Examen d’alg` ebre
Premier bachelier en sciences math´ematiques, mercredi 17 janvier 2018
Consignes : R´epondre `a des questions diff´erentes sur des feuilles distinctes.
La clart´e, la r´edaction et la justification des r´eponses fournies interviennent dans la cotation. Enoncer les r´esultats utilis´es. Bon travail.
1) SoientE unK-vectoriel de dimension finie etF, Gdeux sous-espaces vecto- riels de E. D´efinir la somme de F et de G. Enoncer et d´emontrer la formule donnant dim(F +G).
2) Quand dit-on qu’un syst`eme d’´equations lin´eaires est de Cramer ? Enoncer et d´emontrer les formules de Cramer ?
3) D´efinir les notions de permutation, cycle, transposition et signature d’une permutation.
4) Vrai–Faux. Justifier `a chaque fois votre r´eponse par une preuve (´enoncer un r´esultat th´eorique du cours peut suffire) ou un contre-exemple explicite.
a. L’ensemble R, consid´er´e comme R-vectoriel, est un espace vectoriel de dimension finie.
b. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-vectoriel E. Le sous-espace G est un suppl´ementaire de F dans E si et seulement si tout ´el´ement de E poss`ede une unique d´ecomposition comme somme d’un ´el´ement deF et d’un ´el´ement deG.
c. Si x1, . . . , xk sont des ´el´ements lin´eairement ind´ependants de Cn con- sid´er´e comme C-vectoriel, alors x1, . . . , xk sont encore lin´eairement in- d´ependants quand Cn est consid´er´e comme unR-vectoriel.
d. Soit A ∈R33 une matrice. L’application f : R3 →R3, x 7→Ax est une bijection de R3 dans R3 si et seulement si A est inversible.
e. Toute permutation est son propre inverse.
Consignes : La clart´e, la r´edaction et la justification des r´eponses fournies inter- viennent dans la cotation. Enoncer les r´esultats utilis´es. Bon travail.
5)D´eterminer le rang de la matrice suivante en fonction des param`etresa, b∈C
b b b−a b−a a−b −b a a
a+b b 0 0
0 1 0 1
.
6)
a) Donner un exemple de deux matrices sym´etriques (carr´ees de mˆeme dimension) dont le produit n’est pas une matrice sym´etrique. (Sugges- tion : des matrices contenant uniquement des 0 et des 1 suffisent.) b) Soient A, B ∈Rnn deux matrices sym´etriques.
Prouver que AB est sym´etrique si et seulement si AB=BA.
7) Soit F ⊂R4 l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene suivant
x1 +x2−x3+x4 = 0 2x1−x2−x3 = 0 3x2−x3+λ x4 = 0
a. En fonction deλ∈R, donner une base et d´eterminer la dimension deF. b. Siλ = 2, donner une base d’un suppl´ementaire de F dans R4.
c. Siλ = 2, d´eterminer l’intersection de F avec
G= +
1
−1 3 3
,
−1
−1 0 0
*
d. Siλ = 1, quelle est la dimension deF +Gavec
G= +
1 1 1 0
,
1 0 1 0
,
0 0 1 0
*
