(1)Décomposition de Choleski

Décomposition de Choleski.

SoitM ∈ M_n(R) une matrice symétrique.

On dit queM est définie positive si, pour toute matrice colonne non nulleX ∈ M_n,1(R),^tXM X >0.

Cela revient aussi à dire que, pour tout X ∈ M_n,1(R), ^tXM X > 0 avec égalité si, et seulement si, X= 0.

Définition A:Matrice symétrique définie positive

1. Généralités sur les matrices symétriques définies positives.

(a) Montrer que la matriceInest symétrique définie positive.

(b) SoitM = (m_i,j)∈ M_n(R)une matrice symétrique définie positive. Montrer que, pour tout 16i6n,mi,i>0.

(c) SoitA∈GLn(R). Montrer que^tAAest symétrique définie positive.

(d) Montrer que toute matrice symétrique définie positive est inversible.

(e) Soienta, b, c∈R. Trouver une CNS pour que la matrice A= a b

c d

soit définie positive.

2. Unicité de la décomposition de Choleski.

On noteT_n⁺l’ensemble des matrices triangulaires supérieurs à coefficients diagonaux strictement positif.

(a) Montrer queT_n⁺ est un sous-groupe de(GLn(R),×).

(b) On suppose qu’il existe T1, T2 ∈ T_n⁺ telles que^tT1T1 =^tT2T2. Montrer queT1 =T2.

3. Existence de la décomposition de Choleski.

Soit M ∈ M_n+1(R) une matrice symétrique définie positive. On écrit M =

M⁰ C

tC m_n+1,n+1

avec M ∈ M_n(R)etC ∈ M_n,1(R)une matrice colonne.

(a) Montrer queM⁰ est elle aussi symétrique définie positive.

On suppose à présent queM⁰ peut s’écrire sous la formeM⁰ =^tT⁰T⁰ pour une certaine matrice T⁰∈ T_n⁺.

(b) Calculer^tXM X =pourX =

−M⁰⁻¹C 1

.

(c) Montrer qu’il existe une colonneD∈Rⁿ et un réelλ >0 pour lesquels

M = _t

T⁰ 0

tD λ

T⁰ D 0 λ

.

(d) En déduire le théorème qui suit.

SoitM ∈ M_n(R).

M est symétrique définie positive si, et seulement si, il existeT ∈ T_n⁺ tel queM =^tT T. Dans cette situation, un telT est unique.

Cette décomposition deM est appelée la décomposition de Choleski.

Théorème 1:Décomposition de Choleski

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4. Implémentation sous Python.

On s’intéresse dans cette dernière question à un algorithme simple de calcul de la décomposition de Choleski.

Soit doncM = (mi,j)∈ M_n(R)une matrice symétrique définie positive.

On noteT = (t_i,j)la matrice triangulaire supérieur à coefficients diagonaux strictement positifs de la décomposition de Choleski deM.

(a) Montrer que, pour tous 16i, j6n,

m_i,j =

min(i,j)

X

k=1

t_k,it_k,j.

(b) Exprimert1,1 en fonction des coefficients de M.

(c) Expliquer comment calculer les coefficients de la première ligne deT. Soit26i6n.

On fait l’hypothèse que l’on a déjà calculé les coefficients des i−1 premières lignes deT. (d) Exprimerti,i en fonction des coefficients de T déjà calculés.

(e) Expliquer comment calculer les autres coefficients de lai-ème ligne deT à partir des coef- ficients deM et des coefficients de T déjà calculés.

En résumé, dans quel ordre les coefficients deT sont-ils calcules de proche en proche ? (f) Ecrire un algorithme prenant en entrée une matrice symétrique définie positive M et re-

tournant la matriceT de la décomposition de Choleski.

(g) Ecrire cet algorithme en langage Python à l’aide d’une fonction intitulée choleski(M).

5. Complexité de la décomposition de Choleski et lien avec l’algorithme du pivot de Gauss.

(a) Calculer en Θla complexité de la décomposition de Choleski.

La décomposition de Choleski constitue un outil classique d’analyse numérique pour la résolution des systèmes linéaires.

Donnons-nous une matrice A∈GLn(R), un second membre B ∈ M_n,1(R) et cherchons à résoudre le système linéaireAX =B d’inconnue X∈ M_n,1(R).

(b) Montrer queAX =B si, et seulement si,^tAAX =^tAB.

(c) Montrer qu’il existe T ∈ T_n⁺ tel que^tAA=^tT T.

(d) Donner une nouvel algorithme pour résoudre AX=B en utilisant la matrice T.

(e) Donner la complexité de l’algorithme précédent et comparer avec celle du pivot de Gauss.

* * * FIN DU SUJET * * *

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