Supposons que l’on veuille effectuer un test statistique d’hypoth`eses portant surθ

Universit´e de Strasbourg S´egolen Geffray

M1 - Magist`ere geffray@math.unistra.fr

Statistique - ´etudes de cas Ann´ee 2015/2016

Sujet 5: Tests de conformit´e sur une variance

• Quelques rappels sur la d´efinition math´ematique des tests d’hypoth`eses:

Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans un ensembleX, de loiP<sub>θ</sub> o`uθ ∈Θ. Supposons que l’on veuille effectuer un test statistique d’hypoth`eses portant surθ. On formule deux hypoth`eses contradictoires not´ees H₀ etH₁ dont on suppose que l’une et seulement l’une est vraie. Math-

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ematiquement, formuler H₀ et H₁ revient `a choisir deux sous-ensembles disjoints de Θ not´es Θ<sub>0</sub> et de Θ<sub>1</sub> de sorte que l’hypoth`ese H₀ s’´ecrit alors {θ₀ ∈ Θ₀} tandis que l’hypoth`ese H<sub>1</sub> s’´ecrit {θ<sub>1</sub> ∈ Θ<sub>1</sub>}. Soit (X<sub>1</sub>, ..., X<sub>n</sub>) un ´echantillon i.i.d. issu d’une variable parente X et soit (x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>)∈ X<sup>n</sup> une r´ealisation de (X<sub>1</sub>, ..., X<sub>n</sub>). Construire un test de H<sub>0</sub> contre H<sub>1</sub> revient `a construire une r´egion critiqueRde telle sorte que l’on rejetteH₀ lorsque (x₁, ..., x_n)∈Ret que l’on s’assure que le risque de 1`ere esp`ece est inf´erieur ou ´egal `a α.

Dans ce cadre, on parle de fonction de risque de 1`ere esp`ece d´efinie sur Θ₀ pour θ →α(θ) =Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R).

On appelle taille du test la probabilit´e maximale de rejeter H₀ alors que H₀ est vraie:

sup

θ∈Θ0

{P^θ((X1, ..., Xn)∈ R)}. On dit qu’un test est de niveau α si sa taille est ´egale `a α ie si

sup

θ∈Θ₀

{Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R)}=α .

On parle de fonction de risque de 2nde esp`ece d´efinie sur Θ₁ pour θ→β(θ) = P^θ((X1, ..., Xn)∈ R)/ .

On parle de fonction puissance d´efinie sur Θ₁ pour

θ →1−β(θ) =Pθ((X₁, ..., X_n)∈ R).

• Soit une variable al´eatoire X dont on souhaite comparer la variance `a une norme fix´ee.

Formellement, on souhaite tester l’hypoth`ese nulle H0: Var(X) = σ<sup>2</sup><sub>0</sub> contre une hypoth`ese alternative H₁ au niveau α. Soit un ´echantillon i.i.d. (X₁, . . . , X_n) distribu´e comme X. Soit

S_n⁰² = 1 n−1

n

X

i=1

X_n−X_i2

un estimateur de Var(X) en notant X_n = 1 n

n

X

i=1

X_i.

1

• 1er cas: Lorsque n≥30, on consid`ere la statistique de test:

T_n=√

nS_n⁰²−σ₀² p2σ⁴₀ .

Sous H₀, la statistique T_n suit asymptotiquement la loi N(0,1). Sous H₁, la statistique T_n diverge presque-sˆurement vers ∞.

• Lorsque H₁: Var(X)6=σ₀², la r´egion critique est

R={|T_n|> F_N⁻¹_(0,1)(1−α/2)}.

• Lorsque H₁: Var(X)< σ₀², la r´egion critique est

R={T_n < F_N⁻¹_(0,1)(α)}.

• Lorsque H₁: Var(X)> σ₀², la r´egion critique est

R={Tn> F_N⁻¹_(0,1)(1−α)}.

• 2`eme cas: Lorsque l’´echantillon est gaussien, on consid`ere la statistique de test:

T_n= (n−1)S_n⁰² σ²₀ . Sous H₀, la statistique T_n suit la loi χ²(n−1).

• Lorsque H1: Var(X)6=σ₀², la r´egion critique est

R={t_n< F_χ⁻¹2(n−1)(α/2) ou t_n> F_χ⁻¹2(n−1)(1−α/2)}.

• Lorsque H₁: Var(X)< σ₀², la r´egion critique est

R ={T_n < F_χ⁻¹2(n−1)(α)}.

• Lorsque H₁: Var(X)> σ₀², la r´egion critique est

R={T_n > F_χ⁻¹2(n−1)(1−α)}.

Exercice 1.

1. Illustrer de mani`ere empirique `a partir de donn´ees simul´ees le comportement de la taille du test.

2. Illustrer de mani`ere empirique `a partir de donn´ees simul´ees le comportement de la fonction puissance.

Vous veillerez `a faire varier tour `a tour:

• le risque de 1`ere esp`ece α,

• la taille de l’´echantillonn,

• la variabilit´e du ph´enom`ene.

Le test ´etudi´e en 2`eme cas est r´eput´e robuste aux ´ecarts `a la normalit´e. Qu’en pensez-vous?

Dans le cas d’un test unilat´eral, que se passe-t-il si l’on se trompe dans le choix de H₀ et de H₁, au sens o`u aucune des deux hypoth`eses n’est vrai en r´ealit´e?

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