E60387. Disque couvrant
Un ensemble den points du plan est tel que 3 points quelconques peuvent être couverts par un disque de rayon 1 au plus. Montrer que tout l’ensemble peut être couvert par un disque de rayon 1 au plus.
Solution
Il existe un cercle passant par au moins deux pointsAetB, parmi les points donnés Mi et contenant les autres à son intérieur. Pour l’obtenir, on peut partir d’un cercle assez grand pour contenir à son intérieur lesnpoints, qu’on transforme en cercles plus petits par les homothéties amenant un point puis un autre sur le cercle.
On aAB≤2, sinon l’énoncé serait en défaut avec un 3e point donné quel- conque. Il existe parmi les Mi un point C minimisant l’angle ACB; si cet angle minimum> π/2, le cercle de diamètreABrépond à la question ; sinon, le cercle passant par les 3 pointsA, B, C contient les npoints.
Qu’en est-il du disque de rayon 1 couvrant les 3 points A, B, C? Il peut correspondre au cercle circonscrit au triangleABC si celui-ci est acutangle.
Alors cela assure la couverture des npoints.
Mais cela ne vaut pas si les trois points A, B, C forment un triangle obtus en A ouB; il faut alors poursuivre le rétrécissement du cercle avec comme points fixes les extrémités du plus grand côté de ce triangle, et répéter cette étape autant que nécessaire pour aboutir à un triangle acutangle (ou un cercle ayant ce côté pour diamètre). Comme le rayon va en diminuant, avec une borne inférieure qui est celui du disque couvrant minimum du triangle ABC, et que les points utilisés sont en nombre fini, le processus s’achève nécessairement par un triangle acutangle ou un segment.
