Enoncé A2840 (Diophante) Récréations de première nécessité
A la sortie du collège à midi, Zig et ses camarades décident de se rendre au Salon des Récréations Mathématiques. Estimées de première nécessité, elles échappent par bonheur au sinistre confi- nement. Zig estime qu’avec sa trottinette électrique il pourrait directement se rendre sur place en un quart d’heure. Tous ses ca- marades sont à pied. Que Zig soit seul ou avec un (seul) passager à bord, sa trottinette lui permet d’aller en moyenne sept fois plus vite que le marcheur à pied. Un rapide calcul lui montre que tout le monde peut arriver en même temps au Salon à treize heures.
Combien sont-ils au maximum ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si Zig met un quart d’heure pour ce trajet, il faut sept fois plus, donc une heure trois quarts, aux piétons. L’aide de Zig permet à cinq autres camarades d’arriver à l’heure, s’il ne perd pas une demi-seconde.
Le tableau suivant décrit les dix événements notés Ek (Zig em- barque le camaradek, 1≤k≤5) etDk (débarquement du cama- rade k qui finit à pied, après quoi Zig revient en arrière chercher le suivant parmi ceux qui ont commencé à pied). La deuxième co- lonne indique la localisation de Zig pour l’événement (distance au but en fraction de la distance totale), les deux dernières l’instant (en trente-deuxièmes d’heure après midi pour la dernière colonne).
E1 1 12 : 00 : 00 0 D1 1/2 12 : 07 : 30 4 E2 7/8 12 : 13 : 07,5 7 D2 3/8 12 : 20 : 37,5 11 E3 3/4 12 : 26 : 15 14 D3 1/4 12 : 33 : 45 18 E4 5/8 12 : 39 : 22,5 21 D4 1/8 12 : 46 : 52,5 25 E5 1/2 12 : 52 : 30 28 D5 0 13 : 00 : 00 32
Un aller-retour de Zig, soit 1/2 trajet vers le but, 3/8 en sens inverse, prend 7/32 d’heure, temps qui permet aux marcheurs de franchir 1/8 de la distance. Chaque camarade fait 1/2 trajet avec Zig en 1/8 d’heure, et le reste en 7/8 d’heure, que ce soit en une ou deux fois.
