Supposons que l’on veuille effectuer un test statistique d’hypoth`eses portant surθ

Universit´e de Strasbourg S´egolen Geffray

M1 - Magist`ere geffray@math.unistra.fr

Statistique - ´etudes de cas Ann´ee 2015/2016

Sujet 9: Tests de comparaison de deux moyennes `a deux ´echantillons ind´ependants

• Quelques rappels sur la d´efinition math´ematique des tests d’hypoth`eses:

Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans un ensembleX, de loiP<sub>θ</sub> o`uθ ∈Θ. Supposons que l’on veuille effectuer un test statistique d’hypoth`eses portant surθ. On formule deux hypoth`eses contradictoires not´ees H₀ etH₁ dont on suppose que l’une et seulement l’une est vraie. Math-

´

ematiquement, formuler H₀ et H₁ revient `a choisir deux sous-ensembles disjoints de Θ not´es Θ<sub>0</sub> et de Θ<sub>1</sub> de sorte que l’hypoth`ese H₀ s’´ecrit alors {θ₀ ∈ Θ₀} tandis que l’hypoth`ese H<sub>1</sub> s’´ecrit {θ<sub>1</sub> ∈ Θ<sub>1</sub>}. Soit (X<sub>1</sub>, ..., X<sub>n</sub>) un ´echantillon i.i.d. issu d’une variable parente X et soit (x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>)∈ X<sup>n</sup> une r´ealisation de (X<sub>1</sub>, ..., X<sub>n</sub>). Construire un test de H<sub>0</sub> contre H<sub>1</sub> revient `a construire une r´egion critiqueRde telle sorte que l’on rejetteH₀ lorsque (x₁, ..., x_n)∈Ret que l’on s’assure que le risque de 1`ere esp`ece est inf´erieur ou ´egal `a α.

Dans ce cadre, on parle de fonction de risque de 1`ere esp`ece d´efinie sur Θ₀ pour θ →α(θ) =Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R).

On appelle taille du test la probabilit´e maximale de rejeter H₀ alors que H₀ est vraie:

sup

θ∈Θ₀

{Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R)}. On dit qu’un test est de niveau α si sa taille est ´egale `a α ie si

sup

θ∈Θ0

{Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R)}=α .

On parle de fonction de risque de 2nde esp`ece d´efinie sur Θ₁ pour θ→β(θ) = Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R)/ .

On parle de fonction puissance d´efinie sur Θ₁ pour

θ →1−β(θ) =P^θ((X1, ..., Xn)∈ R).

• Tests de comparaison de deux moyennes `a deux ´echantillons ind´ependants:

Soient deux variablesXetY ind´ependantes dont on souhaite comparer les valeurs moyennes sur la base d’´echantillons i.i.d. Formellement, on souhaite tester l’hypoth`ese nulleH<sub>0</sub>: E[X] =E[Y] contre l’hypoth`ese alternative H1: E[X]6=E[Y] au niveauα.

Soit (X₁, . . . , X_nX) un ´echantillon i.i.d. distribu´e comme la variable X. Soit (Y₁, . . . , Y_nY) un

´

echantillon i.i.d. distribu´e comme la variable Y, ind´ependant de (X₁, . . . , X_nX). Soit X_nX = 1

nX nX

X

i=1

X_i

1

un estimateur de E[X] et soit

Y_nY = 1 n_Y

nY

X

i=1

Y_i

un estimateur de E[Y]. Notons S_X,n⁰²

X = 1

n_X −1

nX

X

i=1

X_nX −X_i2

un estimateur de Var(X) et

S_Y,n⁰²

Y = 1

n_Y −1

nY

X

i=1

Y_nY −Y_i2

un estimateur de Var(Y). Notons ´egalement

S_n⁰²_X+nY = (n_X −1)S_X,n⁰² _X + (n_Y −1)S_Y,n⁰² _Y

n_X +n_Y −2 = 1

n_X +n_Y −2

nX

X

i=1

Xn_X −Xi

2

+

nY

X

i=1

Yn_Y −Yi

2

!

• 1er cas: n_X ≥30 et n_Y ≥30:

Soit la statistique de test

T_nX,nY = X_nX −Y_nY r

S_X,nX⁰² nX +^S

02 Y,nY

nY

.

La r´egion critique est

R={(x₁, . . . , x_nX)∈R^nX,(y₁, . . . , y_nY)∈R^nY :|t_nX,nY|> F_N⁻¹_(0,1)(1−α/2)}

en notant F_N⁻¹_(0,1)(1−α/2) le quantile d’ordre (1−α/2) de la loi gaussienne centr´ee r´eduite.

•2`eme cas: X ∼ N(E[X], σ²)etY ∼ N(E[Y], σ²), autrement ´ecrit les deux populations sont gaussiennes et de variances identiques (on parle alors d’homosc´edasticit´e):

Soit la statistique de test

Tn_X,n_Y =

r n_Xn_Y n_X +n_Y

X_nX −Y_nY q

S_n⁰²_X+nY .

La r´egion critique est

R={(x₁, . . . , x_nX)∈R^nX,(y₁, . . . , y_nY)∈R^nY :|t_nX,nY|> F_T⁻¹_(n

X+nY−2)(1−α/2)}

en notant F_T⁻¹_(n

X+nY−2)(1−α/2) le quantile d’ordre (1−α/2) de la loi de Student `a (n_X+n_Y−2) degr´es de libert´e.

• 3`eme cas: X ∼ N(E[X], σ²_X) et Y ∼ N(E[Y], σ_Y²), autrement ´ecrit les deux popula- tions sont gaussiennes et de variances diff´erentes (on parle alors d’h´et´erosc´edasticit´e):

La question de comparer les moyennes de deux ´echantillons gaussiens ind´ependants lorsque les variances diff`erent porte le nom de probl`eme de Behrens-Fisher (d’apr`es l’astronome Berhens

2

qui s’y est int´eress´e en 1929 et le statisticien Fisher qui s’y est int´eress´e en 1935). Il existe maintenant des solutions exactes `a ce probl`eme mais ici nous ne consid´erons que deux solutions approch´ees. Soit la statistique de test

T_nX,nY = X_nX −Y_nY r

S_X,nX⁰² nX +^S

02 Y,nY

nY

.

La solution de Hsu-Scheff´e consiste `a prendre la r´egion critique

R={(x1, . . . , xn_X)∈R^nX,(y1, . . . , yn_Y)∈R^nY :|tn_X,n_Y|> F_T⁻¹_(min(n

X,n_Y)−1)(1−α/2)}

en notantF_T⁻¹_(min(n

X,nY)−1)(1−α/2) le quantile d’ordre (1−α/2) de la loi de Student `a (min(n_X, n_Y)−

1) degr´es de libert´e.

La solution d’Aspin-Welch consiste `a prendre la r´egion critique

R={(x₁, . . . , x_nX)∈R^nX,(y₁, . . . , y_nY)∈R^nY :|t_nX,nY|> F_T⁻¹_(ν)(1−α/2)}

o`u ν est l’entier le plus proche de

S_X,n⁰² _X/nX +S_Y,n⁰² _Y/nY

2

S_X,n⁰²

X/n_X2

× _n ¹

X−1 + S_Y,n⁰²

Y/n_Y2

×_n ¹

Y−1

et en notantF_T⁻¹_(ν)(1−α/2) le quantile d’ordre (1−α/2) de la loi de Student `aνdegr´es de libert´e.

• Test de Wilcoxon-Mann-Whitney (ou test U de Mann-Whitney ou encore test de la somme des rangs de Wilcoxon):

Il s’agit `a proprement parler d’un test de position. Soient deux variablesX etY ind´ependantes de fonction de r´epartition respectiveF etGque l’on suppose toutes deux continues. On suppose de plus que G(x) =F(x−δ) pour tout x∈R. On souhaite comparer les positions respectives de X et Y sur la base d’´echantillons i.i.d. Formellement, on souhaite tester l’hypoth`ese nulle H₀: δ = 0 contre l’hypoth`ese alternativeH₁: δ6= 0 au niveau α. SousH₀, les deux ´echantillons

`

a comparer sont donc issus de la mˆeme distribution.

Soit (X₁, . . . , X_nX) un ´echantillon i.i.d. distribu´e comme la variable X. Soit (Y₁, . . . , Y_nY) un

´

echantillon i.i.d. distribu´e comme la variable Y, ind´ependant de (X₁, . . . , X_nX). Ce test repose donc sur l’id´ee que, si H₀ est vraie, en m´elangeant les valeurs obtenues dans les deux ´echan- tillons et en les ordonnant alors par valeurs croissantes, on doit obtenir un m´elange homog`ene des deux ´echantillons. Pour i ∈ {1, . . . , n_X}, notons R_Xi le rang de X_i dans l’´echantillon ag- glom´er´e (X₁, . . . , n_Y,1, . . . , n_Y). De mˆeme, pour j ∈ {1, . . . , n_Y}, notons R_Yj le rang de Y_j dans l’´echantillon agglom´er´e (X₁, . . . , n_Y,1, . . . , n_Y). Soit la statistique de test de la somme des rangs (propos´ee par Wilcoxon)

WnX,nY =

nY

X

j=1

RYj.

Par des calculs directs (mais non triviaux), on peut montrer queE^δ=0[WnX,nY] = n_Y(n_X +n_Y + 1) 2

et que Var_δ=0(W_nX,nY) = n_Xn_Y(n_X +n_Y + 1)

12 . La loi de W_nX,nY sous H₀ ne d´epend que de n_X etn_Y et est tabul´ee. Notons w_nX,nY la r´ealisation deW_nX,nY. La r´egion critique est

R={(x₁, . . . , x_nX, y₁, . . . , y_nY)∈R^nX+nY : w_nX,nY < k_α/2,nX,nY ouw_nX,nY > K_α/2,nX,nY} 3

o`u k<sub>α/2,nX,nY</sub> et K<sub>α/2,nX,nY</sub> satisfont respectivement Pδ=0(W<sub>nX,nY</sub> < k<sub>α/2,nX,nY</sub>) = α/2 et P<sup>δ=0</sup>(W<sub>nX,nY</sub> > K<sub>α/2,nX,nY</sub>) = α/2 et sont tabul´es ou d´etermin´es par ordinateur. De plus, d`es lors que n_X ≥ 8 et n_Y ≥ 8, on peut approximer la loi de W_nX,nY sous H₀ par la loi gaussienne.

NB: pour information, ce test est parfois pr´esent´e dans la version U de Mann-Whitney. La statistique de testU_nX,nY compte le nombre de couples (X_i, Y_j) tels queY_jX_ia un rang sup´erieur

` a X_i:

U_nX,nY =

nX

X

i=1 nY

X

i=1

I(R_Yj > R_Xi). On peut montrer que

W_nX,nY =U_nX,nY + n_Y(n_Y + 1)

2 .

La fonctionwilcox.testdu logicielRimpl´emente les versions exacte et asymptotique de ce test.

Exercice 1.

1. Illustrer de mani`ere empirique `a partir de donn´ees simul´ees le comportement de la taille du test.

2. Illustrer de mani`ere empirique `a partir de donn´ees simul´ees le comportement de la fonction puissance.

3. Tests param´etriques: Illustrer de mani`ere empirique `a partir de donn´ees simul´ees la ro- bustesse ou au contraire la sensibilit´e du test aux hypoth`eses sous-jacentes.

4. Tests non-param´etriques: faire varier la loi servant `a g´en´erer les donn´ees ainsi que la valeur de son/ses param`etre(s).

Vous veillerez `a faire varier tour `a tour:

• le risque de 1`ere esp`ece α,

• la taille de l’´echantillonn.

4