tout entier naturel ≥ , est divisible par . On définit la suite d'entiers ( ), pour tout entier naturel ≥ , par : =

3. On considère l'affirmation : « Pour tout entier naturel non nul, est un nombre premier ».

Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

4. a) Démontrer que, pour tout entier naturel ≥ , = .

b) En déduire que, pour tout entier naturel ≥ , et sont premiers entre eux.

c) En déduire, pour tout entier naturel ≥ , le PGCD de et . 5. a) Vérifier que ≡ .

b) En déduire que si est de la forme avec entier naturel, alors est divisible par 5.

c) Le nombre est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l'entier naturel ? Justifier.

n

u0 n

un+1 2un+ 6

1 3

un 6

n

un 9£2ⁿ¡6

vn n 1 vn un

6

n vn

n 1 vn+1¡2vn 1 n 1 vn vn+1

n 1 u_n u_n+1

2⁴ 1[5]

4k+ 2 k u_n

un n

(8)

Correction Exercice 1 :

1. a) Déterminer le module et un argument de puis de .

= + = + avec = 2 > et = . On en déduit : | | = et = [ ]

=

| | = = = =

= = ( + ) = +

On en déduit : = [ ]

b) Interpréter géométriquement ces résultats.

| | = | | = donc OA = OB = 2 = [ ] donc ( ; ) = [ ] = [ ] donc ( ; ) = [ ]

Le repère étant orthonormé, on place A et B à l'intersection du cercle c de centre O et de rayon 2 et des bissectrices des axes en sachant que = = > 0.

OA = OB = 2 donc OAB est isocèle en O.

( ; ) = ( ; ) – ( ; ) = – [ ] = [ ] = [ ] On en déduit que OAB est aussi rectangle en O.

Remarque : On peut également montrer que le triangle est rectangle en calculant la longueur de son 3e côté et en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore :

= – = – + = – ( + )

= – =

On en déduit : AB = | | =

On a : AB = ( ) = et : OA + OB = + =

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.

zA zB

zA 2(cos ^¼₄ i sin ^¼₄) ½(cosµ i sinµ) ½ 0 µ ^¼₄

zA zA ¼

4 2¼ arg

2 zB -p

2 +ip 2 zB

q (-p

2)²+p

2² p

2 + 2 p 4 2 zB -p

2 +ip

2 ^-

p2 2

p2 i 2

2 2(cos ^3¼₄ i sin ^3¼₄ ) arg z_B ^3¼ 2¼

4

zA 2

arg zA ¼ 4 2¼ arg zB 3¼

4 2¼

~

u ¡!OA ^¼₄ 2¼ zB

~u ¡!OB ^3¼₄ 2¼

¼ 4

3¼ 4

p2 sin sin 2

¡!OA ¡!OB ~u ¡!OB ~u ¡!OA ^3¼₄ ^¼₄ 2¼ ^2¼₄ 2¼ ^¼₂ 2¼

z¡!

AB

z¡!AB

z¡!

AB

2 2p 2 2 2 2

2

2p 2

8 2 2² 8

-p

2 +ip 2 p

2¡ip 2

-p

2 +ip 2 -p

2 +ip 2

-2p 2

zB zA 2(cos ^¼₄ i sin ^¼₄) 2

p2 2

p2 i 2

~ u ~v

(9)

(E) : = 0

∆ = = = = - < 0

On en déduit deux racines complexes conjuguées :

= = et : = =

On note c' le cercle circonscrit à OAB. OAB étant rectangle en O, le centre de c' est le milieu I de [AB].

= = = =

Calcul du rayon de c' : IO = | | =

Soit M et M' les points du plan complexe d'affixes respectives et . Vérifions si M appartient à c' :

IM = | – | = | – | = | – | = | – | = | |

IM = = = = = =

IM ≠ donc M ∉ c'

Vérifions si M' appartient à c' :

IM' = | – | = | – | = | – | = | – | = | |

IM' = = = = = =

IM' = = IO donc M' ∉ c'

Ainsi, l'une des solutions de (E) est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit à OAB.

Exercice 2 :

On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

Au début de l'an , on comptait tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite ( ) définie par :

où pour tout entier naturel , modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année . 1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année puis de l'année .

= = = =

= = ≈

Ainsi, selon ce modèle, en on comptait tortues en en on en comptait .

2. On admet que, pour tout entier naturel , et appartiennent à l'intervalle [ ; ].

a) Montrer que, pour tout entier naturel on a : ≤ ≤

∀ ∈ N, on admet que : ≤ ≤

En multipliant chaque membre par et tous les deux positifs, on obtient :

≤ ≤

Ainsi : ∀ ∈ N, ≤ ≤

z²¡p 6z+ 2

un

½ u₀ = 0,3

u_n+1= 0,9u_n(1¡u_n)

n un 2000 +n

2001 2002

n un 1¡un

b²¡4ac (-p

6)²¡4£2 6¡8 2

z₁ ^-b^¡ⁱ z₂ z¯₁

p

j¢j 2a

p6¡ip 2 2

p6+ip 2 2

zI z_A+z_B 2

p2+ip 2¡p

2+ip 2 2

2ip 2 2 ip

2 z_I p

2

z1 z2

z1 zI

p6¡ip 2

2 ip

2

p6¡ip 2

2 ip

2

p6¡ip 2 2

i2p 2 2

p6¡i3p 2 2 jp

6¡i3p 2j 2

p

_p

6²+(3p 2)² 2

p6+9£2 2

p24 2

2p 6 2

p6 p2

p2

zI ip

2 ip

2 ⁱ²

p2 z2 2

p6+ip 2 2

p6¡ip 2 2 jp

6¡ip 2j 2

p

_p

6²+p 2² 2

p6+2 2

p8 2

2p 2 2

p2

u1 0,9u0(1¡u0) 0,9£0,3 (1¡0,3) 0,27£0,7 0,189 u1 0,9u1(1¡u1) 0,9£0,189£0,811 0,138

2001 189 2002 138

un+1 0,9un

n 1¡un

un

0,9u_n(1¡u_n)

0,9un£0 0,9un£1 u_n+1

0 0,9un

n

0

2000 300

0 1

0,9

(10)

b) Montrer que, pour tout entier naturel on a : ≤ ≤

∀ ∈ N, on pose p( ) : « ≤ ≤ ».

Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel .

• Initialisation : On a : =

Et : =

Donc : ≤ ≤ . Ainsi, p( ) est vraie.

• Hérédité :

Soit un entier naturel. ≥ .

Supposons que p( ) soit vraie. Alors : ≤ ≤

En multipliant chaque membre des inégalités par > on a : ≤ ≤ ≤ ≤ Or, dans la question 2. a) nous avons montré : ≤ ≤

On en déduit : ≤ ≤ Ainsi p( ) est vraie.

• Conclusion :

p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≤ ≤

c) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on en déduire sur l'avenir de la population de tortues ?

∀ ∈ N, on a : ≤ ≤

∈ ]- ; [ donc =

On en déduit : =

Par conséquent, d'après le théorème des gendarmes : =

On peut en déduire que, dans un grand nombre d'années, le nombre de tortues se rapprochera de .

3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de individus, alors l'espèce est menacée d'extinction.

On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année pour laquelle il reste au moins tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence.

← ←

Tant que ≥ faire : ←

← Fin tant que Afficher Partie B :

Au début de l'année , il ne reste que tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite ( ) définie par :

où pour tout entier naturel ≥ , modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année . 1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année puis de l'année .

= = ≈

= ≈ ≈

Ainsi, selon ce modèle, en on comptait tortues en en on en comptait . n u_n 0,3£0,9ⁿ

un

u n

2010 32

vn

½ v10 = 0,032

vn+1 = 1,06vn(1¡vn)

n 10 vn 2000 +n

2011 2012

0

n n 0 un 0,3£0,9ⁿ

n n

u0 0,3 0,3£0,9⁰ 0,3

0 u0 0,3£0,9⁰ 0

k k

0 uk 0,3£0,9^k

0 0

uk+1 0,9uk

u_k+1 k+ 1

0 n n 0 un 0,3£0,9ⁿ

n 0 un 0,3£0,9ⁿ

0,9 1 1 lim

n!+10,9ⁿ 0

n!lim+10,3£0,9ⁿ 0

n!lim+1un 0

0

30 30

0,3 0

u 0,03 n n+ 1

u 0,9u(1¡u)

v11 1,06v10(1¡v10) 1,06£0,032£0,968 0,033 v12 1,06v11(1¡v11) 1,06£0,033£0,967 0,034

2011 33 2012 34

2000 +n¡1 k 0

0 0,9uk 0,9£0,3£0,9^k 0,9 0

0 0,9u_k 0,3£0,9^k+1 0,3£0,9^k+1

(11)

2. On admet que, dans ce modèle, la suite ( ) est croissante et convergente. On appelle l sa limite.

Montrer que l vérifie :

l = l ( – l ) ( ) est définie pour tout entier naturel ≥ par :

On admet que converge vers l donc : = = l

De plus, par somme et produit de limites finies, on a : = l ( – l ) Or, pour tout entier naturel ≥ on a : = .

Donc, les limites de chaque membre sont égales et l vérifie l'équation : l = l ( – l ) 3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction?

Déterminons la limite de la suite ( ) :

l = l ( – l )

l = l – l

l + l – l =

l – l =

l ( l – ) =

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Donc : l = 0 ou l – = l = 0 ou l = =

On sait que la suite ( ) est croissante de premier terme = donc elle ne peut pas converger vers . On en déduit qu'elle converge vers l = ≈ .

Avec ce modèle, le nombre de tortues augmentera au fil du temps jusqu'à tendre vers 57.

La population de tortues n'est donc plus en voie d'extinction.

Exercice 3 :

Un protocole de traitement d'une maladie, chez l'enfant, comporte une perfusion longue durée d'un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :

= ( – ) où :

• désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre.

• désigne le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure.

• le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure.

• un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.

Le paramètre est spécifique à chaque patient.

En médecine, on appelle « plateau » la limite en +∞ de la fonction . Partie A : Etude d'un cas particulier

La clairance d'un certain patient vaut et on choisit un débit égal à . Dans cette partie, la fonction est donc définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :

= ( – )

1. Etudier le sens de variation de la fonction sur [0 ; +∞[.

∀ ∈ [0 ; +∞[, on a : = ( – ) = –

Donc : = - × =

> et : ∀ ∈ [0 ; +∞[, > donc > .

On en déduit que la fonction est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

v_n

C C(t)

C t d a

a

C

a 7 d 84

C

C(t) 12 1

e

⁸⁰^-7 ^t

C vn

½ v10 = 0,032

vn+1 = 1,06vn(1¡vn) 10

n

vn lim

n!+1 lim

n!+1vn

vn+1

n!lim+11,06vn(1¡vn) 1,06 1 1,06 1

1,06 1

1,06 ² 1,06 ² 1,06

1,06

0 1,06 ² 0,06 0

0 1,06 0,06

1,06 0,06 0 0,06

1,06 3 53

vn v10 0,032 0

3

53 0,057 vn

t C(t) 12 1

e

⁸⁰^-7 ^t 12 12

e

⁸⁰^-7 ^t

C⁰(t) 12 ₈₀^-7

e

⁸⁰^-7 ^t ²¹₂₀

e

⁸⁰^-7 ^t

21 t

20 0

e

⁸⁰^-7 ^t 0 C⁰(t) 0

C

vn+1 1,06vn(1¡vn) n 10

d

a 1

e

⁸⁰^-a ^t

(12)

2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à . Le traitement de ce patient est-il efficace ?

∀ ∈ [0 ; +∞[, on a : = ( – ) On sait que : = -∞ et : =

On en déduit, par composée de limites : = Par différence, on obtient : ( – ) = 1

Par produit, on obtient : = ( – ) = 12.

Le plateau est la limite en +∞ de la fonction .

Il est différent de donc le traitement n'est pas efficace pour ce patient.

Partie B : Détermination d'un traitement adéquat.

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d'être efficace, c'est-à-dire au plateau d'être égal à .

Au préalable, il faut déterminer la clairance de ce patient.

A cette fin, on règle provisoirement le débit à , avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.

On rappelle que la fonction est définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par : = ( – ) 1. Détermination de la clairance.

Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur . Au bout de heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament. Elle est égale à .

a) Soit la fonction définie sur [ ; +∞[ par = ( – ) – . Justifier que la clairance du patient vérifie = .

On a : = et =

On en déduit : ( – ) = ⇔ ( – ) = ⇔ ( – ) – = b) On admet que est strictement décroissante sur [ ; +∞[.

Démontrer que l'équation = admet une unique solution sur l'intervalle [ ; +∞[.

est continue et strictement décroissante sur [ ; +∞[.

Le tableur de la calculatrice fournit : ≈ > 0 et ≈ - < 0

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur l'intervalle [ ; ].

étant strictement décroissante sur [ ; +∞[, on a : ∀ ∈ [ ; +∞[, ≤ < . Donc l'équation = admet une unique solution sur [ ; +∞[.

c) Donner une valeur approchée à près de cette solution. Interpréter ce résultat.

Méthode : En utilisant :

• le tableur de la calculatrice et la méthode de balayage

• ou l'algorithme de dichotomie

• ou la touche ROOT (F1) dans le menu G-Solv (SHIFT+F5) de résolution graphique sur Casio

• ou la commande 2:zero dans le menu CALC de résolution graphique sur TI On obtient : ≈

On en déduit que la clairance du patient est d'environ . 15

15 a

d 112 C

C(t) ^d_a 1

e

⁸⁰^-a ^t

112µmol.h^-1 6

6,8µmol.L^-1

10^-2

t C(t) 12 1

e

⁸⁰^-7 ^t

t!lim+1

-7

80t lim e^T

T!-1 0

t!lim+1

e

⁸⁰^-7 ^t 0

t!lim+1 1

e

⁸⁰^-7 ^t

t!lim+1C(t) lim

t!+112 1

e

⁸⁰^-7 ^t

C 15

5,85 a

5,85L.h^-1

f 0

a f(a) 0

f 5

0 5

d 112 C(6) 6,8 112

a 1

e

⁸⁰^-a^£⁶ 6,8 112 1

e

⁸⁰^-6 ^a 6,8a 112 1

e

⁴⁰^-3 ^a 6,8a 0

f 5

f(5) 1,02 f(6) 0,21

0 a

5

f 5

6

6 f(6) 0

0

f(x) 112 1

e

⁴⁰^-3 ^x 6,8x

f(x)

x f(x)

f(x)

(13)

2. Réglage du débit.

a) Déterminer la limite l de la fonction en +∞ en fonction du débit et de la clairance .

∀ ∈ [0 ; +∞[, on a : = ( – )

On sait que la clairance est un paramètre strictement positif donc : = -∞ De plus : = . Donc, par composée de limites : =

Par différence, on obtient : ( – ) = 1

Par produit, on obtient : l = = ( – ) = .

b) La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite l . Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être égale à . En déduire le débit , à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est la valeur déterminée dans la question 1.

Le débit doit être réglé, en fonction de la clairance du patient de sorte que le plateau soit égal à . A la question 1. c) nous avons déterminé : ≈

On en déduit : = ⇔ ≈ ≈ .

Exercice 4 :

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; , , ).

On considère deux droites et définies par les représentations paramétriques suivantes :

: avec ∈ R : avec ∈ R

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite ∆ qui soit à la fois sécante avec et et orthogonale avec ces deux droites.

Partie A :

1. On pose A le point de de paramètre = et B le point de de paramètre = . Déterminer les coordonnées de A et B.

A est le point de de paramètre = donc : . Ainsi, on a : A( ; ; )

B est le point de de paramètre = donc : . Ainsi, on a : B( ; ; ) 2. Donner un vecteur directeur de et un vecteur directeur de .

Les droites et sont elles parallèles ? Sont-elles coplanaires ? est dirigée par et est dirigée par .

≠ ≠ donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires et les droites et ne sont pas parallèles.

Elles sont sécantes si et seulement si le système suivant admet un couple unique de solutions réelles ( , ) :

⇔ ⇔ ⇔

≠ - donc et ne sont pas sécantes. En rappellant qu'elles ne sont pas non plus parallèles on en déduit qu'elles ne sont pas coplanaires.

C d a

15µmol.L^-1 d

~i ~j ~k d1 d2

d1

8<

:

x= 2 +t y = 3¡t z= t

t d2

8<

:

x= -5 + 2t⁰ y= -1 +t⁰ z = 5

t⁰

d1

d2

d1 t 0 d2 t⁰ 0

~

u1 d1 u~2 d2

d1 d2

t C(t)

t!lim+1 t

Tlim!-1e^T 0 lim

t!+1 0

t!lim+1

t!lim+1C(t) lim

t!+1

d

a 1

e

^-a⁸⁰ ^t

a ₈₀^-a

e

⁸⁰^-a ^t

1

e

⁸⁰^-a ^t

d

a 1

e

⁸⁰^-a ^t _a^d

d

a 15

d a

a 5,85 d

5,85 15 d 15£5,85 87,75µmol.h^-1

d1 t 0

8<

:

xA= 2 + 0 = 2 yA= 3¡0 = 3 zA= 0

0

d2 t⁰

8<

:

x_B = -5 + 2£0 = -5 y_B = -1 + 0 = -1 z_B = 5

-5 -1 5 2 3 0

d₁ d₂

0

@ 1 -1

1 1 A

~

u₁ u~₂

0

@ 2 1 0

1 A

2 1

1 -1

0

1 u~1 u~2 d1 d2

t t⁰ 8<

:

2 +t= -5 + 2t⁰ 3¡t= -1 +t⁰ t= 5

8<

:

2t⁰= 2 + 5 + 5 t⁰ = 3¡5 + 1 t= 5

8<

:

2t⁰ = 12 t⁰ = -1 t= 5

8<

:

t⁰ = 6 t⁰ = -1 t= 5 6 1 d1 d2

(14)

Partie B :

Soit p le plan passant par A et dirigé par les vecteurs et . On admet que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.

1. Préciser la position relative de la droite et du plan p.

On sait que p est dirigé par les vecteurs et .

On remarque que et le vecteur directeur de sont égaux. On en déduit que est parallèle au plan p.

Enfin, puisque A est un point commun à et au plan p alors on peut en conclure que est incluse dans p.

2. Déterminer une représentation paramétrique de p.

p est le plan passant par A( ; ; ) et dirigé par les vecteurs et .

On en déduit sa représentation paramétrique : avec ∈ R et ∈ R 3. Démontrer que la droite coupe le plan p au point C(3 ; 3 ; 5).

Pour démontrer que la droite coupe le plan p au point C(3 ; 3 ; 5) on peut démontrer que C appartient à la fois à et à p puis que n'est pas incluse dans p.

C ∈ ⇔ ⇔ ⇔ = 4

C ∈ p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Les deux systèmes ayant chacun une solution unique le point C appartient à et au plan p.

On rappelle que B( ; ; ) est aussi un point de . Testons si B appartient également à p :

⇔ ⇔ ⇔

≠ - Donc B n'appartient pas à p. On en déduit que n'est pas incluse dans p et que le seul point d'intersection entre cette droite et ce plan est C.

Partie C :

Soit ∆ la droite dirigée par le vecteur et passant par C.

1. Déterminer une représentation paramétrique de ∆.

∆ est la droite passant par C( ; ; ) et dirigé par le vecteur .

On en déduit sa représentation paramétrique : avec ∈ R

~u 0

@1 -1

1 1 A ~v

0

@1 -2 -3

1 A

~u ~v

d1

d₂

~v

~ u ~v

~

u u~₁ d₁ d₁

d1 d1

~ u

0

@1 -1

1 1 A ~v

0

@1 -2 -3

1 A 2 3 0

8<

:

x= 2 +k+k⁰ y= 3¡k¡2k⁰ z =k¡3k⁰

k k⁰

d2

8<

:

3 = -5 + 2t⁰ 3 = -1 +t⁰ 5 = 5

8<

:

2t⁰ = 8 t⁰ = 4 5 = 5

t⁰ 8<

:

3 = 2 +k+k⁰ 3 = 3¡k¡2k⁰ 5 =k¡3k⁰

8<

:

k+k⁰ = 1 k = -2k⁰ k¡3k⁰ = 5

8<

:

-2k⁰+k⁰ = 1 k = -2k⁰ -2k⁰¡3k⁰ = 5

8<

:

-k⁰ = 1 k = -2k⁰ -5k⁰ = 5

½ k⁰ = -1 k= 2 d2

3 ~v

0

@1 -2 -3

1 A

3 5

8<

:

x= 3 +k⁰⁰ y= 3¡2k⁰⁰ z = 5¡3k⁰⁰

k⁰⁰ d2

-5 -1 5 d2

8<

:

-5 = 2 +k+k⁰ -1 = 3¡k¡2k⁰ 5 =k¡3k⁰

8<

:

-5 = 2 +k+k⁰ -6 = 5¡k⁰ -10 = 2 + 4k⁰

8<

:

-5 = 2 +k+k⁰ k⁰ = 5 + 6 4k⁰= -10¡2

8<

:

-5 = 2 +k+k⁰ k⁰ = 11

k⁰ = ^-12₄ = -3

11 3 d2

L₂ ← L₁ + L₂ L₃ ← L₁ – L₃ L₁

L₂ L₃

(15)

2. Soit D le point d'intersection des droites ∆ et . a) Déterminer les coordonnées de D.

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection D de ∆ et on résout le système suivant :

⇔ ⇔ ⇔

On en déduit que D est le point de de paramètre = 2. Ainsi : b) Les triangles ACD et BCD sont-ils rectangles ?

On a : A( ; ; ) B( ; ; ) C( ; ; ) et D( ; ; ).

On en déduit : et

AD = = AC = = CD = =

On a : AD + CD = AC

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ACD est rectangle en D.

De même : BC = = BD = = CD = On a : BC + CD = BD

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, BCD est rectangle en C.

3. Expliquer pourquoi ∆ répond au problème posé.

On a montré que :

• A et D sont sur donc = (AD)

• C et D sont sur ∆ donc ∆ = (CD)

• B et C sont sur donc = (BC) On en déduit que ∆ coupe en D et en C.

De plus :

• ACD est rectangle en D donc ∆ est perpendiculaire à en D

• BCD est rectangle en C donc ∆ est perpendiculaire à en C

Finalement, on a pu trouver une droite ∆ à la fois sécante avec et et orthogonale avec ces deux droites.

Donc ∆ répond au problème.

Exercice 5 : Les parties A et B sont indépendantes.

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A :

La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de %. À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à .

• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est .

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

• A l'évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A »

• C l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

d₁

100 85

0,98 0,95

x

d1

8<

:

2 +t= 3 +k⁰⁰ 3¡t= 3¡2k⁰⁰ t= 5¡3k⁰⁰

8<

:

2 + 5¡3k⁰⁰ = 3 +k⁰⁰ 3¡5 + 3k⁰⁰ = 3¡2k⁰⁰ t= 5¡3k⁰⁰

8<

:

4 = 4k⁰⁰ 5k⁰⁰ = 5 t= 5¡3k⁰⁰

½ k⁰⁰ = 1

t= 5¡3 = 2

d1 t

8<

:

xD = 2 + 2 = 4 yD= 3¡2 = 1 zD= 2

2 3 0 -5 -1 5 3 3 5 4 1 2

¡!AC 0

@ 1 0 5

1

A ¡!

BD 0

@ 9 2 -3

1 A p1²+ 5² p

26

¡!AD 0

@ 2 -2

2 1

A ¡!

CD 0

@ 1 -2 -3

1 A ¡!

BC 0

@ 8 4 0

1 A p2²+ 2²+ 2² p

12 p

1²+ 2²+ 3² p 14

2

2 2

p8²+ 4² p

80 p

9²+ 2²+ 3² p

94 p

14

2 2 2

d1 d1

d2 d2

d1 d2

d1

d2

d1 d2

(16)

1. Montrer que P(C) =

On peut modéliser la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant : C A

C

On en déduit :

P(C) = P(A∩C) + P( ∩C) = P(A) × PA(C) + P( ) × PA(C)

P(C) = = =

2. À l'issue de la production, on constate que % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.

Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est le double de celle que la tablette provienne de la chaîne A.

À l'issue de la production, on constate que % des tablettes sont commercialisables. Donc P(C) =

On en déduit : = ⇔ = ⇔ = =

Ainsi : P(A) = = et : P(B) = =

La probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est le double de celle qu'elle provienne de la chaîne A.

Partie B : QCM

On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.

Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d'une couche de cire comestible. Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.

Lorsqu'il est produit par la machine A, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à .

1. Sur un échantillon aléatoire de bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'au moins bonbons soient déformés ?

a) b) c) d) On ne peut pas répondre car il manque des données

Lorsqu'on prélève au hasard un bonbon issu de la machine A, il n'y a que deux issues possibles : soit il est déformé, soit il ne l'est pas. C'est une épreuve de Bernoulli. La probabilité qu'il soit déformé est . On prélève bonbons dans des conditions d'indépendance et on obtient un schéma de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de bonbons déformés, parmi les . X prend des valeurs entières entre et donc X suit la loi binomiale b( ; ).

P(X ≥ ) = 1 – P(X ≤ ) ≈ La bonne réponse est la a)

La machine A produit un tiers des bonbons de l'usine. Le reste de la production est assuré par la machine B.

Lorsqu'il est produit par la machine B, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à . Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l'ensemble de la production. Celui- ci est déformé.

2. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit produit par la machine B ?

a) b) c) d)

Pour répondre à cette question il faut calculer PD (B), en notant D l'évènement « le bonbon est déformé ».

P(A) = donc P(B) =

P(D) = P(A∩D) + P(B∩D) = P(A) × PA(D) + P(B) × PB(D) = × + × = =

PD (B) = = = ≈

La bonne réponse est la c)

0,03x+ 0,95

96

50 2

0,67

C¯

C¯ x

1 – x A¯ 0,98

0,02 0,95

0,05

A¯ A¯

0,98x+ 0,95(1¡x) 0,98x+ 0,95¡0,95x 0,03x+ 0,95

96 0,96

0,03x+ 0,95 0,96 0,03x 0,01 x ^0,01 0,03

1 3

x ¹₃ 1¡x ²₃

50 50

50

0 50

2 1

1 3

2 3

1 3

2 3 0,05

0,02

0,02 0,26

0,26 0,08 0,92

0,02 0,05 ^0,12

3 0,04

2 3£0,05

0,04 5

6 0,83

0,44 0,83

0,05

P(B\D) P(D)