Une ouverture bien verrouillée
Problème E654 de Diophante
Le coffre-fort du club de 7 membres ne doit pouvoir être ouvert qu'en présence de 3 membres. On veut assurer cette condition par un système de serrures multiples et de distribution de clés. Combien faut-il au minimum de serrures? et de clés?
Généralisation avec un club de m membres et l'ouverture du coffre en présence de p membres.
Solution
A ma connaissance, le problème d’installation de serrures et de la distribution des clés est apparu il y a bientôt un demi-siècle. Claude Berge l’avait posé dans un numéro de la Revue Française de Recherche Opérationnelle, dans sa rubrique Problèmes plaisans et délectables.
A l’époque, je lui avais donné une solution du cas général qui consiste à considérer l’ouverture comme une variable booléenne Ω fonction des variables X relatives à la volonté (donc la présence) de chacun d’ouvrir le coffre. La connaissance des coalitions susceptibles d’ouvrir le coffre permet d’exprimer Ω sous une forme disjonctive. Le passage à la forme conjonctive réduite (unique en l’absence de négation) donne la solution minimale où les serrures correspondent aux facteurs obtenus et, pour chacune, l’attribution d’une clé à chacun des termes présents.
Ici, en nommant A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, les sept membres du club, l’ouverture Ω vaut OU ( Au et Av et Aw ) où 1 ≤ u < v < w ≤ 7, sous sa forme
disjonctive de 35 termes. Passons à la forme conjonctive : on trouve alors que Ω vaut ET ( Au ou Av ou Aw ou Ax ou Ay ) où 1 ≤ u < v < w < x < y ≤ 7. Ainsi Ω comprend 21 facteurs relatifs à toutes les combinaisons de cinq membres du club.
La solution consiste à installer 21 serrures, possédant chacune 5 clés à attribuer, de toutes les manières possibles, à 5 membres du club.
Dans le cas général, avec un club de m membres et l'ouverture du coffre en présence de p membres, on a Ω = OU ( ET ( Au ) ) où le OU porte sur les C(m,p) parties à p éléments de [1, m] et le ET porte sur les p éléments de la partie en jeu.
La forme conjonctive et alors Ω = ET ( OU ( Au ) ) où le ET porte sur les C(m,q) parties à q éléments de [1, m] et le ET porte sur les q éléments de la partie en jeu, avec q = m+1-p.
C’est Claude Benzaken, qui m’a donné le résultat (sans calcul) en remarquant que le coffre ne peut pas être ouvert en l’absence de m+1-p membres du club.
