Vélocimétrie laser

BLAISE PASCAL PT 2020-2021

DM 16 – à rendre lundi 22 mars Correction

Interférences

Vélocimétrie laser

. inspiré oral banque PT .

L’exercice d’oral dont s’inspire ce sujet était très certainement lui-même inspiré du livre La physique par les applications, de Renaud Carpentier et Benoît Dépret ... ou tout du moins c’est de ce livre que viennent mes compléments d’énoncé !

1 Pour que les deux faisceaux puissent donner lieu à des interférences il faut qu’ils soient cohérents, c’est-à-dire que les deux ondes qui se superposent proviennent du même train d’onde. Comme la phase initiale d’un train d’onde est aléatoire, la seule possibilité est que les deux trains d’ondes qui se superposent soient issus d’un même train d’onde primaire qui a été dédoublé, ce qui empêche d’utiliser deux lasers différents.

2 Posonsk₀=||#”k₁||=||#”k₂||. Dans la base cartésienne de la figure,

#”k₁=k₀(cosα#”e_x−sinα#”e_y) et #”k₂=k₀(cosα#”e_x+ sinα#”e_y).

D’après le principe de superposition,

s(M, t) =s1(M, t) +s2(M, t) =S0cos(ωt−k0cosα x+k0sinα y) +S0cos(ωt−k0cosα x−k0sinα y) et en utilisant la formule d’addition des cosinus,

s(M, t) = 2S₀cos(ωt−k₀cosα x) cos(k₀sinα y).

L’onde n’estpas planecar elle dépend à la fois dexet dey. Elle estprogressive selon +#”ex. Elle estmonochro- matiqueà la pulsationω.

3 L’intensité lumineuse vaut I(x, y) =

s(M, t)²

= 4S₀²

cos²(ωt−k0cosα x)

cos²(k0sinα y) d’où on obtient

I(x, y) = 4S₀²×1

2 ×cos²(k0sinα y) = 2S₀²cos²(k0sinα y).

Pour retrouver une forme plus habituelle, on peut linéariser le cosinus et remplacerk0= 2π/λ0 :

I(x, y) =S₀²

1 + cos

2π

λ0

2 sinα y

.

L’intensité est indépendante dex, les franges sont doncrectilignes parallèles à l’axe (Ox). L’ordre d’interférence vaut

p= 2 sinα y λ0

d’où on déduit l’interfrange, 2 sinα(y+i)

λ0

= 2 sinα y λ0

+ 1 soit 2 sinα i λ0

= 1 d’où i= λ₀

2 sinα.

4 Les traceurs passent alternativement dans les franges brillantes et sombres, ce qui explique l’effet de clignotement.

5 La période T du clignotement donne la durée mise par le traceur pour passer d’une frange brillante à la suivante. Or ces deux franges sont séparées d’une distancei par définition de l’interfrange. On en déduit la vitesse de l’écoulement,

V = i

T d’où V = λ0

2 sinαf = 3,46 m·s⁻¹.

1/2 Étienne Thibierge, 9 mars 2021,www.etienne- thibierge.fr

Correction DM 16 : Interférences Blaise Pascal, PT 2020-2021 6 Raisonnons à l’interface entre l’air et le fluide. Chaque rayon lumineux du faisceau 1 arrive avec un angle d’incidence αpar rapport à l’axe (Ox) qui est la normale au dioptre. D’après la loi de la réfraction, l’angle formé dans le fluide par ce faisceau par rapport à l’axe (Ox) vaut donc

1×sinα=nsinα⁰ d’où sinα⁰=sinα n .

7 Notons c⁰ =c/n la vitesse de la lumière dans le fluide. La pulsation est invariante par changement de milieu, donc en appliquant deux fois la relation de dispersion on a

ω =

↑ air

2π λ0

c =

↑ fluide

2π

λ⁰₀c⁰ d’où λ⁰₀= c⁰

cλ0 soit λ⁰₀= λ0

n .

8 En tenant compte du changement d’indice, l’interfrange vaut

i⁰ = λ⁰₀

2 sinα⁰ = λ0/n

2 sinα/n = λ0

2 sinα.

Ainsi, l’interfrange est exactement le même que celui calculé en début d’exercice : il n’y a pas besoin de connaître l’indice optique du fluide pour pouvoir interpréter l’expérience et déterminer la vitesse d’écoulement, ce qui est très intéressant en pratique !

2/2 Étienne Thibierge, 9 mars 2021,www.etienne- thibierge.fr