N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
H. L AURENT Sur l’élimination
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 11
(1892), p. 5-7<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1892_3_11__5_0>
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NOUVELLES ANNALES
DE
MATHÉMATIQUES.
SUR L'ÉLIMINATION;
PAR M. H. LAURENT.
Je vais faire connaître une méthode d'élimination qui permet d'écrire explicitement la résultante de deux équations, sans même qu'il soit nécessaire de faire in- tervenir les coefficients de cette équation.
Pour former la résultante des deux équations
des degrés m et n oit m^/?, on désignera par <?n a2, . . . , am des quantités numériques quelconques, on posera
en — — cjiy aj — ai
eu = v'{a,i)ty{ai) — o(a,i) ty'(ai), et la résultante sera
2 ± : C11C22 . • • cmm — o.
Démonstration» — Posons
F (a?) = (x— ai)(x — a2). ..(x — a,n), _ ¥{x) 1
( 6 )
La formule d'interpolation de Lagrange donne
; j - tu
Si nous désignons, en général, par G'-" ce que devient une fonction G de x quand on remplace x par une ra- cine JTJ de >f{x) = o, la formule (1 ) deviendra
ce (jiii montre que le déterminant D des quantités
^Jjll^l} c s l]c produit du déterminant C des quau-
j-j — at 1
tités cCJ par le déterminant X des quantités ^/\ ainsi
Or on a
I ^ Y - ___•
Îet
. o ( a/ w) ( ! > ,
A/w désignant le coeilicient de .r^ dans ? ( . r ) } donc r>^ < :~ ' { ' < ' - i ) ' M ^ » . . . * ( . r , ,l) F ' ( a i ) F ï , /2) . . . F ' (r t / / l) Aw. Cl m o rst donc bien la résultante.
Remarques. ~ ,» On a supposé que a{, a,, . . . éta.ent des nombres^ si oes quantités d é p e n d a i J u t de
es
( 7 )
coefficients de o et «i, la résultante serait
G=o,
2° Les propriétés connues relatives au degré de la résultante sont évidentes sous la nouvelle forme que nous venons de faire connaître.
3° Enfin la méthode que nous venons de donner peut être généralisée et étendue à un nombre quelconque d'équations.
4° La racine commune s'obtiendra en résolvant les équations
qui sont, en général, au nombre de m — i distinctes.
L'un des £ étant connus, on en déduit .r, etc.
