D658−Le calisson et l’heptagone Problème proposé par Pierre Jullien
Soit un calisson ABCD (réunion de deux triangles équilatéraux). On note W le cercle de diamètre AC et P1, P2, P3, P4, P5, P6 les points qui partagent AC en sept segments de même longueur.
Les droites passant par D ou B et un point Pi coupent le cercle W en plusieurs points, dont on conserve U1, U2, U3, U4, U5, U6 tels qu’indiqué ci-dessous pour former avec A un heptagone H quasi régulier (en rouge).
Préciser les écarts entre l’heptagone H et l’heptagone régulier inscrit dans le cercle W, dont A est un sommet.
De quand date cette construction ? Qui en est l’inventeur ? Solution par Patrick Gordon
Le calcul n'est à faire que pour les points U1 U2 U3, car les trois autres sont obtenus par des constructions symétriques.
On prend l'origine des coordonnées au centre du cercle W, le rayon de ce cercle pour unité, DB pour axe des x et AC pour axe des y.
On notera x, y les coordonnées des sommets construits de l’heptagone H et x', y' les coordonnées des sommets du "vrai" heptagone.
calcul des coordonnées de U1
U1 est à l'intersection d'abscisse négative de la droite BP2 et du cercle W.
Cette droite, qui passe par les points B(√3,0) et P2(0,–3/7), a pour équation : y = √3/7 (x – √3)
En reportant dans l'équation du cercle x² + y² = 1, on trouve l'équation en x : 52x² – 6√3x – 40 = 0
dont la racine en x < 0 est : x1 = – 0,7838 d'où l'on déduit :
y1 = – 0,6222
Les coordonnées du sommet homologue U'1 du "vrai" heptagone sont : x'1 = – sin(2/7) = – 0,7818
y'1 = – cos(2/7) = – 0,6235
soit un écart de l'ordre de 1/1000 en x et 2/1000 en y.
calcul des coordonnées de U2
U2 est à l'intersection d'abscisse négative de la droite BP4 et du cercle W.
Cette droite, qui passe par les points B(√3,0) et P4(0, 1/7), a pour équation : y = – 1/7√3 (x – √3)
En reportant dans l'équation du cercle x² + y² = 1, on trouve l'équation en x : 74 x² – √3x – 72 = 0
dont la racine en x < 0 est : x2 = – 0,9748 d'où l'on déduit :
y2 = 0,2232
Les coordonnées du sommet homologue U'2 du "vrai" heptagone sont : x'2 = – sin(4/7) = – 0,9745
y'2 = – cos(4/7) = 0,2225
soit un écart de l'ordre de 1/10000 en x et de 3/1000 en y.
calcul des coordonnées de U3
U3 est à l'intersection d'abscisse négative de la droite BP6 et du cercle W.
Cette droite, qui passe par les points B(√3,0) et P6(0, 5/7), a pour équation : y = – 5/7√3 (x – √3)
En reportant dans l'équation du cercle x² + y² = 1, on trouve l'équation en x : 86x² – 25√3x – 36 = 0
dont la racine en x < 0 est : x3 = – 0,4425 d'où l'on déduit :
y3 = 0,8968
Les coordonnées du sommet homologue U'3 du "vrai" heptagone sont : x'3 = – sin(6/7) = – 0,4339
y'3 = – cos(6/7) = 0,9010
soit un écart de l'ordre de 2/100 en x et de 5/1000 en y.
On peut aussi calculer la longueur des arêtes de H et récapituler leurs écarts relatifs par rapport à la
"vraie arête" d'un heptagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 : a = 2sin(/7) = 0,86776748.
x y arête H écart %
A 0 – 1
U1 – 0,7828061 – 0,62226571 0,86917696 0,16%
U2 – 0,9747603 0,22325402 0,86703519 – 0,08%
U3 – 0,44249875 0,89676912 0,85844333 – 1,07%
U4 0,44249875 0,89676912 0,8849975 1,99%
"vraie" arête 0,86776748
À titre de comparaison, on mentionnera que la valeur de √3/2 = 0,86602540, utilisée par plusieurs constructions approchées en raison de sa proximité à 2sin(/7) = 0,86776748, présente avec celle- ci un écart relatif de – 0,20%.
La recherche sur Internet de constructions approchées de l'heptagone régulier en apporte un très grand nombre, parmi lesquelles on relèvera notamment :
dans l'Histoire :
- Archimède (traduit par Thabit ibn Qurra – IXe siècle).
- François Viète (1540-1603) - Albrecht Dürer
plus récemment :
- Lill, Plemelj, Gleason
- http://www.geocities.ws/robinhuiscool/heptagon.html (5 constructions)
Aucune ne semble avoir de rapport avec la construction objet du présent problème. Je ne sais donc pas de quand date cette construction ni qui en est l’inventeur.
